Schwere, Elektricität und Magnetismus:105

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Potentialfunction eines homogenen Ellipsoids.


Potentialfunction vollständig und eindeutig charakterisirt wird (§§. 18. 22).

 Wir setzen zur Abkürzung


[1]


und bezeichnen mit den Werth, welchen annimmt für .

 Es soll nun bewiesen werden, dass


(2)


wenn der Punkt im Innern des Ellipsoids liegt; und


(3)


wenn er ausserhalb liegt. Man kann die Ausdrücke (2) und (3) auch in die Form bringen



 Die untere Grenze der Integration ist oder , je nachdem die Gleichung (2) oder (3) zu Stande kommen soll.

 Liegt der angezogene Punkt im Innern des Ellipsoids, so ist eine rationale ganze Function zweiten Grades von , und da diese Variabeln durchaus endliche Werthe behalten, so ist die Function für jeden Punkt im Innern des Ellipsoids endlich und stetig variabel.

 Liegt der angezogene Punkt ausserhalb des Ellipsoids, so hängt die Function von direct ab, insofern die Factoren auftreten, und indirect, insofern die untere Integrationsgrenze eine Function von ist. Die Aenderung, welche bei einer unendlich kleinen Verschiebung des angezogenen Punktes erleidet, setzt sich also aus zweien zusammen, nemlich aus der unendlich kleinen Aenderung, die von den Factoren herrührt, und aus der Aenderung, die sich ergibt, wenn man nur variabel nimmt. Nun sind aber die Integrale stetige Functionen von , und selbst ist eine stetige Function von . Daher ist endlich und stetig variabel, wenn der Punkt ausserhalb des Ellipsoids liegt. Dies gilt auch noch, wenn er in un-


  1. WS: Der letzte Term muss lauten.