Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 89.

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§. 89.
Fortsetzung: Zwei beliebige constante Ströme.


 Die Gleichung (5) des vorigen Paragraphen bleibt auch dann gültig, wenn der erste Leiter nicht lineär ist. Denn wir können jeden geschlossenen nichtlineären Strom als ein System von lineären Strömen auffassen. Dabei würde resp. an die Stelle treten für und an die Stelle für . Nachher kann man dann wieder die Summen mit einfachen Buchstaben bezeichnen, so dass die Formel (5) wieder zu Stande kömmt.

 Ebenso kann man auch den zweiten Strom nichtlineär nehmen. Die Gleichung (5) des vorigen Paragraphen bleibt dabei in unveränderter Form gültig. Nur hat man jetzt unter die Componenten der gesammten magnetischen Kraft zu verstehen, welche der nichtlineäre erste Strom ausübt, und unter die Componenten der gesammten magnetischen Kraft, die der nichtlineäre zweite Strom ausübt. |[298]

 Wir können nun auf die Gleichungen (1) des §. 78 zurückgehen. Durch sie lässt sich der Ausdruck (5) des vorigen Paragraphen so transformiren:


(1)


Hier erscheint es zweckmässig, die Integration nach Theilen anzuwenden. Wir erhalten



Um das bestimmte Integral zu ermitteln, hat man auf beiden Seiten die Grenzen einzusetzen. Dabei verschwindet rechts der vom Integralzeichen freie Bestandtheil. Denn es ist für sowohl als gleich Null. Man erhält also



In derselben Weise lassen sich die übrigen Bestandtheile auf der rechten Seite von (1) umformen. Es ergibt sich danach



Die Integration ist noch zu vereinfachen. Es sind nemlich die Differenzen





|[299]nur im Innern des zweiten Leiters von Null verschieden [§. 66, (2), §. 77, (1), (2), (3)]. Bezeichnen wir also mit ein Raumelement des zweiten Leiters, so erhalten wir jetzt


(2)


und die Integration erstreckt sich nur über den Raum des zweiten Leiters.

 Die Functionen sind durch die Gleichungen (5) des §. 78 ausgedrückt. Es ist nemlich


(3)




Hier beziehen sich nur auf die magnetischen Kräfte, die von dem ersten Strome ausgeübt werden. Folglich hat man in den Gleichungen (3) unter ein Raumelement im Innern des ersten Leiters zu verstehen. Es sind die Componenten der specifischen Stromintensität in einem Punkte dieses Raumelementes, und ist der Abstand desselben Punktes von dem Punkte . Die Integrationen in (3) erstrecken sich nur über den Raum des ersten Leiters.

 Bezeichnen wir ferner mit die Componenten der specifischen Stromintensität in einem Punkte des zweiten Leiters, so haben wir nach den Gleichungen (1), (2), (3) des §. 77


(4)




|[300]Wir führen dies zunächst in Gleichung (2) ein und erhalten


(5)


Die Integration ist über den Raum des ganzen zweiten Leiters auszudehnen.

 In derselben Weise hätte man auch zu dem Ausdrucke gelangen können:


(6)


Hier hängen mit den magnetischen Kräften zusammen, die der zweite Strom ausübt, und es sind die Componenten der specifischen Stromintensität in einem Punkte im Innern des ersten Leiters. Die Integration in (6) hat man über den Raum des ersten Leiters auszudehnen.

 Setzt man in (5) für ihre Ausdrücke ein aus (3), so ergibt sich



 Dafür lässt sich kürzer schreiben:


(7)


 Die Bedeutung des Ausdruckes



ist leicht zu erkennen. Es ist nemlich, wenn i die gesammte specifische Stromintensität in einem Punkte von bezeichnet, nach §. 54, (9):





Dem entsprechend erhalten wir





wenn die gesammte specifische Stromintensität in einem Punkte von bezeichnet. Demnach ist |[301]



und die Gleichung (7) geht schliesslich in die folgende über:


(8)