Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 110.

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§. 110. Bestimmung der Constanten in der Entwicklung von $V\,$.

 Wir kehren zurück zu den Gleichungen (6), (7), (8) des §. 107. Die darin auftretenden Functionen $Q_{1},\ Q_{2},\ldots Q_{n}\ldots \,$ sind in ihrer Abhängigkeit von $\theta \,$ und $\varphi \,$ durch die Gleichung (10) des §. 108 vollständig ausgedrückt. Es handelt sich nur noch um die Bestimmung der constanten Coefficienten. Diese sind für alle drei Gleichungen (6), (7), (8) des §. 107 dieselben. Wir halten uns deshalb an die Gleichung (8), welche für die Erdoberfläche gültig ist. An der Erdoberfläche ist, wie in der Gleichung (2) des §. 106 bereits bemerkt worden,

(1)	$V=V^{*}.\,$

Wenn es nun gelingt, die Function $V^{*}\,$ in eine Reihe von Kugelfunctionen mit bekannten Coefficienten zu entwickeln, so muss nach dem Satze des vorigen Paragraphen diese Entwicklung mit derjenigen in §. 107 (8) identisch übereinstimmen. Dadurch sind dann alle unbekannten Coefficienten bestimmt.

 Wir wollen das Integral in §. 105, Gleichung (3) mit $J(\theta ,\varphi )\,$ bezeichnen:

(2)	$J(\theta ,\varphi )=\int _{o}^{s}{\frac {\partial V^{*}}{\partial s}}ds\,,$

und mit $J(\theta ',\varphi ')\,$ den Werth, welchen dasselbe im Punkte $(a,\theta ',\varphi ')\,$ besitzt. Dieses Integral ist, wie wir voraussetzen, in jedem Punkte der Erdoberfläche bekannt. Für die Function $J(\theta ,\varphi )\,$ setzen wir die Entwicklung (5) des §. 109, in welcher durchaus nichts Unbekanntes mehr auftritt. Dann haben wir also für irgend einen Punkt der Erdoberfläche

(3)	$V^{*}=V_{0}^{*}+S_{0}+S_{1}+S_{2}+\ldots +S_{n}+\ldots$ $S_{n}={\frac {(2n+1)}{4\pi }}\int _{0}^{\pi }d\varphi '\int _{0}^{2\pi }P_{n}\cdot J(\theta ',\varphi ')\sin \theta 'd\theta '.\,$

Diese Entwicklung muss identisch mit §. 107 (8) übereinstimmen. Wir haben also

(4)	$V_{0}^{*}+S_{0}=-aQ_{0}=0.\,$

(5)	$-aQ_{n}=S_{n}\,$ für $n>0.\,$

Damit ist die Potentialfunction vollständig hergestellt aus der einen Voraussetzung, dass in jedem Punkte der Erdoberfläche die nördlich gerichtete Componente der erdmagnetischen Kraft bekannt ist.

 Wenn in allen Punkten eines einzigen Meridians die nördlich gerichtete Componente, ausserdem aber an jeder Stelle der Erdoberfläche die westlich gerichtete Componente der erdmagnetischen Kraft gegeben ist, so lässt auch daraus die Potentialfunction sich vollständig herstellen. Denn es ist in diesem Falle

(6)	$-{\frac {\partial V^{*}}{a\sin \theta \partial \varphi }}\,$

die westlich gerichtete Componente. Daraus berechnet sich

(7)	$J(\theta ,\varphi )=V^{*}-V_{0}^{*}=\int _{\varphi _{0}}^{\varphi }{\frac {\partial V^{*}}{a\sin \theta \partial \varphi }}a\sin \theta d\varphi +J(\theta ,\varphi _{0}).$

Hier bedeutet $\varphi _{0}\,$ die geographische Länge des Meridians, auf welchem die nördlich gerichtete Componente bekannt ist, und $J(\theta ,\varphi _{0})\,$ bezeichnet das auf diesem Meridian genommene Integral (2), wenn $s=a\theta \,$ gesetzt wird. Dann treten die Gleichungen (3), (4), (5) wie vorher in Gültigkeit.

 Die Potentialfunction kann vollständig auch dann hergestellt werden, wenn man an jeder Stelle der Erdoberfläche die vertical nach unten gerichtete Componente der erdmagnetischen Kraft kennt. Wir bezeichnen dieselbe mit $Z\,$ und verstehen unter $Z'\,$ den Werth, den sie im Punkte $(a,\,\theta ',\,\varphi ')\,$ besitzt. Alsdann kann man nach Kugelfunctionen entwickeln:

(8)	$Z=Z_{0}^{*}+Z_{0}+Z_{1}+Z_{2}+\ldots +Z_{n}+\ldots \,$ $Z_{n}={\frac {(2n+1)}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\pi }P_{n}\cdot Z'\sin \theta 'd\theta '.\,$

Andererseits ist

$Z=-\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r=a+0},\,$

folglich nach §. 107, Gleichung (6)

(8)	$Z=-Q_{0}-2Q_{1}-3Q_{2}-\ldots -(n+1)Q_{n}-\ldots$

Es muss also in der Entwicklung (8) nothwendig

$Z_{0}=0\,$

sein, weil $Q_{0}=0\,$ ist, und es bestimmen sich die Coefficienten in den übrigen Functionen $Q\,$ durch die für $n=1,2,3,\ldots \,$zu erfüllende Gleichung

(10)	$Q_{n}={\frac {-1}{n+1}}Z_{n}.$

Dadurch ist auch wieder in der Gleichung (6) des §. 107 alles bekannt.

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