Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 13.

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§. 13. Die Gleichung: ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \,\rho .$

 Die Masse sei in einem Raume von drei Dimensionen stetig vertheilt. Im Innern dieses Raumes betrachten wir ein gerades

Parallelepipedon, von welchem ein Eckpunkt, dem Anfangspunkte

Fig. 7.

zunächst gelegen, die Coordinaten $x,\,y,\,z$ hat. Die von diesem Eckpunkte (Fig. 7) ausgehenden Kanten von der Länge $dx,\,dy,\,dz$ sollen den rechtwinkligen Coordinatenaxen parallel laufen. Auf dieses Parallelepipedon wenden wir den Satz des vorigen Paragraphen an. Rechtwinklig zur Axe der $x\,$ liegen zwei Seitenflächen, jede vom Inhalt $dy\;dz$, die eine im Abstande $x\!$, die andere im Abstande $x+dx\!$ von der $yz\!$ Ebene. Für die erste ist

$N={\frac {\partial \,V}{\partial x}},$

für die andere

$N=-\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)_{x+dx}$.

Folglich liefern die beiden eben betrachteten Flächen zu dem Integral

(1)	$\int N\,d\sigma$

den Beitrag

$-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}\,dx\,dy\,dz.$

Ebenso findet sich

$-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}\,dx\,dy\,dz$

als der Beitrag, welchen die beiden zur $y\,$Axe rechtwinkligen Begrenzungsflächen liefern, und

$-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\,dx\,dy\,dz$

als der Beitrag, welcher von den beiden zur $z\,$ Axe rechtwinkligen Begrenzungsflächen herrührt. Das Integral (1), über die ganze Begrenzung des Parallelepipedon erstreckt, hat also den Werth

(2)	$-\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz.$

Dabei ist vorausgesetzt, dass ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ je einen bestimmten endlichen Werth haben, dass also der Punkt $(x,\,y,\,z)$ weder in der Oberfläche des anziehenden Körpers noch in einer Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit liege.

 Nach dem Satze des vorigen Paragraphen ist das Integral (1) gleich

(3)	$4\pi \,\rho \,dx\,dy\,dz,$

wenn mit $\rho \,$ die Dichtigkeit im Punkte $(x,\,y,\,z)$ bezeichnet wird. Folglich erhält man aus (2) und (3)

(4)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \rho .$

Dies ist die Verallgemeinerung des Satzes von Laplace. Wir haben sie an einem Beispiele bereits in §. 5, Gleichung (8) kennen gelernt. Hier ist sie für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ bewiesen, der innerhalb eines beliebig gestalteten, mit Masse erfüllten Raumes liegt, nur nicht in der Oberfläche und nicht in einer Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit.

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