Schwere, Elektricität und Magnetismus:040

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 7.

$db\;dc\left\lbrace {\frac {\rho _{1}}{r_{1}}}-{\frac {\rho _{2}}{r_{2}}}+{\frac {\rho _{3}}{r_{3}}}-+\ldots -{\frac {\rho _{2n}}{r_{2n}}}\right\rbrace +db\;dc\int {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da.$

Das Integral $\int {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da$ ist über alle die Theile des Elementarprisma zu erstrecken, welche innerhalb der anziehenden Masse liegen. Wir bezeichnen nun mit $d\sigma _{1},\;d\sigma _{2},\ldots d\sigma _{2n}$ die unendlich kleinen Flächenstücke, welche das Elementarprisma aus der Oberfläche des mit Masse erfüllten Raumes bei seinem Ein- und Austritt herausschneidet und mit $\alpha _{1},\;\alpha _{2},\ldots \alpha _{2n}$ die Winkel, welche die nach dem Innern dieses Raumes zu auf $d\sigma _{1},\;d\sigma _{2},\ldots d\sigma _{2n}$ errichteten Normalen mit der Axe der positiven $x\,$ einschliessen.

Fig. 4.

Es ist zu bemerken, dass die Cosinus dieser Winkel an den Eintrittsstellen positiv, an den Austrittsstellen negativ sind. (Fig. 4.) Demnach findet sich

$db\;dc=\cos \alpha _{1}\,d\sigma _{1}=\cos \alpha _{3}\,d\sigma _{3}=\ldots =\cos \alpha _{2n-1}\,d\sigma _{2n-1}$ $=-\cos \alpha _{2}\,d\sigma _{2}=\cos \alpha _{4}\,d\sigma _{4}=\ldots =\cos \alpha _{2n}\,d\sigma _{2n},$

und das Element der Integration nach $b\,$ und nach $c\,$ lautet jetzt

$\sum {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma +db\;dc\int {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}.$

Die Summe $\sum {\frac {\rho }{r}}\cos \alpha \;d\sigma$ bezieht sich auf alle die Stellen, an