Schwere, Elektricität und Magnetismus:030

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 5.

und in jeder Richtung, die zum Radius vector rechtwinklig liegt $(s=\mathrm {const} .)\,$, ist die Componente gleich Null.

 Demnach fällt die gesammte Kraft, welche die Kugelschale auf einen Punkt im äusseren Raume ausübt, in die Richtung des Radius vector, und da sie negativ ist, in die Richtung des abnehmenden Radius vector. Es ist also eine anziehende Kraft, und zwar dieselbe, die sich ergeben würde, wenn die gesammte anziehende Masse in dem Mittelpunkte der die Schale begrenzenden Kugelflächen concentrirt wäre.

 Die Gleichung (11) behält für einen Punkt im äusseren Raume ihre Gültigkeit auch für $p=0\,$, d. h. wenn die anziehende Masse eine volle Kugel ist.

§. 5. Anziehung einer homogenen Kugel.

 Die im vorigen Paragraphen gewonnenen Resultate können dazu dienen, bei constanter Dichtigkeit die Anziehung zu berechnen, welche eine kugelförmige Masse auf einen Punkt im Innern derselben ausübt. Man hat nur zu bemerken, dass die Gleichung (10) für den angezogenen Punkt im inneren Hohlraume und die Gleichung (11) für den angezogenen Punkt im äusseren Raume gültig ist, wie nahe derselbe auch der Begrenzungsfläche der anziehenden Masse liegen möge. Die Gleichungen gelten also selbst dann noch, wenn der angezogene Punkt der Begrenzungsfläche unendlich nahe, oder mit anderen Worten, wenn er auf der Begrenzungsfläche liegt.

 Die Oberfläche der anziehenden kugelförmigen Masse habe den Radius $q\,$, der angezogene Punkt sei vom Mittelpunkte der Kugel um die Strecke $s\,$ entfernt, und $s\,$ sei kleiner als $q\,$.

 Dann zerlegen wir die anziehende Masse in zwei Theile, nemlich eine mit der Gesammtmasse concentrische Kugel vom Radius $s\,$ und die Schale, durch welche diese Kugel zu der Gesammtmasse ergänzt wird. Für die Kugel vom Radius $s\,$ ist der angezogene Punkt im äusseren Raume gelegen, speciell auf der Begrenzungsfläche. Die Potentialfunction ist also nach §. 4, Gleichung (11) zu berechnen. Die Masse $M\,$ ist hier $={\frac {4}{3}}\pi \rho s^{3}\,$, folglich die Potentialfunction