Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 5.

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§. 5. Anziehung einer homogenen Kugel.

 Die im vorigen Paragraphen gewonnenen Resultate können dazu dienen, bei constanter Dichtigkeit die Anziehung zu berechnen, welche eine kugelförmige Masse auf einen Punkt im Innern derselben ausübt. Man hat nur zu bemerken, dass die Gleichung (10) für den angezogenen Punkt im inneren Hohlraume und die Gleichung (11) für den angezogenen Punkt im äusseren Raume gültig ist, wie nahe derselbe auch der Begrenzungsfläche der anziehenden Masse liegen möge. Die Gleichungen gelten also selbst dann noch, wenn der angezogene Punkt der Begrenzungsfläche unendlich nahe, oder mit anderen Worten, wenn er auf der Begrenzungsfläche liegt.

 Die Oberfläche der anziehenden kugelförmigen Masse habe den Radius $q\,$, der angezogene Punkt sei vom Mittelpunkte der Kugel um die Strecke $s\,$ entfernt, und $s\,$ sei kleiner als $q\,$.

 Dann zerlegen wir die anziehende Masse in zwei Theile, nemlich eine mit der Gesammtmasse concentrische Kugel vom Radius $s\,$ und die Schale, durch welche diese Kugel zu der Gesammtmasse ergänzt wird. Für die Kugel vom Radius $s\,$ ist der angezogene Punkt im äusseren Raume gelegen, speciell auf der Begrenzungsfläche. Die Potentialfunction ist also nach §. 4, Gleichung (11) zu berechnen. Die Masse $M\,$ ist hier $={\frac {4}{3}}\pi \rho s^{3}\,$, folglich die Potentialfunction

${\frac {4}{3}}\pi \rho s^{2}.\,$

Für die Kugelschale liegt der angezogene Punkt im inneren Hohlraume, speciell auf der inneren Begrenzung. Folglich ist die Potentialfunction nach §. 4, Gleichung (10) zu berechnen und $s\,$ an die Stelle von $p\,$ zu schreiben.

 Die Potentialfunction der gesammten anziehenden Kugel vom Radius $q\,$ auf einen inneren Punkt $(s<q)\,$ ist also

$V={\frac {4}{3}}\pi \rho s^{2}+2\pi \rho (q^{2}-s^{2})\,$

oder kürzer

(1)	$V=2\pi \rho q^{2}-{\frac {2}{3}}\pi \rho s^{2}.\,$

 Dagegen ist die Potentialfunction derselben kugelförmigen Masse auf einen äusseren Punkt $(s>q)\,$

(2)	$V={\frac {4\pi \;\rho \;q^{3}}{3s}},\,$

wie sich unmittelbar aus §. 4, Gleichung (11) ergibt. Der Ausdruck für $V\,$ ist also durchaus verschieden, je nachdem der angezogene Punkt innerhalb oder ausserhalb der anziehenden Kugel liegt. Ebenso weichen auch die Ausdrücke für die ersten Derivirten ab. Denn es ist für $s<q\,$:

(3)

${\frac {\partial \;V}{\partial x}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;s{\frac {\partial s}{\partial x}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;x,$ ${\frac {\partial \;V}{\partial y}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;s{\frac {\partial s}{\partial y}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;y,$ ${\frac {\partial \;V}{\partial z}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;s{\frac {\partial s}{\partial z}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;z.$

 Dagegen hat man für $s<q\,$:

(4)	${\frac {\partial \;V}{\partial x}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;\;q^{3}{\frac {x}{s^{3}}},$ ${\frac {\partial \;V}{\partial y}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;\;q^{3}{\frac {y}{s^{3}}},$ ${\frac {\partial \;V}{\partial z}}=-{\frac {4}{3}}\pi \;\rho \;\;q^{3}{\frac {z}{s^{3}}}.$

 Es ist nicht überflüssig zu bemerken, dass für $s=q\,$ die beiden Ausdrücke für $V\,$ in (1) und (2) denselben Werth geben, und ebenso die Ausdrücke für die gleichnamigen Derivirten in (3) und in (4). Obgleich also die Function $V\,$ durch zwei ganz verschiedene analytische Ausdrücke dargestellt wird, je nachdem der Punkt $(x,\,y,\,z)$ innerhalb oder ausserhalb der anziehenden Masse liegt, so hat sie doch überall einen endlichen Werth, der sich stetig ändert, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ sich stetig bewegt, auch dann noch, wenn er durch die Oberfläche der anziehenden Masse hindurchgeht. Dasselbe gilt von den ersten Derivirten ${\frac {\partial \;V}{\partial x}},{\frac {\partial \;V}{\partial y}},{\frac {\partial \;V}{\partial z}}$. Es gilt aber nicht von den zweiten Derivirten. Man erhält nemlich für $s<q\,$.

(5)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho ,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\;\partial z}}=0,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho ,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z\;\partial x}}=0,$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho ,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x\;\partial y}}=0.$

 Dagegen ergibt sich für $s>q\,$:

(6)

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho q^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}-{\frac {3x^{2}}{s^{5}}}\right),{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\;\partial z}}=4\pi \rho q^{3}{\frac {yz}{s^{5}}},$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho q^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}-{\frac {3y^{2}}{s^{5}}}\right),{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z\;\partial x}}=4\pi \rho q^{3}{\frac {zx}{s^{5}}},$ ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-{\frac {4}{3}}\pi \rho q^{3}\left({\frac {1}{s^{3}}}-{\frac {3z^{2}}{s^{5}}}\right),{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\;\partial z}}=4\pi \rho q^{3}{\frac {xy}{s^{5}}},$

 Hier geben auch für $s=q\,$ die Ausdrücke der gleichnamigen Derivirten in (5) und in (6) nicht dieselben Werthe. Die zweiten Derivirten von $V\,$ ändern sich also sprungweise, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ durch die Oberfläche der anziehenden Masse hindurchgeht.

 Zu bemerken ist noch, dass für $s>q\,$ sich ergibt

(7)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.\,$

Dies ist die Gleichung von Laplace, die wir für einen Punkt ausserhalb der anziehenden Masse bereits allgemein bewiesen haben.

 Für $s<q\,$, d. h. wenn der angezogene Punkt innerhalb der anziehenden Kugel liegt, erhalten wir

(8)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \rho .\,$

 Diese Gleichung ist hier vorläufig nur für einen Specialfall bewiesen. Der allgemeine Fall soll ausführlich behandelt werden.

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