Schwere, Elektricität und Magnetismus:051

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 37
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Satz von Gauss.

${\frac {\partial x}{\partial n}}=\cos(xn),\ {\frac {\partial y}{\partial n}}=\cos(yn),\ {\frac {\partial z}{\partial n}}=\cos(zn).$

 Wir denken uns nun die gesammte anziehende Masse, die gleich der Einheit genommen werden möge, in einem Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ concentrirt, der entweder innerhalb oder ausserhalb oder in der Oberfläche des Raumes T liegen soil. Der Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ übt auf den Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ eine Anziehung, deren Componente in der Richtung der wachsenden $n\,$ mit $N\,$ bezeichnet werden möge. Man findet

(1)	$N={\frac {1}{r^{2}}}cos(rn),\,$

wenn $r\,$ den Abstand des Punktes $(x,\,y,\,z)\,$ von dem Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ bezeichnet, also

(2)	$r^{2}=(a-x)^{2}+(b-y)^{2}+(c-z)^{2}.\,$

Die Linie $r\,$ ist von dem Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ nach dem Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ hingezogen, und unter $(rn)\,$ ist der Winkel zu verstehen, welchen diese Richtung mit der Richtung der wachsenden $n\,$ einschliesst. Für den Cosinus dieses Winkels ergibt sich

$\cos(rn)={\frac {\partial r}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial n}}+{\frac {\partial r}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial n}}+{\frac {\partial r}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial n}}={\frac {\partial r}{\partial n}}.$

Mit $d\sigma \,$ soll ein Element der Oberflache von $T\,$ bezeichnet werden, und der Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ soll in der Begrenzungslinie dieses Elementes liegen, so dass für ihn $n=0\,$ ist. Es handelt sich darum, den Werth des Integrals

(3)	$\int N\,d\sigma =\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma$

zu ermitteln, wenn die Integration über die ganze Oberfläche von $T\,$ erstreckt wird. Zu dem Ende betrachten wir $d\sigma \,$ als die Basisfläche eines Kegels, dessen Spitze im Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ liegt. Die conische Oberfläche wird dadurch erzeugt, dass man einen von $(a,\,b,\,c)\,$ ausgehenden beweglichen Radius vector längs der Begrenzung von $d\sigma \,$ hingleiten lässt. Beschreibt man nun (Fig. 6.) um $(a,\,b,\,c)\,$ als Mittelpunkt mit dem Radius $r\,$ eine Kugelfläche, so schneidet der eben construirte Kegel aus ihr ein Flächenelement heraus, welches als die rechtwinklige Projection von $d\sigma \,$ angesehen werden kann. Denn wegen der unendlich kleinen Dimensionen darf man sowohl $d\sigma \,$, wie das Element der Kugelfläche als ebene