Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 97.

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§. 97. Weber’s Grundgesetz.

 Wir haben angenommen, dass bei der Wechselwirkung zwischen elektrischen Theilchen der Satz von der Erhaltung der lebendigen Kraft in Gültigkeit sei. Folglich geht die Bewegung so vor sich, dass der erweiterte Satz von Lagrange (§.95) erfüllt ist, neinlich

(1)	$\delta \int _{0}^{t}(T-D+S)dt=0.$

Wir nehmen nur zwei elektrische Theilchen, die in den Punkten $(x,\,y,\,z)$ und $(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})$ concentrirt sind. Ihre Elektricitätsmengen seien $\varepsilon \,$ und $\varepsilon '\,$, ihre Massen $m\,$ und $m_{1}\,$. In diesem Falle ist

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})+{\frac {1}{2}}m_{1}(x_{1}'^{2}+y_{1}'^{2}+z_{1}'^{2}),\\&D={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2},\\&S=-{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r}}.\\\end{aligned}}$

Danach erhalten wir

${\begin{aligned}\delta \int _{0}^{t}Tdt&=m\int _{0}^{t}(x'\delta x'+y'\delta y'+z'\delta z')dt\\&+m_{1}\int _{0}^{t}(x'_{1}\delta _{1}'+y'_{1}\delta y'_{1}+z'_{1}\delta z'_{1})dt.\\\end{aligned}}$

Hier ist dieselbe Transformation wie im §. 39 auszuführen. Dadurch ergibt sich

(2)

${\begin{aligned}-\delta \int _{0}^{t}Tdt&=m\int _{0}^{t}\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\delta x+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\delta y+{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\delta z\right)dt\\&+m_{1}\int _{0}^{t}\left({\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}\delta x_{1}+{\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}\delta y_{1}+{\frac {d^{2}z_{1}}{dt^{2}}}\delta z_{1}\right)dt.\\\end{aligned}}$

Ferner haben wir

${\begin{aligned}\delta \int _{0}^{t}Sdt&=\varepsilon \varepsilon '\int _{0}^{t}{\frac {\delta r}{r^{2}}}dt.\\\,\\\delta \int _{0}^{t}(-D)dt&={\frac {\varepsilon \varepsilon '}{c^{2}}}\int _{0}^{t}{\frac {\delta r}{r^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}dt\\&-2{\frac {\varepsilon \varepsilon '}{c^{2}}}\int _{0}^{t}{\frac {1}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\frac {d\delta r}{dt}}dt.\\\end{aligned}}$

Das letzte Integral ist noch zu transformiren. Die Integration nach Theilen gibt

${\begin{aligned}\int {\frac {1}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\frac {d\delta r}{dt}}dt=&{\frac {1}{r}}{\frac {dr}{dt}}\delta r\\&-\int {\frac {d\left({\frac {1}{r}}{\frac {dr}{dt}}\right)}{dt}}\delta rdt.\\\end{aligned}}$

Bei der Einsetzung der Grenzen fällt der freie Theil heraus, weil $\delta r=0\,$ ist zu Anfang und zu Ende der Bewegung. Folglich erhalten wir

${\begin{aligned}\int _{0}^{t}{\frac {1}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\frac {d\delta r}{dt}}dt=&-\int _{0}^{t}{\frac {1}{r}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}\delta rdt\\&+\int _{0}^{t}{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}\delta rdt.\\\end{aligned}}$

und deshalb

(3)	$\delta \int _{0}^{t}(-D+S)dt$ $=\int _{0}^{t}dt\delta r\cdot {\frac {\varepsilon \varepsilon '}{r^{2}}}{\Bigg \lbrace }1-{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+{\frac {2r}{c^{2}}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}{\Bigg \rbrace }.$

Setzt man nun aus (2) und (3) in (1) ein, so findet sich, dass zwei elektrische Theilchen $\varepsilon \,$ und $\varepsilon '\,$ in der Entfernung r eine Abstossung auf einander ausüben, deren Richtung in ihre Verbindungslinie fällt, und deren Grösse

${\frac {\varepsilon \varepsilon }{r^{2}}}{\Bigg \lbrace }1-{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+{\frac {2r}{c^{2}}}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}{\Bigg \rbrace }$

ist. Dies ist Weber’s Grundgesetz.^[1]

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1. Weber. Elektrodynamische Maassbestimmungen. Theil 1. Seite 99. (Abhandlungen der K. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig 1846.)