| §. 24. Betrachtungen zur Ergänzung des Vorhergehenden.
Es soll hier der Beweis geliefert werden für die ausgesprochene Behauptung, dass der Gleichung (53.) Genüge geschieht, wenn man in ihr für
eine völlig willkührliche Function von
einsetzt.
Gehören die Puncte
und
zwei Ringen an, welche ohne Gleitstellen, jedoch biegsam sind, und ihrer Lage und Gestalt nach von Augenblick zu Augenblick sich ändern, so werden die Coordinaten jener beiden Puncte in folgender Weise darstellbar sein:
(55.)
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wo
, die Bogenlängen der beiden Puncte sind, und
die Zeit bezeichnet. Diesen Darstellungen entsprechend, sind die Formeln zu bemerken:
(56.)
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wo
dieselben Grössen sein sollen, wie im Ampère’schen Gesetz (pag. 44).
Zur Untersuchung sei nun vorgelegt das über die beiden Ringe ausgedehnte Integral:
(57.)
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wo
![{\displaystyle U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
eine
beliebige Function von
![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538)
vorstellen mag, und
| die dem Zeitelement
![{\displaystyle dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebee76a835701fd1f26047a09855f2ea36bb08fc)
entsprechenden Aenderungen von
![{\displaystyle \Theta _{0},\Theta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0d7bcf4e69335acc858a9a4b1c30c4b50457b9)
bezeichnen sollen. Dieses Integral
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
kann mit Rücksicht auf (55.), (56.) auch so geschrieben werden:
(58.)
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oder, wenn
, mithin
gesetzt wird, auch so:
(59.)
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Nun findet aber, weil
lediglich Functionen von
sein sollen, die identische Gleichung statt:
Somit folgt aus (59.):
(60.)
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w. z. b. w.