Schwere, Elektricität und Magnetismus:027

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Anziehung einer Kugelschale etc.

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}={\frac {d^{2}V}{ds^{2}}}+{\frac {2}{s}}{\frac {dV}{ds}}.$

 Die Gleichung von Laplace lautet demnach hier

(4)	${\frac {d^{2}V}{ds^{2}}}+{\frac {2}{s}}{\frac {dV}{ds}}=0.\,$

 Dividirt man auf beiden Seiten dieser Differentialgleichung durch ${\frac {dV}{ds}}$, so lässt eine Integration sich ausführen. Sie ergibt

$\lg {\frac {dV}{ds}}+2\lg s=\lg {\text{const.}}\,$

oder, was auf dasselbe hinauskommt:

(5)	${\frac {dV}{ds}}={\frac {\text{const.}}{s^{2}}}=-{\frac {\alpha }{s^{2}}}.$

Dabei ist mit $-\alpha \,$ die willkürliche Integrationsconstante bezeichnet. Die Gleichung (5) lässt sich unmittelbar weiter integriren. Man erhält

(6 )	$V={\frac {\alpha }{s}}+\beta ,$

wobei unter $\beta \,$ eine neue Integrationsconstante verstanden ist.

 Die Gleichung (6), welche zwei willkürliche Constanten $\alpha \,$ und $\beta \,$ enthält, ist das vollständige Integral der Differentialgleichung (4). Es kommt nur noch darauf an, den Grössen $\alpha \,$ und $\beta \,$ solche Werthe beizulegen, wie das vorliegende Problem sie erfordert. Dabei ist zu unterscheiden, ob die angezogene Masseneinheit in einem Punkte des inneren Hohlraumes sich befindet, oder in dem von anziehender Masse nicht erfüllten Raume ausserhalb.

 Die Begrenzungsflächen der anziehenden Masse seien ausgedrückt durch die Gleichungen

$s=p\,$ und resp. $s=q\,$,

und es sei $q>p\,$.

 Erstens. Die angezogene Masseneinheit befinde sich in einem Punkte des inneren Hohlraumes, also in einem Punkte, für welchen $s<p\,$ ist. In diesem Falle berechnen wir zunächst direct die Anziehung, welche die Masseneinheit im Anfangspunkte der Coordinaten erfährt. Zu dem Zwecke denken wir uns die Kugelschale, welche die anziehende Masse enthält, in unendlich dünne Elementarschalen zerlegt. Eine solche, deren Begrenzungsflächen die Radien $s\,$ und $s+ds\,$ haben, kann als ein Cylinder mit der kugel-