Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§34

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§. 34. Die durch das Axiom der lebendigen Kraft postulirte Function.

Sind $j_{0},j_{1}$ die Componenten der in ${\mathsf {Dv}}_{0},{\mathsf {Dv}}_{1}$ vorhandenen elektrischen Strömungen $i_{0},i_{1}$, genommen nach $r\left({\mathsf {Dv}}_{1}\mapsto {\mathsf {Dv}}_{0}\right)$, und sind ferner $\Theta _{0},\Theta _{1},{\mathsf {E}}$ die im Ampère’schen Gesetz (pag. 44) auftretenden Cosinus, so wird:

(22.)

${\begin{array}{rl}j_{0}=i_{0}\Theta _{0}=&{\frac {\left(x_{0}-x_{1}\right)u_{0}+\left(y_{0}-y_{1}\right)v_{0}+\left(z_{0}-z_{1}\right)w_{0}}{r}},\\\\j_{1}=i_{1}\Theta _{1}=&{\frac {\left(x_{0}-x_{1}\right)u_{1}+\left(y_{0}-y_{1}\right)v_{1}+\left(z_{0}-z_{1}\right)w_{1}}{r}},\\\\i_{0}i_{1}{\mathsf {E}}=&u_{0}u_{1}+v_{0}v_{1}+w_{0}w_{1}.\end{array}}$

Bei Anwendung dieser Bezeichnungen haben die Componenten $X_{0}^{1}dt,\ Y_{0}^{1}dt,\ Z_{0}^{1}dt$ derjenigen elektromotorischen Kraft eldy. Us, welche ${\mathsf {Dv}}_{1}$ während der Zeit $dt$ in ${\mathsf {Dv}}_{0}$ hervorruft, die Werthe:

(23.)

${\begin{array}{l}X_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\frac {x_{0}-x_{1}}{r}}{\frac {\omega d\left(rj_{1}\right)}{r}}-u_{1}{\frac {\omega dr}{r}}\right],\\\\Y_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\frac {y_{0}-y_{1}}{r}}{\frac {\omega d\left(rj_{1}\right)}{r}}-v_{1}{\frac {\omega dr}{r}}\right],\\\\Z_{0}^{1}dt={\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\frac {z_{0}-z_{1}}{r}}{\frac {\omega d\left(rj_{1}\right)}{r}}-w_{1}{\frac {\omega dr}{r}}\right],\end{array}}$

vergl. (17.a,b). Nun kann [nach früheren Untersuchungen (pag. 14)] das von ${\mathsf {Dv}}_{1}$ in ${\mathsf {Dv}}_{0}$ während der Zeit $dt$ durch diese Kräfte eldy. Us hervorgerufene Wärmequantum $\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }$ ausgedrückt werden durch die Formel:

(24.)

$\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }={\mathsf {Dv}}_{0}\left(X_{0}^{1}u_{0}+Y_{0}^{1}v_{0}+Z_{0}^{1}w_{0}\right)dt;$

woraus durch Substitution der Werthe (23.) folgt:

(25.)

$\left(dQ_{0}^{1}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\frac {\omega \left(rj_{0}\right)\cdot d\left(rj_{1}\right)}{r^{2}}}-i_{0}i_{1}{\mathsf {E}}{\frac {\omega dr}{r}}\right].$

Ebenso wird offenbar:

(26.)

$\left(dQ_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\frac {\omega \left(rj_{1}\right)\cdot d\left(rj_{0}\right)}{r^{2}}}-i_{0}i_{1}{\mathsf {E}}{\frac {\omega dr}{r}}\right].$

Hieraus folgt durch Addition:

(27.)

$\left(dQ_{0}^{1}+dQ_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\frac {\omega \cdot d\left(r^{2}j_{0}j_{1}\right)}{r^{2}}}-2i_{0}i_{1}{\mathsf {E}}{\frac {\omega dr}{r}}\right],$

oder (was dasselbe ist):

(28.)

$\left(dQ_{0}^{1}+dQ_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\frac {2\omega dr}{r}}\left(j_{0}j_{1}-i_{0}i_{1}{\mathsf {E}}\right)+\omega \cdot d\left(j_{0}j_{1}\right)\right].$

Andererseits kann dasjenige Quantum lebendiger Kraft, welches die beiden Elemente ${\mathsf {Dv}}_{0}$ und ${\mathsf {Dv}}_{1}$ vermöge ihrer Kräfte eldy. Us während der Zeit $dt$ in einander hervorbringen, dargestellt werden durch die Formel:

(29.)

$\left(dT_{0}^{1}+dT_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }=R\ dr,$

wo $R$ die zwischen den beiden Elementen vorhandene ponderomotorische Kraft eldy. Us vorstellt. Diese Kraft hat nach dem Ampère’schen Gesetz den Werth^[1]:

(30.)

$R={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot i_{0}i_{1}\left(\varrho \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {II}{\varrho }}{\mathsf {E}}\right),$

wo $\varrho ,{\overset {II}{\varrho }}$ unter Anwendung der von uns eingeführten Function

(31.)

$\omega =-4A^{2}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2},$

in folgender Weise dargestellt werden können:

(32.)

${\begin{array}{ll}\varrho =+4A^{2}\left[{\frac {2}{r}}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}-{\frac {d}{dr}}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}\right]&=-\left[{\frac {2\omega }{r}}-{\frac {d\omega }{dr}}\right],\\\\{\overset {II}{\varrho }}=-4A^{2}\cdot {\frac {2}{r}}\left({\frac {d\psi }{dr}}\right)^{2}&=+{\frac {2\omega }{r}}.\end{array}}$

Durch Substitution dieser Werthe (32.) in (30.) folgt:

(33.)

$R={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot i_{0}i_{1}\left[{\frac {2\omega }{r}}\left({\mathsf {E}}-\Theta _{0}\Theta _{1}\right)+\Theta _{0}\Theta _{1}{\frac {d\omega }{dr}}\right],$

oder mit Rücksicht auf (22.):

(34.)

$R={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\frac {2\omega }{r}}\left(i_{0}i_{1}{\mathsf {E}}-j_{0}j_{1}\right)+j_{0}j_{1}{\frac {d\omega }{dr}}\right].$

Somit folgt aus (29.):

(35.)

$\left(dT_{0}^{1}+dT_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\left[{\frac {2\omega \ dr}{r}}\left(i_{0}i_{1}{\mathsf {E}}-j_{0}j_{1}\right)+j_{0}j_{1}d\omega \right].$

Durch Addition von (28.) und (35.) ergiebt sich sofort:

(36.)

$\left(dQ_{0}^{1}+dQ_{1}^{0}+dT_{0}^{1}+dT_{1}^{0}\right)_{\mathrm {eldy.\ Us} }={\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot d\left(\omega j_{0}j_{1}\right).$

Das elektrodynamische Postulat der beiden Elemente ${\mathsf {Dv}}_{0}$ und ${\mathsf {Dv}}_{1}$ aufeinander besitzt daher den Werth:

(37.a)

$(-1){\mathsf {Dv}}_{0}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \omega j_{0}j_{1},$

ein Werth, welcher mit Rücksicht auf (22.) auch so dargestellt werden kann:

(37.b)

$(-1)\cdot i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \omega \Theta _{0}\Theta _{1}.$

Dieses Resultat stimmt vollständig überein mit den Ergebnissen früherer^[2] Untersuchungen.

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1. Dieser Werth ist den Formeln pag. 44 entnommen; wobei aber
   $i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}$ statt $J_{0}{\mathsf {D}}s_{0}\cdot J_{1}{\mathsf {D}}s_{1}$

   zu setzen war (vergl. pag. 160).

2. Es war nämlich auf pag. 186 für das in Rede stehende elektrodynamische Postulat der Werth gefunden worden:
   $(-1)\cdot i_{0}{\mathsf {Dv}}_{0}\cdot i_{1}{\mathsf {Dv}}_{1}\cdot \Omega ,$

   wo $\Omega =\omega \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {II}{\omega }}{\mathsf {E}}$ war. Inzwischen aber hat sich (pag. 190) herausgestellt, dass die Function ${\overset {II}{\omega }}$ den Werth Null hat; so dass also $\Omega$ identisch ist mit $\omega \Theta _{0}\Theta _{1}$.