Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 88.

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§. 88. Die elektrodynamische Elementar-Arbeit. Zwei constante lineäre Ströme.

 Wir haben im §. 86 die Wechselwirkung zwischen zwei Magneten betrachtet. In §. 87 ist für den ersten Magnet ein constanter galvanischer Strom an die Stelle gesetzt. Man kann aber auch noch statt des andern Magnets einen constanten Strom nehmen. Dann handelt es sich um die Wechselwirkung zwischen zwei constanten Strömen. Insofern die dabei geleistete Arbeit zur Bewegung der Ströme mit den Stromleitern verbraucht wird, nennen wir die Wechselwirkung die elektrodynamische.

 Es soll jetzt die Funktion $P\,$ hergestellt werden, deren unendlich kleine Aenderung die elektrodynamische Elementar-Arbeit angibt, welche bei einer unendlich kleinen Verschiebung der beiden Ströme geleistet wird.

 Wir können dabei von der Gleichung (2) des vorigen Paragraphen ausgehen, haben aber jetzt $V'\,$ als die Potentialfunction der magnetischen Kraft anzusehen, welche von einem lineären galvanischen Strome ausgeübt wird. Im Punkte $(x,\,y,\,z)$ sind die Componenten dieser Kraft

(1)	${\frac {\partial V'}{\partial x}}=X',\quad {\frac {\partial V'}{\partial y}}=Y',\quad {\frac {\partial V'}{\partial z}}=Z',\,$

und es ist zu beachten, dass $X',\ Y',\ Z'\,$ überall ausserhalb des lineären Stromes, von dem sie herrühren, endlich und stetig variabel sind. Nun findet sich

${\frac {\partial V'}{\partial p}}=X'{\frac {\partial x}{\partial p}}+Y'{\frac {\partial y}{\partial p}}+Z'{\frac {\partial z}{\partial p}},\,$

und folglich kann man die Gleichung (2) des vorigen Paragraphen jetzt so schreiben:

(2)

${\begin{aligned}P=&-{\frac {1}{4\pi }}\int V_{+0}d\sigma \left\lbrace X'{\frac {\partial x}{\partial p}}+Y'{\frac {\partial y}{\partial p}}+Z'{\frac {\partial z}{\partial p}}\right\rbrace \\&+{\frac {1}{4\pi }}\int V_{-0}d\sigma \left\lbrace X'{\frac {\partial x}{\partial p}}+Y'{\frac {\partial y}{\partial p}}+Z'{\frac {\partial z}{\partial p}}\right\rbrace .\\\end{aligned}}$

Betrachtet man aber die beiden Seiten der Fläche $S\,$ als einen Theil der Begrenzung des unendlichen Raumes (die übrige Begrenzung ist eine unendlich entfernte Kugelfläche), so kann man auf der positiven, wie auf der negativen Seite von $S\,$ die Normale $n\,$ nach dem Innern dieses Raumes hin ziehen. Auf der Seite der positiven $p\,$ hat man $n=p\,$, auf der Seite der negativen $p\,$ dagegen $n=-p\,$. Die Gleichung (4) gibt demnach jetzt:

(3)	$P=-{\frac {1}{4\pi }}\int Vd\sigma \left\lbrace X'{\frac {\partial x}{\partial n}}+Y'{\frac {\partial y}{\partial n}}+Z'{\frac {\partial z}{\partial n}}\right\rbrace ,$

wenn die Integration über beide Seiten der Fläche $S\,$ ausgedehnt wird.

 Dieses Integral lässt sich durch ein Raum-Integral, ersetzen. Bezeichnen wir nemlich mit $T\,$ den unendlichen Raum, welcher eine unendlich entfernte Kugelfläche und die beiden Seiten der Fläche $S\,$ zur Begrenzung hat, so findet sich nach §. 19 (4), dass das über den unendlichen Raum ausgedehnte Integral

$\int dT\left({\frac {\partial (VX')}{\partial x}}+{\frac {\partial (VY')}{\partial x}}+{\frac {\partial (VZ')}{\partial z}}\right)$

gleich ist dem Oberflächen-Integral

$-\int Vd\sigma \left(X'{\frac {\partial x}{\partial n}}+Y'{\frac {\partial y}{\partial n}}+Z'{\frac {\partial z}{\partial n}}\right),$

wenn dieses über die beiden Seiten der Fläche $S\,$ und über die unendlich ferne Kugelfläche erstreckt wird. Nun sind aber in unendlicher Entfernung sowohl $V\,$ als $X',\ Y',\ Z'\,$ gleich Null. Das Integral über die Kugelfläche fällt also weg, und wir erhalten

(4)	$P={\frac {1}{4\pi }}\int dT\left\lbrace {\frac {\partial (VX')}{\partial x}}+{\frac {\partial (VY')}{\partial y}}+{\frac {\partial (VZ')}{\partial z}}\right\rbrace .\,$

 Die Integration in (4) ist über den ganzen unendlichen Raum auszudehnen.

 Wir können noch weiter transformiren. Durch Ausführung der Differentiation ergibt sich nemlich

${\frac {\partial (VX')}{\partial x}}+{\frac {\partial (VY')}{\partial x}}+{\frac {\partial (VZ')}{\partial z}}$ $=X'{\frac {\partial V}{\partial x}}+Y'{\frac {\partial V}{\partial y}}+Z'{\frac {\partial V}{\partial z}}\,$ $+V\left({\frac {\partial X'}{\partial x}}+{\frac {\partial Y'}{\partial x}}+{\frac {\partial Z'}{\partial z}}\right).\,$

Da aber $X',\ Y',\ Z'\,$ von einem lineären galvanischen Strome herrühren, so ist in dem ganzen unendlichen Raume ausserhalb des Stromleiters

${\frac {\partial X'}{\partial x}}+{\frac {\partial Y'}{\partial y}}+{\frac {\partial Z'}{\partial z}}=0.$

Es ist ferner $V\,$ die Potentialfunction der magnetischen Kraft, welche der erste lineäre galvanische Strom ausübt, folglich

${\frac {\partial V}{\partial x}}=X,\ {\frac {\partial V}{\partial x}}=Y,\ {\frac {\partial V}{\partial z}}=Z.\,$

Danach kann man statt der Gleichung (4) auch

(5)	$P={\frac {1}{4\pi }}\int dT(XX'+YY'+ZZ')$

setzen, und das Integral erstreckt sich über den ganzen unendlichen Raum.

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