Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§51

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§. 51. Die ponderomotorische Einwirkung eines Solenoids auf ein einzelnes Stromelement.

Das gegebene Solenoid sei wiederum (pg. 253) bezeichnet durch

$\alpha \dots \beta ({\mathsf {D}}\nu )\dots \gamma ,$

und durch ${\mathsf {I}},\gamma ,\delta$; die Coordinaten von $\beta$ seien $\xi ,\eta ,\zeta$. — Andererseits besitze das gegebene Stromelement $J{\mathsf {D}}s$ die Coordinaten $x,y,z$.

Die Kraft $X,Y,Z$ welche der bei $\beta$ (oder $\xi ,\eta ,\zeta$) gelegene Solenoid-Ring $\lambda$ auf das Element $J{\mathsf {D}}s$ ausübt, stellt sich dar durch die Formeln [vergl. (12.), pag. 245]:

(49.)

${\begin{array}{l}X=A^{2}J{\mathsf {I}}(\Gamma \ {\mathsf {D}}y-{\mathsf {B}}\ {\mathsf {D}}z),\\Y=A^{2}J{\mathsf {I}}({\mathsf {A}}\ {\mathsf {D}}z-{\mathsf {\Gamma }}\ {\mathsf {D}}x),\\Z=A^{2}J{\mathsf {I}}({\mathsf {B}}\ {\mathsf {D}}x-A\ {\mathsf {D}}y);\end{array}}$

die Grössen ${\mathsf {A}},{\mathsf {B}},\Gamma$ repräsentiren hier die Determinante des Ringes $\lambda$ in Bezug auf den Punct $x,y,z$, und besitzen also die Werthe [vergl. (24.) pag. 247]:

(50.)

${\begin{array}{l}{\mathsf {A}}=-{\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {\varkappa }})}{\partial x}},\\\\{\mathsf {B}}=-{\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {\varkappa }})}{\partial y}},\\\\\Gamma =-{\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {\varkappa }})}{\partial z}},\end{array}}$

wo $\epsilon {\mathsf {\varkappa }}$ die reducirte Oeffnung des von $x,y,z$ nach $\lambda$ gelegten Kegelmantels vorstellt; demnach ist (pg. 242):

(51.)

$\epsilon {\mathsf {\varkappa }}=\lambda {\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial \nu }},$

wo $r$ die Entfernung zwischen $x,y,z$ und $\lambda$, andererseits $\nu$ die positive Normale von $\lambda$, d. i. die Richtung von ${\mathsf {D}}\nu$ vorstellt.

Durch Substitution der Werthe (50.) in die erste der Formeln (49.) folgt:

(52.)

$X=-A^{2}J{\mathsf {I}}\left({\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {\varkappa }})}{\partial z}}{\mathsf {D}}y-{\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {\varkappa }})}{\partial y}}{\mathsf {D}}z\right),$

also mit Rücksicht auf (51.):

(53.)

$X=-A^{2}J{\mathsf {I}}\lambda \cdot {\frac {\partial }{\partial \nu }}\left({\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial z}}{\mathsf {D}}y-{\frac {\partial {\frac {1}{r}}}{\partial y}}{\mathsf {D}}z\right),$

oder (was dasselbe ist):

(54.)

$X=-A^{2}J{\mathsf {I}}\lambda \cdot {\frac {\partial }{\partial \nu }}{\frac {(\zeta -z){\mathsf {D}}y-(\eta -y){\mathsf {D}}z}{r^{3}}}.$

Multiplicirt man diesen Ausdruck mit der Anzahl $\delta {\mathsf {D}}\nu$ der zum Solenoidelement ${\mathsf {D}}\nu$ gehörigen Ringe, so erhält man die Componente $X({\mathsf {D}}\nu ,{\mathsf {D}}s)$ derjenigen Wirkung, welche dieses Solenoidelement auf $J{\mathsf {D}}s$ ausübt; es wird also:

(55.)

$X({\mathsf {D}}\nu ,{\mathsf {D}}s)=-AJ\left(A{\mathsf {I}}\lambda \delta \right){\frac {\partial }{\partial \nu }}{\frac {(\zeta -z){\mathsf {D}}y-(\eta -y){\mathsf {D}}z}{r^{3}}}{\mathsf {D}}\nu .$

Endlich ergiebt sich durch Integration die Componente $X\left(\alpha \gamma ,{\mathsf {D}}s\right)$ der von dem ganzen Solenoid auf $J{\mathsf {D}}s$ ausgeübten Wirkung:

(56.)

$X(\alpha \gamma ,{\mathsf {D}}s)=-AJ\left(A{\mathsf {I}}\lambda \delta \right)\left[{\frac {(\zeta -z){\mathsf {D}}y-(\eta -y){\mathsf {D}}z}{r^{3}}}\right]_{\alpha }^{\gamma };$

hiefür mag geschrieben werden:

(57.)

$X(\alpha \gamma ,{\mathsf {D}}s)=Q_{\mathsf {x}}^{(\alpha )}+Q_{\mathsf {x}}^{(\gamma )}$

(58.)

${\begin{array}{l}Q_{\mathsf {x}}^{(\alpha )}=-AJ\left(-A{\mathsf {I}}\lambda \delta \right)\left({\frac {(\zeta -z){\mathsf {D}}y-(\eta -y){\mathsf {D}}z}{r^{3}}}\right)_{\alpha },\\\\Q_{\mathsf {x}}^{(\gamma )}=-AJ\left(+A{\mathsf {I}}\lambda \delta \right)\left({\frac {(\zeta -z){\mathsf {D}}y-(\eta -y){\mathsf {D}}z}{r^{3}}}\right)_{\gamma },\end{array}}$

wo die beigefügten Indices $\alpha ,\gamma$ andeuten sollen, dass für $\xi ,\eta ,\zeta ,r$ ein Mal die dem Pole $\alpha$, das andere Mal die dem Pole $\gamma$ entsprechenden Werthe zu nehmen sind.

Beachtet man, dass die Factoren $\left(-A{\mathsf {I}}\lambda \delta \right)$ und $+\left(A{\mathsf {I}}\lambda \delta \right)$ nichts Andres sind als die Intensitäten der beiden Pole, so führen die Formeln (57.), (58.) zu folgendem Ergebniss.

Die von einem Solenoid $\alpha \gamma$ auf ein einzelnes Stromelement $J{\mathsf {D}}s$ ausgeübte ponderomotorische Wirkung kann als zusammengesetzt betrachtet werden aus zwei den beiden Polen entsprechenden Kräften $Q^{(\alpha )}$ und $Q^{(\gamma )}$.

Ist $Q$ irgend eine von diesen beiden Kräften, und sind $Q_{x},Q_{y},Q_{z}$ die rechtwinkligen Componenten von $Q$, so gelten die Formeln:

(59.)

${\begin{array}{l}Q_{x}=-AJ{\mathsf {M}}{\frac {(\zeta -z){\mathsf {D}}y-(\eta -y){\mathsf {D}}z}{r^{3}}},\\\\Q_{y}=-AJ{\mathsf {M}}{\frac {(\xi -x){\mathsf {D}}z-(\zeta -z){\mathsf {D}}x}{r^{3}}},\\\\Q_{z}=-AJ{\mathsf {M}}{\frac {(\eta -y){\mathsf {D}}x-(\xi -x){\mathsf {D}}y}{r^{3}}}.\end{array}}$

Hier bezeichnen $\xi ,\eta ,\zeta$ die Coordinaten des betreffenden Poles, $r$ seine Entfernung vom Elemente $J{\mathsf {D}}s$, und ${\mathsf {M}}$ seine Intensität; andrerseits bezeichnen $x,y,z$ und ${\mathsf {D}}x,{\mathsf {D}}y,{\mathsf {D}}z$ die Coordinaten und rechtwinkligen Projectionen von ${\mathsf {D}}s$.

Die aus (59.) sich ergebenden Formeln

$(\alpha .)$

${\begin{array}{l}Q_{x}(\xi -x)+Q_{y}(\eta -y)+Q_{z}(\zeta -z)=0,\\Q_{x}{\mathsf {D}}x+Q_{y}{\mathsf {D}}y+Q_{z}{\mathsf {D}}z=0\end{array}}$

zeigen, dass die Kraft $Q$ senkrecht steht gegen die Fläche $({\mathsf {M}},{\mathsf {D}}s)$ d. i. gegen die durch den Pol ${\mathsf {M}}$ und das Element ${\mathsf {D}}s$ sich bestimmende Dreieckfläche.

Um die Richtung der Kraft ihrem Sinne nach zu bestimmen, mag zunächst diejenige Normale $N$ der Dreieckfläche $({\mathsf {M}},{\mathsf {D}}s)$ construirt werden, welche der im Stromelement $J{\mathsf {D}}s$ Liegende und nach ${\mathsf {M}}$ Hinsehende mit ausgestreckter Linken markirt. Die drei von $x,y,z$ ausgehenden Richtungen:

${\mathsf {D}}s\left({\mathsf {D}}x,{\mathsf {D}}y,{\mathsf {D}}z\right),\ r(\xi -x,\eta -y,\zeta -z)$ und $N$

bilden alsdann ein Strahlenbündel von positivem Charakter (vrgl. den Satz, pag. 83); es ist also:

$(\beta .)$

$Char({\mathsf {D}}s,\ r,\ N)=pos;$

und folglich:

$(\gamma .)$

$\left|{\begin{array}{ccccc}{\mathsf {D}}x&&\xi -x&&\cos U\\\\{\mathsf {D}}y&&\eta -y&&\cos V\\\\{\mathsf {D}}z&&\zeta -z&&\cos W\end{array}}\right|=pos,$

wo unter $\cos U,\ \cos V,\ \cos W$ die Richtungscosinus von $N$ zu verstehen sind. Ausserdem gelten für diese Richtungscosinus die Relationen:

$(\delta .)$

$(\xi -x)\cos U+(\eta -y)\cos V+(\zeta -z)\cos W=0,\,$

$(\epsilon .)$

${\mathsf {D}}x\cdot \cos U+{\mathsf {D}}y\cdot \cos V+{\mathsf {D}}z\cdot \cos W=0,$

$(\zeta .)$

$\cos ^{2}U+\cos ^{2}V+\cos ^{2}W=1.\,$

Aus $(\delta .)$ und $(\epsilon .)$ folgt sofort:

$(\eta .)$

${\begin{array}{ll}\lambda \cos U&=(\zeta -z){\mathsf {D}}y-(\eta -y){\mathsf {D}}z,\\\lambda \cos V&=(\xi -x){\mathsf {D}}z-(\zeta -z){\mathsf {D}}x,\\\lambda \cos W&=(\eta -y){\mathsf {D}}x-(\xi -x){\mathsf {D}}y,\end{array}}$

wo $\lambda$ noch unbekannt ist. Erhebt man die Formeln $(\eta .)$ zum Quadrat und addirt, so ergiebt sich mit Rücksicht auf $(\zeta .)$

${\begin{array}{ll}\lambda ^{2}&=\left[(\xi -x)^{2}+\dots \right]\left[({\mathsf {D}}x)^{2}+\dots \right]-\left[(\xi -x){\mathsf {D}}x+\dots \right]^{2},\\&=[r\ {\mathsf {D}}s]^{2}-\left[r\ {\mathsf {D}}s\cdot \cos(r,{\mathsf {D}}s)\right]^{2},\\&=\left[r\ {\mathsf {D}}s\cdot \sin(r,{\mathsf {D}}s)\right]^{2},\end{array}}$

folglich:

$(\vartheta .)$

$\lambda =(\pm 1)r\ {\mathsf {D}}s\cdot \sin(r,{\mathsf {D}}s).$

Der Winkel $(r,\ {\mathsf {D}}s)$ mag jederzeit so gerechnet werden, dass er zwischen 0° und 180° liegt, dass also sein Sinus positiv ist. Solches festgesetzt, kann der in $(\vartheta .)$ enthaltene Factor $(\pm 1)$ näher bestimmt werden. Substituirt man nämlich die Werthe von $\cos U,\ \cos V,\ \cos W$ $(\eta .)$ in die Formel $(\gamma .)$, so erhält man:

${\frac {\left[(\zeta -z){\mathsf {D}}y-(\eta -y){\mathsf {D}}z\right]^{2}+\dots }{\lambda }}=pos,$

und daher:

$(\iota .)$

$\lambda =pos.\,$

Sodann aber folgt aus $(\vartheta .)$ und $(\iota .)$ sofort, dass jener Factor $(\pm 1)$ den Werth (+1) hat.

Somit ergeben sich aus $(\eta .)$ und $(\vartheta .)$ für $\cos U,\ \cos V,\ \cos W$ schliesslich die Werthe:

$(\varkappa .)$

${\begin{array}{ll}\cos U&={\frac {(\zeta -z){\mathsf {D}}y-(\eta -y){\mathsf {D}}z}{r\ {\mathsf {D}}s\cdot \sin(r,{\mathsf {D}}s)}},\\\\\cos V&={\frac {(\xi -x){\mathsf {D}}z-(\zeta -z){\mathsf {D}}}{r\ {\mathsf {D}}s\cdot \sin(r,{\mathsf {D}}s)}},\\\\\cos W&={\frac {(\eta -y){\mathsf {D}}x-(\xi -x){\mathsf {D}}y}{r\ {\mathsf {D}}s\cdot \sin(r,{\mathsf {D}}s)}}.\end{array}}$

Hieraus ersieht man, dass die Formeln (59.) in folgender Weise dargestellt werden können:

$(\lambda .)$

${\begin{array}{ll}Q_{x}&=-AJ{\mathsf {M}}{\frac {r\ {\mathsf {D}}s\cdot \sin(r,{\mathsf {D}}s)\cdot \cos U}{r^{3}}},\\\\Q_{y}&=etc.\end{array}}$

oder bei etwas anderer Anordnung auch so:

$(\mu .)$

${\begin{array}{ll}Q_{x}&=-A{\frac {J{\mathsf {D}}s\cdot {\mathsf {M}}\cdot \sin(r,{\mathsf {D}}s)}{r^{2}}}\cos U,\\\\Q_{y}&=-A{\frac {J{\mathsf {D}}s\cdot {\mathsf {M}}\cdot \sin(r,{\mathsf {D}}s)}{r^{2}}}\cos V,\\\\Q_{z}&=-A{\frac {J{\mathsf {D}}s\cdot {\mathsf {M}}\cdot \sin(r,{\mathsf {D}}s)}{r^{2}}}\cos W.\end{array}}$

Diese Formeln aber führen sofort zu folgendem Resultat:

Die von einem Solenoidpol ${\mathsf {M}}$ auf ein einzelnes Stromelement $J{\mathsf {D}}s$ ausgeübte Kraft $Q$ steht senkrecht gegen die durch den Pol und das Element sich bestimmende Dreiecksfläche. Rechnet man sie in derjenigen Richtung, welche ein im Stromelement Liegender und nach dem Pol Hinsehender markirt mit ausgestrekter Linken, so wird ihre Stärke dargestellt sein durch:

(60.)

$Q=-A{\frac {J{\mathsf {D}}s\cdot {\mathsf {M}}\cdot \sin(r,{\mathsf {D}}s)}{r^{2}}},$

wo $r$ die Entfernung des Poles vom Stromelemente bezeichnet. — Ihr Angriffspunkt liegt im Stromelement.

Diese Bemerkung über den Angriffspunct dürfte, so selbstverständlich sie auch erscheinen mag, doch für die folgende Untersuchung von einigem Gewicht sein.

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