Schwere, Elektricität und Magnetismus:103

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 89
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Potentialfunction eines homogenen Ellipsoids.

 Der anziehende Körper sei ein Ellipsoid mit den Halbaxen $a,\,b,\,c$. Die Dichtigkeit $\rho \,$ soll constant sein. Der Punkt $(x,\,y,\,z)$ liegt in der Oberfläche des Ellipsoids, wenn

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=0$

ist. Er liegt ausserhalb oder innerhalb des Ellipsoids, je nachdem

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1$

positiv oder negativ. Um die Unterscheidung dieser drei Fälle möglichst zu vereinfachen, betrachten wir die Function

(1)	$F(s)={\frac {x^{2}}{s+a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{s+b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{s+c^{2}}}-1.$

 Dieselbe wird unendlich für drei Werthe von $s\,$, nemlich für $s=-a^{2}\,$, für $s=-b^{2}\,$, und für $s=-c^{2}\,$. Bezeichnen wir mit $\varepsilon \,$ eine unendlich kleine positive Grösse, so zeigt sich

$F(-a^{2}-\varepsilon )=-\infty ,\;F(-b^{2}-\varepsilon )=-\infty ,\;F(-c^{2}-\varepsilon )=-\infty ,$ $F(-a^{2}+\varepsilon )=+\infty ,\;F(-b^{2}+\varepsilon )=+\infty ,\;F(-c^{2}+\varepsilon )=+\infty .$

 Ferner ist

$F(-\infty )=-1,\quad F(+\infty )=-1.$

Nimmt man also $a^{2}>b^{2}>c^{2}\,$ und betrachtet $s\,$ als Abscisse, $F(s)\,$ als Ordinate einer ebenen Curve (Fig. 14), so ist der Verlauf derselben leicht zu überblicken. Wenn die Abscisse stetig wachsend durch eine der drei Unstetigkeitsstellen hindurchgeht, so springt die Ordinate von $-\infty \,$ auf $+\infty \,$. Abgesehen von den

Fig. 14.

Unstetigkeitsstellen, nimmt mit wachsendem $s\,$ die Ordinate fortwährend ab, weil