Schwere, Elektricität und Magnetismus:106

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abshnitt §. 24.


endliche Entfernung rückt. Denn wenn irgend eine der Coordinaten unendlich gross wird, so wird die grösste Wurzel der Gleichung ebenfalls unendlich gross. Dann hat in (3) die letzte Klammer unter dem Integral den Werth Null. Der Factor ist auch gleich Null, und die Grenzen der Integration fallen zusammen. Folglich wird , wenn der angezogene Punkt in unendlicher Entfernung liegt.

 Für einen Punkt in der Oberfläche des Ellipsoids ist . Die Integrale (2) und (3) sind dann also einander gleich. Folglich erleidet auch dann eine stetige Aenderung, wenn der angezogene Punkt durch die Oberfläche des Ellipsoids hindurchgeht.

 Danach ist bewiesen, dass die Function im ganzen unendlichen Raume endlich und stetig variabel ist, und dass sie den Werth Null hat in unendlicher Entfernung.

 Wir untersuchen die ersten Derivirten. Aus (2) findet sich


(4)


Dies gilt für einen Punkt im Innern des Ellipsoids. Aus (3) ergibt sich dagegen



Da nun und nicht unendlich werden können und die letzte Klammer gleich Null ist, so erhält man


(5)


Dies gilt für einen Punkt ausserhalb des Ellipsoids. Liegt der Punkt in der Oberfläche, so ist in (5) die Grösse zu setzen, und die Integrale (4) und (5) sind einander gleich. Folglich ist überall endlich und stetig variabel. Dies gilt auch in unendlicher Entfernung. Denn es ist für einen unendlich ent-