Schwere, Elektricität und Magnetismus:028

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 4.

förmigen Basis $4s^{2}\pi \,$ und der Höhe $ds\,$ angesehen werden. Ihre Masse ist also

$4\rho \pi s^{2}ds.\,$

Dividirt man durch $s\,$, so ergibt sich die Potentialfunction der Elementarschale auf den Anfangspunkt der Coordinaten. Um die Potentialfunction der gesammten anziehenden Masse zu erhalten, hat man in Beziehung auf $s\,$ zwischen den Grenzen $p\,$ und $q\,$ zu integriren. Diese ist demnach

(7)	$V_{0}=4\pi \int \limits _{p}^{q}\rho sds.\,$

Das Integral hat einen endlichen Werth, wenn die Dichtigkeit, wie wir voraussetzen, an keiner Stelle unendlich gross ist.

 Soll auf der anderen Seite $V_{0}\,$ aus dem vollständigen Integral (6) berechnet werden, so hat man dort $s=0\,$ zu setzen. Dadurch würde aber $V_{0}\,$ unendlich gross werden, wenn nicht in (6) die Constante $\alpha =0\,$ gesetzt wird. Und da, wie bewiesen, $V_{0}\,$ nicht unendlich gross ist, so muss $\alpha =0\,$ sein. Hierdurch geht die Gleichung (6) über in

(8)	$V=\beta .\,$

Die Potentialfunction auf einen Punkt im inneren Hohlraume ist also constant, und da ihr Werth für den Anfangspunkt bereits berechnet ist, so hat man überhaupt für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ im inneren Hohlraume

(9)	$V=4\pi \int \limits _{p}^{q}\rho sds.$

 Ist die Dichtigkeit $\rho \,$ constant, so ergibt sich speciell

(10)	$V=2\pi \rho (q^{2}-p^{2}).\,$

 Die Derivirten von $V\,$ sind gleich Null. Die Kugelschale übt also auf einen Punkt im inneren Hohlraume gar keine Anziehung aus.

 Zweitens. Die angezogene Masseneinheit befinde sich in einem Punkte des äusseren Raumes, d. h. in einem Punkte, für welchen $s>q\,$ ist.

 In diesem Falle ist der Werth leicht zu bestimmen, den $V\,$ annimmt für $s=\infty$. Wenn nemlich wie hier kein Theil der an-