Schwere, Elektricität und Magnetismus:039

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 25
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Transformation etc.

Parallelepipeda, jedes vom Inhalte $da\,db\,dc\,$. Der Inhalt eines solchen Parallelepipedon werde multiplicirt mit dem Werthe, welchen die Function $\rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}$ in seinem einen Eckpunkte $(a,b,c)\,$ hat.

Das Product

$\rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da\,db\,dc$

ist das Element des Integrals. Die Integration nach $a\,$ wird ausgeführt, indem man dieses Product fur alle parallelepipedischen Bestandtheile des Elementarprisma bildet, welche innerhalb der anziehenden Masse liegen, und sämmtliche Producte addirt. Die Integration nach $b\,$ und nach $c\,$ besteht darin, dass man die eben besprochene Summe von Producten für alle Elementarprismen herstellt, welche die anziehende Masse überhaupt treffen, und alle diese Summen wiederum durch Addition verbindet.

 Wir wollen zunächst die Integration nach $a\,$ ausführen. Das unbestimmte Integral

$\int \rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da.$

lässt sich umformen durch Integration nach Theilen, nemlich

(2)	$\int \rho {\frac {\partial \left(-{\frac {1}{r}}\right)}{\partial a}}da\ =-{\frac {\rho }{r}}+\int {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \rho }{\partial a}}da$

Diese Formel ist zur Umgestaltung des bestimmten Integrals leicht zu benutzen, wenn die Function ${\frac {\rho }{r}}$ innerhalb der Integrationsgrenzen überall endlich und stetig ist. Die Integrale auf der linken und auf der rechten Seite der Gleichung (2) sind dann zwischen denselben Grenzen zu nehmen und von dem freien Gliede $-{\frac {\rho }{r}}$ hat man die Summe aller Werthe an den oberen Grenzen der Integration zu vermindern um die Summe aller Werthe an den unteren Grenzen. Wir bezeichnen die Werthe von $\rho \,$ und $r\,$ an den Grenzen der Reihe nach durch Anhängung der betreffenden Indices. Für die Integration nach $b\,$ und nach $c\,$ erhält man demnach das Element