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§. 20.
Satz von Green.
Es seien
und
zwei Functionen von
, deren Werthe wir für jeden Punkt im Innern des Raumes
als gegeben ansehen. Wir betrachten das Integral
(1)
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welches über den ganzen Raum
erstreckt werden soll. Nun ist
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und zwei entsprechende Gleichungen ergeben sich, wenn man die
|[72]Differentiationen nach
und nach
vornimmt. Folglich kann man schreiben:
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Auf die drei letzten Integrale lässt sich die Transformation des vorigen Paragraphen anwenden, wenn vorausgesetzt wird, dass
im Innern des Raumes
endliche und stetige Functionen sind. Man erhält danach
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oder kürzer
(2)
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Das erste Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung ist über den Raum
, das zweite über seine Oberfläche zu erstrecken.
Die Voraussetzung, unter welcher das Integral (1) in die Form (2) gebracht werden kann, ist erfüllt, wenn
und
und die ersten Derivirten von
im Innern des Raumes
endlich und stetig variabel sind. Setzt man dasselbe auch noch von den ersten Derivirten der Function
voraus, so gilt auch die Transformation:
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|[73]
Aus (2) und (3) geht dann ohne weiteres der Satz hervor:
(4)
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Dieser Satz ist gültig, wenn im Innern des Raumes
die Functionen
und
, sowie die ersten Derivirten von
und von
endlich und stetig variabel sind.
Treten im Innern von
in einzelnen Flächen oder Linien oder Punkten Unstetigkeiten von
oder von
oder von den ersten Derivirten dieser Functionen auf, so hat man den Raum
in zwei Bestandtheile
und
zu zerlegen, so dass alle Unstetigkeiten der Functionen in
liegen. Auf den Raum
darf man dann den Satz (4) anwenden, und es ist die Frage aufzuwerfen, welchen Grenzwerthen sich die Integrale annähern, wenn man den Raum
unendlich abnehmen lässt. Sind solche bestimmte, endliche Grenzwerthe vorhanden, so gilt der Satz (4) auch für den Raum
. Das dreifache Integral ist über den ganzen Raum
zu erstrecken, das Oberflächen-Integral über seine Oberfläche und über die Umhüllungen der Unstetigkeitsstellen.
Dieser Satz ist von Green aufgestellt im 3. Artikel einer Abhandlung, die zuerst in Nottingham 1828 erschienen und später in Crelle's Journal, Bd. 39, 44, 47, wieder abgedruckt ist.*)[1]
- ↑ *) An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism.