Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 89.

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§. 89. Fortsetzung: Zwei beliebige constante Ströme.

 Die Gleichung (5) des vorigen Paragraphen bleibt auch dann gültig, wenn der erste Leiter nicht lineär ist. Denn wir können jeden geschlossenen nichtlineären Strom als ein System von lineären Strömen auffassen. Dabei würde resp. $\sum X,\ \sum Y,\ \sum Z\,$ an die Stelle treten für $X,\ Y,\ Z,\,$ und $\sum P\,$ an die Stelle für $P\,$. Nachher kann man dann wieder die Summen mit einfachen Buchstaben bezeichnen, so dass die Formel (5) wieder zu Stande kömmt.

 Ebenso kann man auch den zweiten Strom nichtlineär nehmen. Die Gleichung (5) des vorigen Paragraphen bleibt dabei in unveränderter Form gültig. Nur hat man jetzt unter $X,\ Y,\ Z\,$ die Componenten der gesammten magnetischen Kraft zu verstehen, welche der nichtlineäre erste Strom ausübt, und unter $X',\ Y',\ Z'\,$ die Componenten der gesammten magnetischen Kraft, die der nichtlineäre zweite Strom ausübt.

 Wir können nun auf die Gleichungen (1) des §. 78 zurückgehen. Durch sie lässt sich der Ausdruck (5) des vorigen Paragraphen so transformiren:

(1)

$P={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }dxdydz{\begin{Bmatrix}\quad {\frac {\partial u_{2}}{\partial z}}X'-{\frac {\partial u_{3}}{\partial y}}X'\\+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x}}Y'-{\frac {\partial u_{1}}{\partial z}}Y'\\+{\frac {\partial u_{1}}{\partial y}}Z'-{\frac {\partial u_{2}}{\partial x}}Z'\end{Bmatrix}}.$

Hier erscheint es zweckmässig, die Integration nach Theilen anzuwenden. Wir erhalten

$\int {\frac {\partial u_{2}}{\partial z}}X'dz=u_{2}X'-\int u_{2}{\frac {\partial X'}{\partial z}}\,dz$

Um das bestimmte Integral zu ermitteln, hat man auf beiden Seiten die Grenzen einzusetzen. Dabei verschwindet rechts der vom Integralzeichen freie Bestandtheil. Denn es ist für $z=\pm \infty \,$ sowohl $u_{2}\,$ als $X'\,$ gleich Null. Man erhält also

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u_{2}}{\partial z}}X'dxdydz=-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u_{2}{\frac {\partial X'}{\partial z}}\,dxdydz.$

In derselben Weise lassen sich die übrigen Bestandtheile auf der rechten Seite von (1) umformen. Es ergibt sich danach

$P={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }dxdydz{\begin{Bmatrix}\quad u_{1}\left({\frac {\partial Y'}{\partial z}}-{\frac {\partial Z'}{\partial y}}\right)\\+u_{2}\left({\frac {\partial Z'}{\partial x}}-{\frac {\partial X'}{\partial z}}\right)\\+u_{3}\left({\frac {\partial X'}{\partial y}}-{\frac {\partial Y'}{\partial x}}\right)\end{Bmatrix}}.$

Die Integration ist noch zu vereinfachen. Es sind nemlich die Differenzen

${\frac {\partial Y'}{\partial z}}-{\frac {\partial Z'}{\partial y}},\,$ ${\frac {\partial Z'}{\partial x}}-{\frac {\partial X'}{\partial z}},\,$ ${\frac {\partial X'}{\partial y}}-{\frac {\partial Y'}{\partial x}}\,$

nur im Innern des zweiten Leiters von Null verschieden [§. 66, (2), §. 77, (1), (2), (3)]. Bezeichnen wir also mit $dS'\,$ ein Raumelement des zweiten Leiters, so erhalten wir jetzt

(2)

$P={\frac {1}{4\pi }}\int dS'{\begin{Bmatrix}u_{1}\left({\frac {\partial Y'}{\partial z}}-{\frac {\partial Z'}{\partial y}}\right)\\+u_{2}\left({\frac {\partial Z'}{\partial x}}-{\frac {\partial X'}{\partial z}}\right)\\+u_{3}\left({\frac {\partial X'}{\partial y}}-{\frac {\partial Y'}{\partial x}}\right)\end{Bmatrix}},$

und die Integration erstreckt sich nur über den Raum des zweiten Leiters.

 Die Functionen $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}\,$ sind durch die Gleichungen (5) des §. 78 ausgedrückt. Es ist nemlich

(3)	$u1=-\int {\frac {i_{1}\,dS}{r}},$ $u2=-\int {\frac {i_{2}\,dS}{r}},$ $u3=-\int {\frac {i_{3}\,dS}{r}}.$

Hier beziehen sich $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ nur auf die magnetischen Kräfte, die von dem ersten Strome ausgeübt werden. Folglich hat man in den Gleichungen (3) unter $dS\,$ ein Raumelement im Innern des ersten Leiters zu verstehen. Es sind $i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\,$ die Componenten der specifischen Stromintensität in einem Punkte dieses Raumelementes, und $r\,$ ist der Abstand desselben Punktes von dem Punkte $(x,\,y,\,z)$. Die Integrationen in (3) erstrecken sich nur über den Raum des ersten Leiters.

 Bezeichnen wir ferner mit $i_{1}',\,i_{2}',\,i_{3}'\,$ die Componenten der specifischen Stromintensität in einem Punkte des zweiten Leiters, so haben wir nach den Gleichungen (1), (2), (3) des §. 77

(4)	$4\,\pi \,i_{1}'={\frac {\partial Z'}{\partial y}}-{\frac {\partial Y'}{\partial z}},$ $4\,\pi \,i_{2}'={\frac {\partial X'}{\partial z}}-{\frac {\partial Z'}{\partial x}},$ $4\,\pi \,i_{3}'={\frac {\partial Y'}{\partial x}}-{\frac {\partial X'}{\partial y}}.$

Wir führen dies zunächst in Gleichung (2) ein und erhalten

(5)	$P=-\int dS'(u_{1}i_{1}'+u_{2}i_{2}'+u_{3}i_{3}').$

Die Integration ist über den Raum des ganzen zweiten Leiters auszudehnen.

 In derselben Weise hätte man auch zu dem Ausdrucke gelangen können:

(6)	$P=-\int dS(u_{1}'i_{1}+u_{2}'i_{2}+u_{3}'i_{3}).$

Hier hängen $u_{1}',\ u_{2}',\ u_{3}'\,$ mit den magnetischen Kräften zusammen, die der zweite Strom ausübt, und es sind $i_{1},\ i_{2},\ i_{3}\,$ die Componenten der specifischen Stromintensität in einem Punkte im Innern des ersten Leiters. Die Integration in (6) hat man über den Raum des ersten Leiters auszudehnen.

 Setzt man in (5) für $u_{1},\ u_{2},\ u_{3}\,$ ihre Ausdrücke ein aus (3), so ergibt sich

$P=\int dS\left\lbrace i_{1}'\int {\frac {i_{1}dS}{r}}+i_{2}'\int {\frac {i_{2}dS}{r}}+i_{3}'\int {\frac {i_{3}dS}{r}}\right\rbrace .$

 Dafür lässt sich kürzer schreiben:

(7)	$P=\iint {\frac {dS\cdot dS'}{r}}\lbrace i_{1}\cdot i_{1}'+i_{2}\cdot i_{2}'+i_{3}\cdot i_{3}'\rbrace .$

 Die Bedeutung des Ausdruckes

$i_{1}\cdot i_{1}'+i_{2}\cdot i_{2}'+i_{3}\cdot i_{3}'\,$

ist leicht zu erkennen. Es ist nemlich, wenn i die gesammte specifische Stromintensität in einem Punkte von $dS\,$ bezeichnet, nach §. 54, (9):

$i_{1}=i\cos a,\,$ $i_{2}=i\cos b,\,$ $i_{3}=i\cos c.\,$

Dem entsprechend erhalten wir

$i_{1}'=i'\cos a',\,$ $i_{2}'=i'\cos b',\,$ $i_{3}'=i'\cos c',\,$

wenn $i'\,$ die gesammte specifische Stromintensität in einem Punkte von $dS'\,$ bezeichnet. Demnach ist

$i_{1}\cdot i_{1}^{\prime }+i_{2}\cdot i_{2}^{\prime }+i_{3}\cdot i_{3}^{\prime }$ $=i\cdot i^{\prime }\,(\cos a\;\cos a^{\prime }+\cos b\;\cos b^{\prime }+\cos c\;\cos c^{\prime })$ $=i\cdot i^{\prime }\,\cos \,(i\,i^{\prime }),\,$

und die Gleichung (7) geht schliesslich in die folgende über:

(8)	$P=\iint {\frac {dS\cdot dS^{\prime }}{r}}\cdot i\cdot i^{\prime }\,\cos \,(i\,i^{\prime }).$

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