Schwere, Elektricität und Magnetismus:041

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 27
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Transformation etc.

denen das Elementarprisma in den anziehenden Körper ein- und aus ihm austritt. Führt man nun die Integration nach $b\,$ und nach $c\,$ aus, so ergibt sich

(3)	${\frac {\partial V}{\partial x}}=\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma +\iiint {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da\;db\;dc.$

Das dreifache Integral auf der rechten Seite ist über den ganzen mit Masse erfüllten Raum, das Integral $\int {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma$ über seine gesammte Oberfläche zu erstrecken.

 Die vorgenommene Transformation ist nur dann zulässig, wenn die Function ${\frac {\rho }{r}}$ innerhalb des mit anziehender Masse erfüllten Raumes an keiner Stelle unstetig wird. Findet an einzelnen Stellen eine Aenderung sprungweise statt, so hat man von dem Integrationsgebiete zunächst solche Raumtheile auszuschliessen, welche die Unstetigkeitsstellen völlig in sich enthalten. Dann wird man das Integral (1) auf die ausgeschlossenen Raumtheile nicht mit erstrecken und darf deshalb die Transformation vornehmen. Nachher ist die Frage zu beantworten, welchem Grenzwerthe das Resultat der Transformation sich annähert, wenn man die Oberflächen der ausgeschlossenen Gebiete den Unstetigkeitsstellen unendlich nahe rückt.

§. 8. Fortsetzung.

 Wir haben bis jetzt vorausgesetzt, dass die Dichtigkeit $\rho \,$ des anziehenden Körpers eine endliche und stetige Function des Ortes sei. Diese Voraussetzung soll jetzt noch beibehalten werden. Liegt der angezogene Punkt ausserhalb der anziehenden Masse, so ist ${\frac {\rho }{r}}$ für jeden Punkt $(a,\,b,\,c)$ in ihrem Innern endlich und stetig, und daher kann man die Transformation des vorigen Paragraphen ohne weiteres vornehmen.

 Wenn aber der angezogene Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern der anziehenden Masse liegt, so wird die Function ${\frac {\rho }{r}}$ für ein Element der Integration unendlich gross. Deshalb machen wir den Punkt $(x,\,y,\,z)$ zum Mittelpunkte einer Kugelfläche vom Radius $\varepsilon \,$ und schliessen den von ihr begrenzten inneren Raum zunächst von der