Schwere, Elektricität und Magnetismus:087

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 73
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Satz von Green.

 Aus (2) und (3) geht dann ohne weiteres der Satz hervor:

(4)

$\iiint \left\lbrack V\left({\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}\right)-U\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)\right\rbrack dx\,dy\,dz$

$+\int \left(V{\frac {\partial U}{\partial n}}-U{\frac {\partial V}{\partial n}}\right)d\sigma$ $=0.\,$

 Dieser Satz ist gültig, wenn im Innern des Raumes $T\,$ die Functionen $U\,$ und $V\,$, sowie die ersten Derivirten von $U\,$ und von $V\,$ endlich und stetig variabel sind.

 Treten im Innern von $T\,$ in einzelnen Flächen oder Linien oder Punkten Unstetigkeiten von $U\,$ oder von $V\,$ oder von den ersten Derivirten dieser Functionen auf, so hat man den Raum $T\,$ in zwei Bestandtheile $T_{1}\,$ und $T_{2}\,$ zu zerlegen, so dass alle Unstetigkeiten der Functionen in $T_{2}\,$ liegen. Auf den Raum $T_{1}\,$ darf man dann den Satz (4) anwenden, und es ist die Frage aufzuwerfen, welchen Grenzwerthen sich die Integrale annähern, wenn man den Raum $T_{2}\,$ unendlich abnehmen lässt. Sind solche bestimmte, endliche Grenzwerthe vorhanden, so gilt der Satz (4) auch für den Raum $T\,$. Das dreifache Integral ist über den ganzen Raum $T\,$ zu erstrecken, das Oberflächen-Integral über seine Oberfläche und über die Umhüllungen der Unstetigkeitsstellen.

 Dieser Satz ist von Green aufgestellt im 3. Artikel einer Abhandlung, die zuerst in Nottingham 1828 erschienen und später in Crelle's Journal, Bd. 39, 44, 47, wieder abgedruckt ist.*)^[1]

§. 21. Herstellung der Potentialfunction im Innern eines vorgeschriebenen Raumes. Werth in der Oberfläche und partielle Differentialgleichung im Innern gegeben.

 Der Satz von Green dient zu der Lösung der Aufgabe: die Potentialfunction $V'\,$ für jeden Punkt $(x',\,y',\,z')$ im Innern eines vollständig begrenzten Raumes $T\,$ zu bestimmen, wenn ihr Werth in jedem Punkte der Oberfläche gegeben und ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ im Innern von $T\,$ bekannt ist.

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1. *) An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism.