Schwere, Elektricität und Magnetismus:060

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 14.

nur nicht in der Oberfläche und nicht in einer Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit.

§. 14. Die anziehende Masse ist über eine Fläche ausgebreitet. Die Gleichung: $\left({\frac {\partial {V}}{\partial {p}}}\right)_{+\varepsilon }-\left({\frac {\partial {V}}{\partial {p}}}\right)_{-\varepsilon }=-4\,\pi \,\rho .$

 Wir betrachten den abstracten Fall, dass die Masse über eine Fläche stetig vertheilt ist. Ein Punkt der Fläche habe die Coordinaten $a,\,b,\,c$. Die Dichtigkeit an dieser Stelle sei $\rho \,$. Wir verstehen darunter den Quotienten, der sich ergibt, wenn die Masse des an $(a,\,b,\,c)\,$ anstossenden Flächen-Elementes $d\sigma \,$ durch den Inhalt dieses Elementes dividirt wird. Die Dichtigkeit soll in keinem Punkte der Fläche unendlich gross sein und, wenn nichts anderes ausdrücklich gesagt ist, sich überall stetig ändern. Dann haben wir

(1)	$V=\int {\frac {\rho \,d\sigma }{r}},$

und die Integration ist über die ganze anziehende Fläche zu erstrecken.

 Liegt der angezogene Punkt $(a,\,b,\,c)\,$ ausserhalb der anziehenden Fläche in endlichem, wenn auch noch so kleinem Abstände von derselben, so haben $V\,$ und ihre Derivirten bestimmte, endliche Werthe, und die Untersuchung bietet nichts neues dar. Wir wenden uns deshalb zu dem Falle, dass der Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ in der anziehenden Fläche selbst liegt, oder dass er auf der Normale von der einen oder von der anderen Seite in die Fläche hineinrückt.

 Von jedem Punkte der Fläche aus verläuft die unbegrenzte Normale nach zwei entgegengesetzten Richtungen, die wir als positiv und negativ unterscheiden. Ist für irgend einen Punkt der Fläche festgesetzt, nach welcher Seite hin die Normale positiv genannt werden soll, so hat man damit über die positiven Normalen aller anderen Punkte der Fläche entschieden. Verschiebt man nemlich die positive Normale eines Punktes so, dass ihr Fusspunkt in der Fläche sich bewegt und sie selbst stets normal zur Fläche bleibt, so fällt sie der Reihe nach mit den positiven Normalen aller der Punkte zusammen, welche ihr Fusspunkt in der Fläche durchläuft. Um einen Punkt herum, in welchem die Fläche stetig