Schwere, Elektricität und Magnetismus:105

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 91
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Potentialfunction eines homogenen Ellipsoids.

Potentialfunction vollständig und eindeutig charakterisirt wird (§§. 18. 22).

 Wir setzen zur Abkürzung

${\sqrt {\left(1+{\frac {s}{a^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{b^{2}}}\right)\left(1+{\frac {s}{b^{2}}}\right)}}=D$[1]

und bezeichnen mit $\Delta \,$ den Werth, welchen $D\,$ annimmt für $s=\sigma \,$.

 Es soll nun bewiesen werden, dass

(2)	$V=\pi \rho \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {ds}{D}}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}+s}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}+s}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}+s}}\right),$

wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des Ellipsoids liegt; und

(3)	$V=\pi \rho \int \limits _{\sigma }^{\infty }{\frac {ds}{D}}\left(1-{\frac {x^{2}}{a^{2}+s}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}+s}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}+s}}\right),$

wenn er ausserhalb liegt. Man kann die Ausdrücke (2) und (3) auch in die Form bringen

$V=\pi \rho \left\lbrace \int \limits ^{\infty }{\frac {ds}{D}}-x^{2}\int \limits ^{\infty }{\frac {ds}{D(a^{2}+s)}}-y^{2}\int \limits ^{\infty }{\frac {ds}{D(b^{2}+s)}}-z^{2}\int \limits ^{\infty }{\frac {ds}{D(c^{2}+s)}}\right\rbrace .$

 Die untere Grenze der Integration ist $0\,$ oder $\sigma \,$, je nachdem die Gleichung (2) oder (3) zu Stande kommen soll.

 Liegt der angezogene Punkt im Innern des Ellipsoids, so ist $V\,$ eine rationale ganze Function zweiten Grades von $x,\,y,\,z$, und da diese Variabeln durchaus endliche Werthe behalten, so ist die Function $V\,$ für jeden Punkt im Innern des Ellipsoids endlich und stetig variabel.

 Liegt der angezogene Punkt ausserhalb des Ellipsoids, so hängt die Function $V\,$ von $x,\,y,\,z$ direct ab, insofern die Factoren $x^{2},\,y^{2},\,z^{2}$ auftreten, und indirect, insofern die untere Integrationsgrenze $\sigma \,$ eine Function von $x,\,y,\,z$ ist. Die Aenderung, welche $V\,$ bei einer unendlich kleinen Verschiebung des angezogenen Punktes erleidet, setzt sich also aus zweien zusammen, nemlich aus der unendlich kleinen Aenderung, die von den Factoren $x^{2},\,y^{2},\,z^{2}$ herrührt, und aus der Aenderung, die sich ergibt, wenn man nur $\sigma \,$ variabel nimmt. Nun sind aber die Integrale stetige Functionen von $\sigma \,$, und $\sigma \,$ selbst ist eine stetige Function von $x,\,y,\,z$. Daher ist $V\,$ endlich und stetig variabel, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Ellipsoids liegt. Dies gilt auch noch, wenn er in un-

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1. WS: Der letzte Term muss $\left(1+{\frac {s}{c^{2}}}\right)$ lauten.