Schwere, Elektricität und Magnetismus:049

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Stetigkeit der Function $V\,$ etc.

Dabei zeigt sich, dass jedes der drei Raumintegrale für beide Lagen des Punktes $(x,\,y,\,z)$ Werthe von unendlich kleiner Differenz besitzt. Die Grenzwerthe der Oberflächen-Integrate haben aber eine endliche Differenz, und zwar sind die Werthe für den inneren Punkt um resp.

$4\;\pi \;\rho \cos \alpha ^{2},\,4\;\pi \;\rho \cos \beta ^{2},\,4\;\pi \;\rho \cos \gamma ^{2}$

kleiner, als für den äusseren Punkt. Dabei bezeichnen $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ die Winkel, welche die Richtung der nach innen gezogenen Normale mit den positiven Coordinaten-Axen einschliesst, und $\rho \,$ ist die Dichtigkeit in dem unendlich nahe an der Oberfläche gelegenen inneren Punkte. Der Beweis dieser Behauptung stützt sich im wesentlichen auf Entwickelungen, welche im §. 15 für einen anderen Zweck vorgenommen werden.

 Die Durchführung des Beweises kann hier unterbleiben, da von hauptsächlichem Interesse die unstetige Aenderung der Summe ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ ist, und diese lässt sich mit einfacheren Hülfsmitteln nachweisen (§. 13).

 Der anziehende Körper werde durch eine innere Scheidungsfläche in zwei getrennte Räume zerlegt, so dass die Dichtigkeit sich stetig ändert in jedem einzelnen der beiden Räume, aber sprungweise beim Durchgange durch die Scheidungsfläche. Errichtet man dann in irgend einem Punkte dieser Fläche nach beiden Seiten hin die Normale und lässt auf ihr von beiden Seiten her den Punkt $(x,\,y,\,z)$ unendlich nahe an die Scheidungsfläche heranrücken, so wird jede der zweiten Derivirten von $V\,$ sich einem bestimmten endlichen Grenzwerthe unaufhörlich annähern. Aber der Grenzwerth irgend einer von den zweiten Derivirten in unendlich kleinem Abstande von der Scheidungsfläche ist auf der einen Seite verschieden von dem Grenzwerthe auf der anderen Seite. Jede von den zweiten Derivirten ändert sich sprungweise, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ beim stetigen Durchlaufen der Normale durch jene Fläche hindurchgeht. In der Scheidungsfläche selbst sind die Ausdrücke für die zweiten Derivirten von $V\,$ ohne alle Bedeutung.

 Nach dieser Orientirung über das Verhalten der zweiten Derivirten kommt es darauf an, die Summe

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$