Schwere, Elektricität und Magnetismus:361

 

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 347
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Die Kugelfunction $n\,$ten Ranges.

dieser Reihe soll Null sein. Dazu ist nöthig und hinreichend, dass man für sich gleich Null setze, was mit $\cos m\varphi \,$ und was mit $\sin m\varphi \,$ multiplicirt ist, und zwar für jedes ganze $m\,$ von $0\,$ bis $n\,$.

 Durch Ausführung der Rechnung ergeben sich zur Bestimmung von $G_{nm}\,$ und von $H_{nm}\,$ die gewöhnlichen Differentialgleichungen

$\lbrace n(n+1)\sin \theta ^{2}-m^{2}\rbrace G_{nm}+\sin \theta \cdot {\frac {d\left(\sin \theta {\frac {dG_{nm}}{d\theta }}\right)}{d\theta }}=0,$

$\lbrace n(n+1)\sin \theta ^{2}-m^{2}\rbrace H_{nm}+\sin \theta \cdot {\frac {d\left(\sin \theta {\frac {dH_{nm}}{d\theta }}\right)}{d\theta }}=0.$

Beide Gleichungen sind in derselben Form enthalten, nemlich in der Form

(4)	$\lbrace n(n+1)\sin \theta ^{2}-m^{2}\rbrace Q_{nm}+\sin \theta \cdot {\frac {d\left(\sin \theta {\frac {dQ_{nm}}{d\theta }}\right)}{d\theta }}=0.\,$

Nun bemerken wir, dass $G_{nm}\,$ und $H_{nm}\,$ in der Gleichung (3) mit $\cos m\varphi \,$ und resp. $\sin m\varphi \,$ multiplicirt auftreten. Dem Cosinus und dem Sinus von $m\varphi \,$ entspricht aber als höchste Potenz von $\cos \varphi \,$ und resp. $\sin \varphi \,$ die $m\,$te Potenz. Da nun in dem Ausdrucke für $Q_{n}\,$ die letztgenannten beiden Functionen nur in der Verbindung

$\sin \theta \cos \varphi \,\,$ und $\,\,\sin \theta \sin \varphi \,$

auftreten, so hat man sich darauf gefasst zu machen, dass in $Q_{nm}\,$ der gemeinschaftliche Factor $\sin \theta ^{m}\,$auftreten werde.

 Wir setzen also

(5)	$Q_{nm}=\sin \theta ^{m}F(\cos \theta )\,$

und erhalten zur Bestimmung der Function $F(\cos \theta )\,$ aus (4) die Differentialgleichung

(6)	$F''(u)=\lbrace n(n+1)-m(m+1)\rbrace F(u)\,$ $-2(m+1)uF'(u)-u^{2}F''(u)=0,\,$

wenn zur Abkürzung $\cos \theta =u\,$ gesetzt wird. Die Form dieser Gleichung weist uns darauf hin, eine Entwicklung nach absteigenden Potenzen von $u\,$ mit der Exponentundifferenz $2\,$ vorzunehmen:

(7)	$F(u)=u^{p}+A_{2}u^{p-2}\ +\ A_{4}u^{p-4}+\ldots \,$

Führt man dies in (6) ein, so ist $u^{p}\,$ die höchste dort auftretende Potenz von $u\,$. Dieselbe ist multiplicirt mit

$n(n+1)\ -\ m(m+1)\ +\ 2(m+1)p\ -\ p(p-1).\,$