Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 19.

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§. 19. Hülfssatz aus der Analysis.

 Wir schalten einen Hülfssatz ein, der häufig in Anwendung kommt.

 Es sei $T\,$ ein vollständig begrenzter Raum und $F\,$ eine Function von $x,\,y,\,z$, die im Innern des Raumes $T\,$ an jeder Stelle einen endlichen, bestimmten Werth hat und bei einer stetigen Verschiebung des Punktes $(x,\,y,\,x)$ sich stetig ändert. Wir wollen das Integral

(1)	$J=\iiint {\frac {\partial F}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz$

über den ganzen Raum $T\,$ erstrecken. Die Coordinaten-Ebenen mögen so gelegt sein, dass jedem Punkte im Innern und in der Oberfläche von $T\,$ positive Coordinaten $x,\,y,\,z\,$ angehören, In der $yz\,$Ebene zeichnen wir ein Rechteck, dessen einer Eckpunkt, dem Anfangspunkte zunächst gelegen, die Coordinaten $0,\,y,\,z$ hat, und dessen Seiten von der Länge $dy,\,dz$ parallel den Axen liegen. (Fig. 11.) Ueber diesem Rechteck als Grundfläche errichten wir ein Prisma, dessen Kanten zu der Axe der $x\,$ parallel laufen. Der Punkt $(0,\,y,\,z)$ sei so gewählt, dass das Prisma den Raum $T\,$ durchschneide. Es sind dann ebenso viele Austritts- wie Eintrittsstellen vorhanden, und zwar findet abwechselnd Ein- und Austritt statt. Wir bezeichen mit $x_{1},x_{3},...\,x_{2m-1}$ Werthe von $x\,$ an den Stellen, wo die im Punkte $(0,\,y,\,z)$ errichtete Kante des Prisma in den Raum $T\,$ eintritt, und mit $x_{2},x_{4},...\,x_{2m}$die Werthe von $x\,$ an den Stellen, wo sie austritt. Diese Abscissen sind nach ihrer Grösse geordnet:

$x_{1}<x_{2}<x_{3}<\ldots x_{2m-1}<x_{2m}.$

Die Werthe von $F\,$ an den Ein- und Austrittsstellen sollen mit $F_{1},F_{2},F_{3},\ldots F_{2m}$ bezeichnet werden. Dann hat man zunächst

$\int {\frac {\partial F}{\partial x}}dx=-F_{1}+F_{2}-F_{3}+-\ldots +F_{2m}.\,$

Das Prisma schneidet an den Ein- und Austrittsstellen aus der

Fig. 11.

Oberfläche des Raumes $T\,$ Elemente heraus, die wir mit $d\sigma _{1},\,d\sigma _{2},\ldots d\sigma _{2m}$ bezeichnen. Denkt man sich nun die im §. 11 gebrauchten Coordinaten $q,s,n\,$ eingeführt, so ist ${\frac {\partial x}{\partial n}}\,$ der Cosinus des Winkels, welchen die auf $d\sigma \,$ nach dem Innern des Raumes $T\,$ gezogene Normale mit der Richtung der positiven $x\,$ einschliesst. Dieser Cosinus ist positiv an allen Eintrittsstellen und negativ an allen Austrittsstellen. Nun ist aber das Rechteck $dy\,dz$ die Projection aller Flächenelemente $d\sigma \,$, welche das Prisma aus der Oberfläche von $T\,$ ausschneidet. Man hat also die Gleichungen

$dy\,dz=\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{1}=\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{3}=\ldots =\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{2m-1}$

und

$-dy\,dz=\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{2}=\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{4}=\ldots =\left({\frac {\partial x}{\partial n}}\,d\sigma \right)_{m}.$

 Folglich ergibt sich

(2)	$-dy\,dz\int {\frac {\partial F}{\partial x}}dx=-\sum F{\frac {\partial x}{\partial n}}d\sigma .$

Das Zeichen $\sum$ auf der rechten Seite von (2) bedeutet, dass die Werthe der Function $F{\frac {\partial x}{\partial n}}d\sigma$ an allen Eintritts- und Austrittsstellen summirt werden sollen. Es bleibt dann noch die doppelte Integration nach $y\,$ und nach $z\,$ auszuführen. Dies geschieht, wenn man auf der rechten Seite von (2) nicht nur die Beiträge nimmt, welche ein einzelnes Elementarprisma liefert, sondern die Beiträge von allen Prismen, die den Raum $T\,$ überhaupt treffen. D. h. die Summe auf der rechten Seite der Gleichung (2) wird zu einem Integral, welches über die ganze Oberfläche von $T\,$ zu erstrecken ist. Danach lautet das Resultat:

(3)	$\iiint {\frac {\partial F}{\partial x}}dx\,dy\,dz=-\int F{\frac {\partial x}{\partial n}}d\sigma .$

Die Integration auf der linken Seite ist über den ganzen Raum $T\,$, auf der rechten Seite über seine Oberfläche auszudehnen.

 Auf demselben Wege findet man noch die etwas allgemeinere Gleichung:

(4)	$\iiint \left({\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}}\right)dx\,dy\,dz$

$=-\int \left(F_{1}{\frac {\partial x}{\partial n}}+F_{2}{\frac {\partial y}{\partial n}}+F_{3}{\frac {\partial z}{\partial n}}\right)d\sigma .$

Dabei ist nur vorausgesetzt, dass die von $x,\,y,\,z$ abhängigen Functionen $F_{1},\,F_{2},\,F_{3}$ im Innern des Körpers endlich und stetig variabel sind.

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