Schwere, Elektricität und Magnetismus:050

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 11.

für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern des mit Masse erfüllten Körpers zu ermitteln. Wir gelangen dazu mit Hülfe eines von Gauss aufgestellten allgemeinen Satzes, welcher zunächst entwickelt werden soll.

§. 11. Das Oberflächen-Integral $\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)d\sigma$. Satz von Gauss.

 Wir bezeichnen mit $T\,$ einen beliebig, aber vollständig begrenzten Raum und mit $\;d\sigma \,$ ein Element seiner Oberfläche. In irgend einem Punkte dieses Oberflächen-Elementes errichten wir nach dem Innern des Raumes $T\,$ die Normale und nehmen auf ihr einen Punkt $(x,\,y,\,z)$, welcher von dem Fusspunkte der Normale den Abstand $n\,$ hat. Es lassen sich dann zwei veränderliche Grössen $q\,$ und $s\,$ so wählen, dass sie in irgend einem Punkte der Oberfläche je einen und nur einen Werth haben, und dass umgekehrt zu einer bestimmten Werthen-Combination von $q\,$ und $s\,$ jedesmal nur ein bestimmter Punkt der Oberfläche gehört. Die Lage des Punktes $(x,\,y,\,z)$ lässt sich dann auch dadurch angeben, dass man sagt, welche Werthe die Grössen $q\,$ und $s\,$ im Fusspunkte der Normale

Fig. 5.

haben und wie lang die Strecke $n\,$ auf der Normale ist. Man hat also jede der drei Coordinaten $x,\,y,\,z$ als eine Function von den drei unabhängigen Variabeln $q,\,s,\,n$ anzusehen. Lässt man $q\,$ und $s\,$ ihre Werthe beibehalten und ertheilt der dritten Variabeln den Zuwachs $dn\,$, so erhält man auf derselben Normale einen zweiten Punkt, dessen rechtwinklige Coordinaten $x+dx,\,y+dy,\,z+dz\,$ sind (Fig. 5), und es ist hier speciell $dx={\frac {\partial x}{\partial n}}dn,\,dy={\frac {\partial y}{\partial n}}dn,\,dz={\frac {\partial z}{\partial n}}dn$. Man erkennt leicht, dass $dx,\,dy,\,dz$ die Projectionen von $dn\,$ auf den rechtwinkligen Coordinatenaxen sind. Bezeichnet man also mit $(xn),(yn),(zn)\,$ die Winkel, welche die Richtung der Normale mit den positiven Richtungen der $x\!$, der $y\!$, der $z\!$ einschliesst, so ergibt sich