Schwere, Elektricität und Magnetismus:104

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 24.



durchaus negativ ist. Die Curve schneidet demnach die Abscissenaxe je einmal zwischen und , zwischen und und zwischen und . Die Werthe von an diesen drei Schnittstellen sind die Wurzeln der Gleichung . Nun ist aber, wie schon hervorgehoben, positiv oder Null oder negativ, je nachdem der Punkt ausserhalb des Ellipsoids liegt, oder in seiner Oberfläche, oder innerhalb. Daraus ergibt sich leicht für die Gleichung , dass ihre grösste Wurzel positiv ist im ersten, Null im zweiten, negativ im dritten Falle. Die beiden anderen Wurzeln sind immer negativ. Wir wollen mit nur die grösste Wurzel der Gleichung bezeichnen.

 Zur Abkürzung werde



gesetzt. Betrachtet man in der Gleichung die vier Grössen als variabel und als Function von so ergibt sich durch Differentiation



 So lange der Punkt ausserhalb oder in der Oberfläche des Ellipsoids liegt, sind die Grössen positiv und verschieden von Null. Die Grösse ist positiv und wird nur dann zu Null, wenn entweder oder wenn eine dieser Coordinaten unendlich gross ist. Wir wollen die Function nur für solche Punkte betrachten, die ausserhalb oder in der Oberfläche liegen. Unter dieser einschränkenden Voraussetzung sind endlich und stetig variabel, so lange endlich sind. Die Function ist deshalb ebenfalls stetig variabel. Sie ist unter der eben gemachten Voraussetzung positiv und bleibt endlich, so lange keine von den Coordinaten unendlich gross genommen wird. Für einen unendlich entfernten Punkt ist .

 Der Ausdruck für die Potentialfunction soll hier nicht abgeleitet werden. Wir wollen ihn als gegeben ansehen und den Beweis führen, dass er allen Bedingungen genügt, durch welche die