Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 108.

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§. 108. Die Kugelfunction $n\,$ten Ranges.

 Die Gleichung von Laplace lautet für Kugelcoordinaten [§. 29, (4)]

(1)	${\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}=0.\,$

Nehmen wir zunächst einen Punkt im äusseren Raume, so ergibt sich aus Gleichung (6) des vorigen Paragraphen:

${\frac {\partial V}{\partial r}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)Q_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+2},\,$

$r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}=a^{2}\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)Q_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n},\,$

${\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}=-a\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)nQ_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+1}.\,$

Handelt es sich dagegen um einen Punkt im Innern der Erde, so berechnen wir nach Gleichung (7) des vorigen Paragraphen

${\frac {\partial V}{\partial r}}=-\sum _{n=0}^{\infty }nQ_{n}\left({\frac {r}{a}}\right)^{n-1},\,$

$r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}=-a^{2}\sum _{n=0}^{\infty }nQ_{n}\left({\frac {r}{a}}\right)^{n+1},\,$

${\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}=-a\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)nQ_{n}\left({\frac {r}{a}}\right)^{n}.\,$

Im einen wie im anderen Falle ist dies in die partielle Differentialgleichung (1) einzuführen. Die Differentiationen nach $\theta \,$ und $\varphi \,$ treffen nur die Functionen $Q_{n}\,$. Nachdem auch diese Differentiationen vorschriftsmässig bewirkt und die Resultate der Rechnung in (1) eingesetzt sind, hat man für sich gleich Null zu setzen, was mit jeder einzelnen Potenz von $r\,$ multiplicirt ist. Dadurch erhält man für einen äusseren wie für einen inneren Punkt in gleicher Weise die partielle Differentialgleichung

(2)	$n(n+1)Q_{n}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}Q_{n}}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial \left(\sin \theta {\frac {\partial Q_{n}}{\partial \theta }}\right)}{\sin \theta \partial \theta }}\ =\ 0.$

Eine Function $Q_{n}\,$, welche dieser partiellen Differentialgleichung Genüge leistet, wird eine Kugelfunction $n\,$ten Ranges genannt.

 Um zu einer Entwicklung dieser Function zu gelungen, erinnern wir uns daran, dass $Q_{n}\,$ eine ganze Function $n\,$ten Grades von $\cos \theta ,\ \sin \theta \cos \varphi ,\ \sin \theta \sin \varphi \,$ ist, dass also in dem zu bildenden Ausdrucke nur Potenzen mit ganzen, positiven Exponenten auftreten können und überhaupt kein Exponent grösser als $n\,$. Nun lassen sich aber die Potenzen von $\cos \varphi \,$ und von $\sin \varphi \,$ durch die Cosinus und Sinus der Vielfachen von $\varphi \,$ ausdrücken, und da keine höhere Potenz als die $n\,$te vorhanden ist, so wird auch höchstens das $n\,$fache von $\varphi \,$ auftreten.

 Wir setzen deshalb

(3)	${\begin{aligned}Q_{n}=G_{n0}&+G_{n1}\cos \varphi +G_{n2}\cos 2\varphi +\ldots +G_{nn}\cos n\varphi \,\\&+H_{n1}\sin \varphi +H_{n2}\sin 2\varphi +\ldots +G_{nn}\sin n\varphi \,\\\end{aligned}}$

und führen diesen Ausdruck in die partielle Differentialgleichung (2) ein. Dadurch ergibt sich eine Reihe, geordnet nach Cosinus und Sinus der Vielfachen von $\varphi \,$, bis zum $n\,$fachen, und der Werth dieser Reihe soll Null sein. Dazu ist nöthig und hinreichend, dass man für sich gleich Null setze, was mit $\cos m\varphi \,$ und was mit $\sin m\varphi \,$ multiplicirt ist, und zwar für jedes ganze $m\,$ von $0\,$ bis $n\,$.

 Durch Ausführung der Rechnung ergeben sich zur Bestimmung von $G_{nm}\,$ und von $H_{nm}\,$ die gewöhnlichen Differentialgleichungen

$\lbrace n(n+1)\sin \theta ^{2}-m^{2}\rbrace G_{nm}+\sin \theta \cdot {\frac {d\left(\sin \theta {\frac {dG_{nm}}{d\theta }}\right)}{d\theta }}=0,$

$\lbrace n(n+1)\sin \theta ^{2}-m^{2}\rbrace H_{nm}+\sin \theta \cdot {\frac {d\left(\sin \theta {\frac {dH_{nm}}{d\theta }}\right)}{d\theta }}=0.$

Beide Gleichungen sind in derselben Form enthalten, nemlich in der Form

(4)	$\lbrace n(n+1)\sin \theta ^{2}-m^{2}\rbrace Q_{nm}+\sin \theta \cdot {\frac {d\left(\sin \theta {\frac {dQ_{nm}}{d\theta }}\right)}{d\theta }}=0.\,$

Nun bemerken wir, dass $G_{nm}\,$ und $H_{nm}\,$ in der Gleichung (3) mit $\cos m\varphi \,$ und resp. $\sin m\varphi \,$ multiplicirt auftreten. Dem Cosinus und dem Sinus von $m\varphi \,$ entspricht aber als höchste Potenz von $\cos \varphi \,$ und resp. $\sin \varphi \,$ die $m\,$te Potenz. Da nun in dem Ausdrucke für $Q_{n}\,$ die letztgenannten beiden Functionen nur in der Verbindung

$\sin \theta \cos \varphi \,\,$ und $\,\,\sin \theta \sin \varphi \,$

auftreten, so hat man sich darauf gefasst zu machen, dass in $Q_{nm}\,$ der gemeinschaftliche Factor $\sin \theta ^{m}\,$auftreten werde.

 Wir setzen also

(5)	$Q_{nm}=\sin \theta ^{m}F(\cos \theta )\,$

und erhalten zur Bestimmung der Function $F(\cos \theta )\,$ aus (4) die Differentialgleichung

(6)	$F''(u)=\lbrace n(n+1)-m(m+1)\rbrace F(u)\,$ $-2(m+1)uF'(u)-u^{2}F''(u)=0,\,$

wenn zur Abkürzung $\cos \theta =u\,$ gesetzt wird. Die Form dieser Gleichung weist uns darauf hin, eine Entwicklung nach absteigenden Potenzen von $u\,$ mit der Exponentundifferenz $2\,$ vorzunehmen:

(7)	$F(u)=u^{p}+A_{2}u^{p-2}\ +\ A_{4}u^{p-4}+\ldots \,$

Führt man dies in (6) ein, so ist $u^{p}\,$ die höchste dort auftretende Potenz von $u\,$. Dieselbe ist multiplicirt mit

$n(n+1)\ -\ m(m+1)\ +\ 2(m+1)p\ -\ p(p-1).\,$

Ferner ist dann $u^{p-2k}\,$ multiplicirt mit

$A_{2k}\lbrace n(n+1)-m(m+1)-2(m+1)(p-2k)-(p-2k)(p-2k-1)\rbrace \,$ $+A_{2k-2}(p-2k+2)(p-2k+1).\,$

Soll aber die Gleichung (6) erfüllt sein, so ist für sich gleich Null zu setzen, was mit jeder einzelnen Potenz von $u\,$multiplicirt ist. Es ist also zunächst

$n(n+1)-m(m+1)-2(m+1)p-p(p-1)=0.\,$

Dies liefert zwei Werthe von $p\,$, nemlich

$p_{1}=n-m\,$ und $p_{2}=-n-m-1,\,$

und dem entsprechend erhalten wir zwei von einander unabhängige particuläre Integrale. Das zweite ist für unsern Zweck nicht brauchbar, da. die Exponenten von $u\,$ negativ sind und deshalb das Integral unendlich wird für $\theta ={\frac {1}{2}}\pi \,$.

 Es ist ferner

$A_{2k}\lbrace n(n+1)-m(m+1)-2(m+1)(p-2k)-(p-2k)(p-2k-1)\rbrace \,$ $=-A_{2k-2}(p-2k+2)(p-2k+1)\,$

zu setzen, oder, wenn man die Bedingung für $p\,$ berücksichtigt:

$A_{2k}\cdot 2k(2m+2p-2k+1)=-A_{2k-2}(p-2k+2)(p-2k+1).\,$

Danach haben wir für das erste particuläre Integral die Coefficenten-Bestimmung

(8)	$A_{2k}=(-1)^{k}{\frac {(n-m)(n-m-1)(n-m-2)\ldots (n-m-2k+1)}{2\cdot 4\cdot 6\dotsb 2k(2n-1)(2n-3)\ldots (2n-2k+1)}},\,$

und dieses erste particuläre Integral selbst liefert die für unsern Zweck allein brauchbare Function

(9)	$Q_{nm}=\sin \theta ^{m}\lbrace \cos \theta ^{n-m}+A_{2}\cos \theta ^{n-m-2}+A_{4}\cos \theta ^{n-m-4}\,$ $+\ldots +A_{2k}\cos \theta ^{n-m-2k}+\ldots \rbrace .\,$

Hiernach ergibt sich für $Q_{n}\,$ die Entwicklung

(10)	${\begin{aligned}Q_{n}\ =\ g_{n0}Q_{n0}&+Q_{n1}(g_{n1}\cos \varphi +h_{n1}\sin \varphi )\,\\&+\ Q_{n2}(g_{n2}\cos 2\varphi +h_{n2}\sin 2\varphi )\,\\&+\ldots \,\\&+\ Q_{nn}(g_{nn}\cos n\varphi +h_{nn}\sin n\varphi ).\,\\\end{aligned}}$

Die Functionen $Q_{n0},\ Q_{n1},\ Q_{n2},\ldots Q_{nn}\,$ sind durch die Gleichungen (9) und (8) vollständig gegeben, und es treten in dem Aus- drucke (10) noch die $(2n+1)\,$ unbestimmten constanten Coefficienten auf

${\begin{aligned}g_{n0},\ &g_{n1},\ g_{n2},\ \dotsb \ g_{nm};\,\\&h_{n1},\ h_{n2},\ \dotsb \ h_{nm}.\,\\\end{aligned}}$

 Eine wichtige Bemerkung ist noch über die constante Grösse $Q_{0}\,$ zu machen. Im äusseren Raume stimmt nemlich die von dem wirklich vorhandenen Erdmagnet herrührende Potentialfunction $V^{*}\,$ überein mit der Function $V\,$, die von der fingirten Belegung der Oberfläche herrührt und in der Gleichung (6) des vorigen Paragraphen entwickelt ist. Es gilt also für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ im äusseren Raume die Gleichung

(11)	$V^{*}=-a\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\left({\frac {a}{r}}\right)^{n+1}.\,$

Nun können wir aber (wenn die bekannte Vorzeichen-Aenderung vorgenommen wird) den Satz in Anwendung bringen, der in der Gleichung (6) des §. 18 ausgesprochen ist. Hier bedeutet $r\,$ dasselbe, was dort mit $R\,$ bezeichnet ist. Wir erhalten danach

(12)	$\lim rV^{*}=-\int d\mu \,$ für $\lim r=\infty .\,$

Aus (11) berechnet sich

(13)	$\lim rV^{*}=-a^{2}Q_{0}$ für $\lim r=\infty .\,$

Zieht man die Gleichung (2) des §. 105 in Betracht, so ergibt sich aus (12) und (13), dass

(14)	$Q_{0}=0\,$

sein muss. Wir dürfen also in den Gleichungen (6), (7), (8) des vorigen Paragraphen die Summirung mit $n=1\,$ anfangen.

 Uebrigens sieht man, dass auch für die fingirte Belegung der Oberfläche

(15)	$\int \rho d\sigma =0$

ist. Denn wir haben nach dem eben citirten Satze [§. 18, (6)]

$\lim rV=-\int \rho d\sigma$ für $\lim r=\infty ,\,$

und da für jeden Punkt im äusseren Raume $V=V^{*}\,$ ist, so ergibt sich

$\int \rho d\sigma =\int d\mu =0,\,$

und damit ist die Gleichung (15) bewiesen.

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