Schwere, Elektricität und Magnetismus:051

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Satz von Gauss.



 Wir denken uns nun die gesammte anziehende Masse, die gleich der Einheit genommen werden möge, in einem Punkte concentrirt, der entweder innerhalb oder ausserhalb oder in der Oberfläche des Raumes T liegen soil. Der Punkt übt auf den Punkt eine Anziehung, deren Componente in der Richtung der wachsenden mit bezeichnet werden möge. Man findet


(1)


wenn den Abstand des Punktes von dem Punkte bezeichnet, also


(2)


Die Linie ist von dem Punkte nach dem Punkte hingezogen, und unter ist der Winkel zu verstehen, welchen diese Richtung mit der Richtung der wachsenden einschliesst. Für den Cosinus dieses Winkels ergibt sich



Mit soll ein Element der Oberflache von bezeichnet werden, und der Punkt soll in der Begrenzungslinie dieses Elementes liegen, so dass für ihn ist. Es handelt sich darum, den Werth des Integrals


(3)


zu ermitteln, wenn die Integration über die ganze Oberfläche von erstreckt wird. Zu dem Ende betrachten wir als die Basisfläche eines Kegels, dessen Spitze im Punkte liegt. Die conische Oberfläche wird dadurch erzeugt, dass man einen von ausgehenden beweglichen Radius vector längs der Begrenzung von hingleiten lässt. Beschreibt man nun (Fig. 6.) um als Mittelpunkt mit dem Radius eine Kugelfläche, so schneidet der eben construirte Kegel aus ihr ein Flächenelement heraus, welches als die rechtwinklige Projection von angesehen werden kann. Denn wegen der unendlich kleinen Dimensionen darf man sowohl , wie das Element der Kugelfläche als ebene