Schwere, Elektricität und Magnetismus:042

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 8.


Integration aus. Dadurch wird die Transformation des vorigen Paragraphen zulässig und man erhält


(1)


Die dreifachen Integrationen erstrecken sich auf den anziehenden Körper mit Ausnahme der den Punkt enthaltenden Kugel. Das Integral ist auszudehnen über die Oberfläche der anziehenden Masse und über die Oberfläche des ausgeschlossenen kugelförmigen Gebietes. Bezeichnen wir mit den grössten Werth von auf dieser Kugelfläche und beachten, dass in den äussersten Fällen sein kann, so findet sich, dass der von der Kugel herrührende Beitrag zu dem Oberflächen-Integral einen Werth hat, der absolut genommen kleiner ist als



d. h. kleiner als



oder, was dasselbe sagt, kleiner als



Folglich wird dieser Beitrag zu Null für . Nun behalten aber die dreifachen Integrale in (1) bestimmte, endliche Werthe, wenn man den Radius der ausgeschlossenen Kugel zu Null macht. Von dem Integrale links ist dies in §. 6 bewiesen. Für das Integral rechts ergibt sich der Beweis auf demselben Wege, wenn man beachtet, dass im Innern des Integrationsgebietes überall endlich ist. Folglich gilt die Gleichung (1) auch dann noch, wenn man die dreifachen Integrale über den ganzen anziehenden Körper erstreckt und das Integral über seine Oberfläche. D. h. die Gleichung (3) des vorigen Paragraphen bleibt gültig, wenn der angezogene Punkt im Innern der anziehenden Masse liegt. Auf entsprechende Weise kann man auch die Ausdrücke für und transformiren. Bezeichnen die drei Winkel,