Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§50

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§. 50. Die gegenseitige ponderomotorische Einwirkung zwischen einem Solenoid und einem gleichförmigen geschlossenen Strom.

Das gegebene Solenoid sei, ebenso wie vorhin (pg. 253), angedeutet durch

$\alpha \dots \beta ({\mathsf {D}}\nu )\dots \gamma ,$

und durch ${\mathsf {I}},\lambda ,\delta$. — Der Einfachheit willen mag angenommen werden, dass alle Puncte des gegebenen geschlossenen Stromes in einer Ebene liegen; seine Stärke sei ${\mathsf {I}}_{1}$, und seine ebene Stromfläche $\Lambda _{1}$.

Das Potential zwischen einem einzelnen bei $\beta$ gelegenen Solenoid-Ringe $\lambda$ und zwischen jenem Strom $\Lambda _{1}$ hat nach (30.) den Werth:

(40.)

$P\left(\lambda ,\Lambda _{1}\right)=A^{2}{\mathsf {I}}{\mathsf {I}}_{1}\cdot \lambda {\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {K}})}{\partial \nu }},$

wo $\nu$ die positive Normale von $\lambda$, also die Richtung von ${\mathsf {D}}\nu$ bezeichnet, während $\epsilon {\mathsf {K}}$ die reducirte Kegelöffnung von $\lambda$ nach $\Lambda _{1}$ vorstellt.

Um das Potential $P\left({\mathsf {D}}\nu ,\Lambda _{1}\right)$ des Solenoidelementes ${\mathsf {D}}\nu$ auf $\Lambda _{1}$ zu erhalten, ist der Ausdruck (40.) noch zu multipliciren mit der Anzahl $\delta {\mathsf {D}}\nu$ aller auf ${\mathsf {D}}\nu$ befindlichen Ringe. Somit wird:

(41.)

$P\left({\mathsf {D}}\nu ,\Lambda _{1}\right)=A\left(A{\mathsf {I}}\gamma \delta \right){\mathsf {I}}_{1}\cdot {\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {K}})}{\partial \nu }}{\mathsf {D}}\nu .$

Hieraus ergiebt sich durch Integration für das Potential $P\left(\alpha \gamma ,\Lambda _{1}\right)$ des ganzen Solenoides auf $\Lambda _{1}$der Werth:

(42.)

$P\left(\alpha \gamma ,\Lambda _{1}\right)=A\left(A{\mathsf {I}}\gamma \delta \right){\mathsf {I}}_{1}\cdot \sum \limits _{\alpha }^{\gamma }\left({\frac {\partial (\epsilon {\mathsf {K}})}{\partial \nu }}{\mathsf {D}}\nu \right),$

oder (was dasselbe ist):

(43.)

$P\left(\alpha \gamma ,\Lambda _{1}\right)=A\left(A{\mathsf {I}}\gamma \delta \right){\mathsf {I}}_{1}\left[(\epsilon {\mathsf {K}})_{\gamma }-(\epsilon {\mathsf {K}})_{\alpha }\right],$

eine Formel, welche bei Einführung der beiden Pol-Intensitäten:

(44.)

${\mathsf {A}}=-A{\mathsf {I}}\lambda \delta ,\quad \Gamma =+A{\mathsf {I}}\lambda \delta$

auch so geschrieben werden kann:

(45.)

$P\left(\alpha \gamma ,\Lambda _{1}\right)=A{\mathsf {I}}_{1}\left[\Gamma (\epsilon {\mathsf {K}})_{\gamma }-{\mathsf {A}}(\epsilon {\mathsf {K}})_{\alpha }\right],$

oder kürzer auch so:

(46.)

$P\left(\alpha \gamma ,\Lambda _{1}\right)=A{\mathsf {I}}_{1}\cdot {\mathfrak {S}}({\mathsf {M}}\cdot \epsilon {\mathsf {K}}),$

wo alsdann ${\mathsf {M}}$ und $\epsilon {\mathsf {K}}$ als Collectivbezeichnungen anzusehen sind für ${\mathsf {A}},\Gamma$, und $(\epsilon {\mathsf {K}})_{\alpha },(\epsilon {\mathsf {K}})_{\gamma }$.

Die gegenseitige ponderomotorische Einwirkung zwischen einem Solenoid und einem ebenen geschlossenen Strom ${\mathsf {I}}_{1}$ ist also von solcher Beschaffenheit, als hätte jeder Solenoidpol auf diesen Strom ein Potential vom Werthe:

(47.)

$A{\mathsf {I}}_{1}{\mathsf {M}}\cdot \epsilon {\mathsf {K}}.$

wo ${\mathsf {M}}$ die Intensität des Poles, und $\epsilon {\mathsf {K}}$ die reducirte Oeffnung des von ihm nach dem Strome gelegten Kegelmantels bezeichnet.

Uebrigens sind die Formeln (43.) bis (47.) nur dann richtig, wenn das Solenoid vollständig ausserhalb der Stromfläche $\Lambda _{1}$ liegt. Geht nämlich das Solenoid an irgend einer Stelle durch die Fläche $\Lambda _{1}$ hindurch, so erleidet die reducirte Kegelöffnung $\epsilon {\mathsf {K}}$, falls man die Spitze des Kegels längs des Solenoids fortschreiten lässt, an jener Stelle eine sprungweise Veränderung von $-2\pi$ auf $+2\pi$, oder umgekehrt (vergl. pg. 241); so dass in diesem Fall der Uebergang von Formel (42.) zu (43.) fehlerhaft sein würde.

Geht, um den allgemeinsten Fall ins Auge zu fassen, das gegebene Solenoid $\alpha \gamma$ im Ganzen $(p+p')$ Male durch die Fläche $\Lambda _{1}$ hindurch, und zwar $p$ Male in der Richtung der positiven Normale von $\Lambda _{1},p'$ Male in der entgegengesetzten Richtung, so gelangt man durch Berechnung des in (42.) vorhandenen Integrals zu folgender Formel:

(48.)

$P\left(\alpha \gamma ,\Lambda _{1}\right)=A\left(A{\mathsf {I}}\gamma \delta \right){\mathsf {I}}_{1}\left[(\epsilon {\mathsf {K}})_{\gamma }-(\epsilon {\mathsf {K}})_{\alpha }-(p-p')4\pi \right];$

eine Formel, welche für $p=p'=0$ in die frühere (43.) zurückfällt.

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