Die elektrischen Kräfte/Zusammenstellung:§20

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§. 20. Genauere Feststellung des Elementargesetzes, gestützt auf das Axiom der lebendigen Kraft. — Erste Methode.

     Wir wollen das genannte Axiom in Anwendung bringen auf die aufeinanderfolgenden Zustände eines gewissen gegebenen materiellen Systems, unter der Voraussetzung, dasselbe werde in constanter Temperatur erhalten, und die von Aussen her einwirkenden Kräfte seien sämmtlich ordinärer Natur.

     Das System bestehe aus beliebig vielen von isolirenden Hüllen umschlossenen starren und homogene^[1] Drahtringen $A,B,C,\ldots \,$ und aus der in ihnen enthaltenen elektrischen Materie. Die räumliche Lage eines jeden Ringes sei analytisch ausgedrückt durch sechs Parameter, und diese Parameter mögen für alle Ringe zusammengenommen bezeichnet sein mit $\pi ',\pi '',\ldots \,$

     In einem gegebenen Augenblick $t^{0}\,$ sei der Zustand des Systemes $A,B,C,\ldots \,$ willkührlich gegeben, sowohl hinsichtlich der räumlichen Lagen und Geschwindigkeiten, als auch hinsichtlich der elektrischen Ladungen und Strömungen. Es sollen also zur Zeit $t^{0}\,$ die Grössen $\pi ',\pi '',\ldots ,{\frac {d\pi '}{dt}},{\frac {d\pi ''}{dt}},\ldots \,$ beliebige Werthe besitzen; und ebenso sollen zu jener Zeit auch die Dichtigkeiten $E\,$ der elektrischen Ladungen^[2] und die Intensitäten $J\,$ der elektrischen Ströme gegeben sein als beliebige Functionen der Bogenlängen. — Dieser Zustand mag kurzweg der Anfangszustand, und $t^{0}\,$ der Augenblick des Anfangszustandes genannt werden.

     Vom Augenblick $t^{0}\,$ an sei das System, abgesehen von irgend welchen (an Fäden wirkenden) äusseren Zugkräften sich selber^[3] überlassen. Auch sei vorausgesetzt, dasselbe bleibe durch geeignete (von Augenblick zu Augenblick erfolgende) Wärmeableitungen in constanter Temperatur erhalten.

     Nach dem allgemeinen Axiom der lebendigen Kraft (oder vielmehr nach einem daraus abgeleiteten Satze, pag. 33) muss alsdann diejenige Quantität von lebendiger Kraft und Wärme

$(1.)\,$

$(dT+dQ)_{\mathrm {eldy.Us} },\,$

welche das System $A,B,C,\ldots \,$ während eines beliebigen Zeitelementes $dt,\,$ vermöge seiner Kräfte eldy. Us, in sich selber hervorruft, das vollständige Differential irgend einer unbekannten Function sein, welche lediglich abhängen darf von der augenblicklichen Beschaffenheit des Systems.

     Der analytische Ausdruck einer solchen Function wird lediglich zusammengesetzt sein aus denjenigen Grössen, welche der augenblicklichen Beschaffenheit des Systems angehören. Diese Grössen aber zerfallen in zweierlei Gattungen. Die einen sind constant, nämlich im augenblicklichen Zustande des Systems von genau denselben Werthen wie in allen übrigen; die andern sind variabel, und haben also im Allgemeinen im augenblicklichen Zustande andere Werthe, als früher oder später. Die erstern mögen die charakteristischen Constanten, die letztern die charakteristischen Variablen des Systems genannt werden.

     Zu den charakteristischen Constanten des Systems $A,B,C,\ldots \,$ gehören die räumlichen Dimensionen, überhaupt alle Constanten, durch welche die Figuren und Querschnitte der einzelnen Ringe sich ausdrücken, ferner die Dichtigkeiten der ponderablen Massen, ferner die Quantitäten freier Elektricität, mit denen die (von isolirenden Hüllen umschlossenen) Ringe von Hause aus beladen sind, ferner die Leitungstätigkeiten der Ringe, u. s. w. — Auch gehört zu denselben diejenige constante Temperatur, in welcher das System (zufolge der gemachten Voraussetzung) fortdauernd erhalten bleibt.

     Andererseits sind zu den charakteristischen Variablen des Systems zu rechnen die Parameter $\pi ,\,$ die elektrischen Dichtigkeiten $E,\,$ die elektrischen Stromstärken $J\,$ ferner vielleicht auch irgend welche nach der Zeit gebildeten Differentialquotienten der $\pi ,E,J;\,$ u. s. w.

     Solches vorangeschickt, können wir also sagen:

     $(2.)\ldots \,$ „Die in (1.) angegebene Quantität $(dT+dQ)_{\mathrm {eldy.Us} }\,$ muss das vollständige Differential irgend einer unbekannten Function sein, deren analytischer Ausdruck lediglich zusammengesetzt sein darf aus den charakteristischen Constanten und aus den charakteristischen Variablen des gegebenen Systems.“

     Es muss mithin jene Function z. B. unabhängig sein von den auf das System einwirkenden äusseren Zugkräften.

     Um aus diesem Satze den gehörigen Gewinn zu ziehen, mag zunächst die in (1.) genannte Quantität, ihrem analytischen Ausdrucke nach, näher bestimmt werden. Zu diesem Zwecke seien folgende Bezeichnungen eingeführt:

$\mathrm {D} s_{0}\,$ und $\mathrm {D} s_{1}\,$ irgend zwei Bogenelemente der Ringe $A,B,C,\ldots \,$;

$r\,$ ihre gegenseitige Entfernung;

$\Theta _{0},\Theta _{1},E\,$ die im Ampère’schen Gesetz (pag. 44) auftretenden Cosinus;

$x_{0},y_{0},z_{0}\,$ und $x_{1},y_{1},z_{1}\,$ die Coordinaten der beiden Elemente;

$J_{0}\,$ und $J_{1}\,$ ihre Stromstärken;

$R\,$ die (repulsiv gerechnete) ponderomotorische Kraft eldy. Us, welche nach dem Ampère’schen Gesetz $\mathrm {D} s_{1}\,$ auf $\mathrm {D} s_{0}\,$ ausübt;

$X_{0}^{1},Y_{0}^{1},Z_{0}^{1}\,$ die rechtwinkligen Componenten dieser Kraft;

${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt\,$ diejenige elektromotorische Kraft eldy. Us, welche von $\mathrm {D} s_{1}\,$ während der Zeit $dt\,$ hervorgebracht wird in irgend einem Puncte des Elementes $\mathrm {D} s_{0},\,$ und zwar in der Richtung dieses Elementes;

$d\,$ die Charakteristik für diejenigen Aenderungen, welche stattfinden während der Zeit $dt.\,$

     Alsdann ergeben sich sofort die Formeln:

$(3.\mathrm {a} )\,$

${\begin{aligned}(dT_{0}^{1})_{\mathrm {eldy.Us} }&=X_{0}^{1}dx_{0}+Y_{0}^{1}dy_{0}+Z_{0}^{1}dz_{0},\\&=R\ {\frac {(x_{0}-x_{1})dx_{0}+(y_{0}-y_{1})dy_{0}+(z_{0}-z_{1})dz_{0}}{r}},\end{aligned}}\,$

$(3.\mathrm {b} )\,$

$(dQ_{0}^{1})_{\mathrm {eldy.Us} }=J_{0}\ \mathrm {D} s_{0}\ {\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt,\,$

wo^[4] die linken Seiten diejenigen Quantitäten von lebendiger Kraft und Wärme vorstellen, welche, vermöge der Kräfte eldy. Us, von $\mathrm {D} s_{1}\,$ während der Zeit $dt\,$ hervorgerufen werden in $\mathrm {D} s_{0}.\,$

     Die Kräfte $R\,$ und ${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt\,$ lassen sich, unter Benutzung des Ampère'schen Gesetzes (pag. 44) und des im vorhergehenden §. entwickelten Gesetzes (pag. 122), in folgender Weise darstellen:

$(4.\mathrm {a} )\,$

$R=J_{0}\ \mathrm {D} s_{0}\cdot J_{1}\ \mathrm {D} s_{1}\cdot \mathrm {P} ,\,$

$(4.\mathrm {b} )\,$

${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt=J_{1}\ \mathrm {D} s_{1}\cdot [\mathrm {K} dr+\lambda \Theta _{1}d\Theta _{0}+\mu \Theta _{0}d\Theta _{1}+\nu d\mathrm {E} ]+(dJ_{1})\ \mathrm {D} s_{1}\cdot \Omega ,\,$

wo $\mathrm {P} ,\mathrm {K} ,\Omega \,$ zur Abkürzung stehen für die Ausdrücke

$(5.)\,$

${\begin{aligned}\varrho &=\rho \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {\mathrm {II} }{\rho }}\mathrm {E} ,\\\mathrm {K} &=\varkappa \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {\mathrm {II} }{\varkappa }}\mathrm {E} ,\\\Omega &=\omega \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}\mathrm {E} ,\end{aligned}}\,$

während gleichzeitig $\varrho ,{\overset {\mathrm {II} }{\varrho }},\varkappa ,{\overset {\mathrm {II} }{\varkappa }},\omega ,{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}\,$ und $\lambda ,\mu ,\nu \,$ Functionen sind, die lediglich von $r\,$ abhängen. — Durch Substitution der Werthe (4.a,b) in (3.a,b) folgt:

$(6.\mathrm {a} )\,$

$(dT_{0}^{1})_{\mathrm {eldy.Us} }=\mathrm {D} s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}\cdot J_{0}J_{1}\ \mathrm {P} {\frac {(x_{0}-x_{1})dx_{0}+(y_{0}-y_{1})dy_{0}+(z_{0}-z_{1})dz_{0}}{r}}\,$

$(6.\mathrm {b} )\,$

${\begin{aligned}(dQ_{0}^{1})_{\mathrm {eldy.Us} }=\mathrm {D} s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}&\cdot J_{0}J_{1}\ [\mathrm {K} dr+\lambda \Theta _{1}\Theta _{0}+\mu \Theta _{0}\Theta _{1}+\nu d\mathrm {E} ]\\&+\mathrm {D} s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}\cdot J_{0}(dJ_{1})\Omega .\end{aligned}}\,$

Analoge Formeln werden offenbar sich ergeben, wenn man umgekehrt die Einwirkung von $\mathrm {D} s_{0}\,$ auf $\mathrm {D} s_{1}\,$ in Betracht zieht. Addirt man diese analogen Formeln zu den schon vorhandenen (6.a,b), so folgt:

$(7.\mathrm {a} )\,$

$(dT_{0}^{1}+dT_{1}^{0})_{\mathrm {eldy.Us} }=\mathrm {D} s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}\cdot J_{0}J_{1}\ \mathrm {P} dr,\,$

$(7.\mathrm {b} )\,$

${\begin{aligned}(dQ_{0}^{1}+dQ_{1}^{0})_{\mathrm {eldy.Us} }&=\mathrm {D} s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}\cdot J_{0}J_{1}[2\mathrm {K} dr+(\lambda +\mu )d(\Theta _{0}\Theta _{1})+2\nu ]\\&+\mathrm {D} s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}\cdot \Omega d(J_{0}J_{1}).\end{aligned}}\,$

Hieraus aber folgt weiter:

$(8.)\,$

$(dT_{0}^{1}+dT_{1}^{0}+dQ_{0}^{1}+dQ_{1}^{0})_{\mathrm {eldy.Us} }=\mathrm {D} s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}\ [d(J_{0}J_{1}\Omega )+J_{0}J_{1}\Upsilon ],\,$

wo $\Upsilon \,$ die Bedeutung hat:

$(9.)\,$

$\Upsilon =(2\mathrm {K} +\mathrm {P} )dr+(\lambda +\mu )d(\Theta _{0}\Theta _{1})+2\nu d\mathrm {E} -d\Omega .\,$

Dieser Ausdruck $\Upsilon \,$ erlangt übrigens, wie sofort bemerkt sein mag, durch Substitution der Werthe (5.) die einfachere Gestalt:

$(10.)\,$

$\Upsilon =(\alpha \Theta _{0}\Theta _{1}+\beta \mathrm {E} )dr+\gamma d(\Theta _{0}\Theta _{1})+\delta d\mathrm {E} ,\,$

wo alsdann unter $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \,$ folgende lediglich von $r\,$ abhängende Functionen zu verstehen sind:

$(11.)\,$

${\begin{aligned}\alpha &=(2\varkappa +\varrho )-{\frac {d\omega }{dr}},\quad &\gamma &=(\lambda +\mu )-\omega ,\\\beta &=(2{\overset {\mathrm {II} }{\varkappa }}+{\overset {\mathrm {II} }{\varrho }})-{\frac {d{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}}{dr}},\quad &\delta &=2\nu -{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}.\end{aligned}}\,$

     Summirt man die Formel (8.) über sämmtliche Elementenpaare $\mathrm {D} s_{0},\mathrm {D} s_{1}\,$ des gegebenen Systeines $A,B,C,\ldots \,$ (jedes Paar immer nur einmal genommen), so erhält man:

$(12.)\,$

$(dT+dQ)_{\mathrm {eldy.Us} }={\frac {1}{2}}\Sigma \Sigma \,\mathrm {D} s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}[d(J_{0}j_{1}\Omega )+J_{0}J_{1}\Upsilon ].\,$

Hier repräsentirt die linke Seite die zu berechnende Quantität (1.), nämlich diejenige Quantität von lebendiger Kraft und Wärme, welche das gegebene System $A,B,C,\ldots ,\,$ vermöge der in ihm vorhandenen Kräfte eldy. Us, während der Zeit $dt\,$ in sich selber hervorbringt. Auf der rechten Seite ist die Operation $\Sigma \Sigma \,$ der Art ausgeführt zu denken, dass zunächst bei festgehaltenem $\mathrm {D} s_{0}\,$ summirt ist über alle Elemente $\mathrm {D} s_{1}\,$ des Systemes, hierauf aber der so erhaltene Ausdruck von Neuem summirt ist über alle Elemente $\mathrm {D} s_{0}\,$ des Systemes^[5]; so dass also jedwedes Elementenpaar $\mathrm {D} s_{0},\mathrm {D} s_{1}\,$ im Ausdruck $\Sigma \Sigma \,$ doppelt vorkommt, mithin nur einmal vorkommt im Ausdruck ${\frac {1}{2}}\Sigma \Sigma .\,$

     Uebrigens kann die Formel (12.), weil die Ringe $A,B,C,\ldots \,$ nach unserer Voraussetzung starr, also ohne Gleitstellen sind, auch so dargestellt werden:

$(13.)\,$

$(dT+dQ)_{\mathrm {eldy.Us} }=d\lbrace {\frac {1}{2}}\Sigma \Sigma [\mathrm {D} s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}J_{0}J_{1}\Omega ]\rbrace +U,\,$

wo alsdann $U,\,$ mit Rücksicht auf (10.), die Bedeutung hat:

$(14.)\,$

$U={\frac {1}{2}}\Sigma \Sigma [\mathrm {D} s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}J_{0}J_{1}((\alpha \Theta _{0}\Theta _{1}+\beta \mathrm {E} )dr+\gamma d(\Theta _{0}\Theta _{1})+\delta d\mathrm {E} )].\,$

     Die $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \,$ hängen nur von $r\,$ ab [vergl. (11.)]; der irgend zwei Elementen $\mathrm {D} s_{0},\mathrm {D} s_{1}\,$ zugehörige Ausdruck

$(15.)\,$

$(\alpha \Theta _{0}\Theta _{1}+\beta \mathrm {E} )dr+\gamma d(\Theta _{0}\Theta _{1})+\delta d\mathrm {E} \,$

muss daher darstellbar sein durch die Bogenlängen $s_{0},s_{1}\,$ der beiden Elemente, ferner durch die Parameter $\pi ',\pi '',\ldots ,\,$ und endlich durch diejenigen Aenderungen $d\pi ',d\pi '',\ldots ,\,$ welche diese Parameter erfahren während des betrachteten Zeitelementes $dt\,$. Mit andern Worten: Jener Ausdruck (15.) muss sich umgestalten lassen in

$(16.\mathrm {a} )\,$

$(\alpha \Theta _{0}\Theta _{1}+\beta \mathrm {E} )dr+\gamma d(\Theta _{0}\Theta _{1})+\delta d\mathrm {E} =\Pi 'd\pi '+\Pi ''d\pi ''+\ldots ,\,$

wo alsdann die $\Pi '\,$ lediglich abhängen von $s_{0},s_{1}\,$ und den Parametern $\pi ,\,$ was angedeutet sein mag durch:

$(16.\mathrm {b} )\,$

$\Pi ^{(n)}=\Pi ^{(n)}(s_{0},s_{1},\pi ',\pi '',\ldots ).\,$

     Vermöge dieser Umgestaltung (16.a,b) gewinnt nun der Ausdruck $U\,$ (14.) folgendes Aussehen:

$(17.\mathrm {a} )\,$

$U=V'd\pi '+V''d\pi ''+\ldots ,\,$

wo die $V\,$ dargestellt sind durch die Integrale:

$(17.\mathrm {b} )\,$

$V^{n}={\frac {1}{2}}\Sigma \Sigma [\mathrm {D} s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}J_{0}J_{1}\ \Pi ^{(n)}].\,$

     Nach dem Satze (2.) muss die Quantität $(dT+dQ)_{\mathrm {eldy.Us} }\,$ ein vollständiges Differential sein. Gleiches muss daher gelten von dem in (13.) für jene Quantität gefundenen Werthe, und also auch gelten von dem letzten Term $U\,$ dieses Werthes. Der Term $U\,$ (14.) enthält die variablen Grössen $J,\,$ nicht aber die $dJ.\,$ Folglich kann derselbe jener Anforderung, ein vollständiges Differential zu sein, nur dadurch entsprechen, dass er identisch verschwindet. Hieraus folgt dann aber weiter, dass die in dem Term $U\,$ (14.) enthaltenen Functionen $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \,$ ebenfalls identisch Null sind. — Eine solche Schlussweise würde allerdings sehr kurz, aber auch sehr wenig überzeugend^[6] sein. Wir werden daher zur Erreichung des eben angedeuteten Zieles einen etwas längeren Weg einschlagen, der jedoch hinsichtlich seiner Strenge Nichts zu wünschen übrig lassen dürfte.

     Nach dem Satze (2.) muss die Quantität $(dT+dQ)_{\mathrm {eldy.Us} }\,$ das vollständige Differential irgend einer unbekannten Function sein, deren analytischer Ausdruck lediglich zusammengesetzt sein darf aus den charakteristischen Constanten und den charakteristischen Variablen des betrachteten Systemes $A,B,C,\ldots .\,$ Gleiches muss daher, nach (13.), auch gelten vom Terme $U;\,$ es muss also

$(18.)\,$

$U=df\,$

sein, wo $f\,$ eine noch unbekannte Function bezeichnet, deren analytischer Ausdruck lediglich zusammengesetzt sein darf aus den charakteristischen Constanten und charakteristischen Variablen des gegebenen Systemes. Aus (17.) und (18.) ergiebt sich aber die Formel:

$(19.)\,$

$df=V'd\pi '+V''d\pi ''+\ldots ,\,$

welche zeigt, dass in $f\,$ keine andern Variablen enthalten sein können als die Parameter $\pi .\,$ Somit darf also der analytische Ausdruck von $f\,$ lediglich zusammengesetzt sein aus den charakteristischen Constanten des gegebenen Systemes und aus den Parametern $\pi .\,$ Gleiches gilt offenbar von den $V;\,$ denn nach (19.) ist

$\,$	$V'={\frac {\partial f}{\partial \pi '}},\quad V''={\frac {\partial f}{\partial \pi ''}},\ldots .\,$

$(20.)\ldots \,$ „Bezeichnet man also die charakteristischen Constanten des gegebenen Systemes mit $c',c'',\ldots ,\,$ so werden die in

$\,$	$U=V'd\pi '+V''d\pi ''+\ldots \,$

enthaltenen Functionen $V\,$ von folgender Gestalt sein:

$\,$	$V^{(n)}=V^{(n)}(c',c'',\ldots ,\pi ',\pi '',\ldots );\,$

dass heisst, die $c\,$ sind die einzigen Constanten, und die $\pi \,$ die einzigen Variablen, welche in diesen $V\,$ überhaupt enthalten sein können.“

     Wir stellen uns nun die Aufgabe, die Functionen $V\,$ wirklich zu bestimmen für irgend eine specielle Lage des gegebenen Systemes $A,B,C,\dots ,\,$ d. h. für diejenigen speciellen Werthe $p',p'',\ldots ,\,$ welche die Parameter $\pi ',\pi '',\ldots \,$ bei jener speciellen Lage annehmen.

     Die Functionen $V\,$ sind nach (20.) unabhängig von den auf das System (an irgend welchen Fäden) einwirkenden äusseren Zugkräften. Sollten also diese Kräfte etwa von Hause aus in irgend welcher Weise (etwa als Functionen der Zeit) gegeben sein, so werden wir trotzdem dieselben von Augenblick zu Augenblick ganz nach unserm Gefallen abändern dürfen, ohne dass dadurch irgend welche Aenderungen eintreten in der Beschaffenheit der Functionen $V.\,$ Um nun die Werthe dieser $V\,$ für die specielle Lage $p\,$ (d. h. für die Parameter $p\,$) zu ermitteln, wollen wir jene äusseren Zugkräfte von Augenblick zu Augenblick in solcher Weise uns regulirt denken, dass das System $A,B,C,\ldots ,$ nachdem es von seinem gegebenen Anfangszustande aus beliebig lange Zeit andere und andere Zustände durchlaufen hat, allmählig mit mehr und mehr abnehmender Geschwindigkeit der gegebenen Lage $p\,$ sich nähert, endlich mit der Geschwindigkeit Null in diese Lage hineingelangt, und sodann in derselben festgehalten wird. Denken wir uns diese Fixirung des Systemes (welche ebenfalls durch passende Regulirung der äusseren Zugkräfte zu bewirken ist) unendlich lange Zeit andauernd, so werden die in dem System vorhandenen Stromstärken $J\,$ (wie aus experimentellen Ergebnissen mit Sicherheit geschlossen werden kann) schwächer und schwächer werden, und schliesslich erlöschen. In demselben Augenblick aber, wo die J erlöschen. In demselben Augenblick verschwinden, nach (17.b), auch die $V.\,$ Somit sind wir also zu der Einsicht gelangt, dass die Functionen $V\,$ für die specielle Lage $p,\,$ unter gewissen Umständen und zu einer gewissen Zeit, Null sind. Hieraus aber folgt, mit Rücksicht auf (20.), sofort, dass sie für jene Lage $p\,$ immer^[7] Null sind. Die Lage $p\,$ war aber beliebig gewählt; folglich gilt Gleiches auch für jede andere Lage $\pi \,$ des Systemes. Wir können also sagen:

     $(21.)\ldots \,$ „Die in (20.) genannten Functionen $V',V',\ldots \,$ sind identisch Null, und der dort angegebene Ausdruck $U\,$ also ebenfalls identisch Null.“

     Solches erkannt, können wir nunmehr endlich den eigentlichen Faden unserer Untersuchung weiter verfolgen. Substituiren wir zunächst in den Formeln (13.), (14.) für $U\,$ den eben gefundenen Werth Null, und recapituliren wir dabei, was in Betreff dieser Formeln zu sagen ist, so werden wir uns etwa in folgender Weise auszudrücken haben.

     $(22.)\ldots \,$ „Wird ein System beliebig vieler homogener und starrer Drahtringe $A,B,C,\ldots \,$ durch von Augenblick zu Augenblick erfolgende Wärmeableitungen in constanter Temperatur erhalten, ist ferner der Anfangszustand des Systemes, hinsichtlich seiner ponderablen wie hinsichtlich seiner elektrischen Materie, in willkührlicher Weise festgesetzt, und ist endlich das System, abgesehen von jenen Wärmeableitungen und abgesehen von irgend welchen (an Fäden wirkenden) äusseren Zugkräften, sich selber überlassen, so werden vom Augenblick des Anfangszustandes ab fortdauernd die Formeln gelten:

$\,$	$(dT+dQ)_{\mathrm {eldy.Us} }=d\lbrace {\frac {1}{2}}\Sigma \Sigma [\mathrm {D} s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}J_{0}J_{1}\Omega ]\rbrace ,\,$

$\,$	$\Sigma \Sigma [\mathrm {D} s_{0}\ \mathrm {D} s_{1}J_{0}J_{1}((\alpha \Theta _{0}\Theta _{1}+\beta \mathrm {E} )dr+\gamma d(\Theta _{0}\Theta _{1})+\delta d\mathrm {E} )]=0.\,$

Hier haben $\Omega \,$ und $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \,$ nach (5.), (11.), die Bedeutungen:

$\,$	$\Omega =\omega \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}\mathrm {E} ,\,$

$\,$

${\begin{aligned}\alpha &=(2\varkappa +\varrho )-{\frac {d\omega }{dr}},\quad &y&=(\lambda +\mu )-\omega ,\\\beta &=(2{\overset {\mathrm {II} }{\varkappa }}+{\overset {\mathrm {II} }{\varrho }})-{\frac {d{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}}{dr}},\quad &\delta &=2\nu -{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}.\end{aligned}}\,$

Ausserdem ist unter $(dT+dQ)_{\mathrm {eldy.Us} }\,$ diejenige Quantität von lebendiger Kraft und Wärme zu verstehen, welche das gegebene System, vermöge seiner Kräfte eldy. Us, während des betrachteten Zeitelementes $dt\,$ in sich selber hervorbringt.“

     Beiläufig folgt aus diesen Ergebnissen (22.), dass die von uns früher (pag. 21) mit ${\mathfrak {F}}_{c}\,$ bezeichnete Function dargestellt ist durch den Ausdruck:

$(23.)\,$

$(-1){\frac {1}{2}}\Sigma \Sigma [\mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}J_{0}J_{1}\Omega ],\,$

dieser Ausdruck also zu bezeichnen sein wird als das elektrodynamische Postulat des gegebenen Systemes. Es repartirt sich nun aber dieser Ausdruck (23.), weil die $J\,$ im Anfangszustande und folglich auch in späteren Zuständen ungleichförmig (d. i. Functionen der Bogenlängen) sind, in völlig bestimmter Weise auf die einzelnen Elementenpaare $\mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1};\,$ und wir gelangen daher, unter Rücksicht darauf, dass jedes solches Paar in $\Sigma \Sigma \,$ doppelt, mithin in ${\frac {1}{2}}\Sigma \Sigma \,$ nur einmal^[8] vorkommt, zu folgendem Satz:

     Das elektrodynamische Postulat irgend zweier elektrischer Stromelemente $J_{0}\mathrm {D} s_{0}\,$ und $J_{1}\mathrm {D} s_{1}\,$ besitzt den Werth:

$(24.\mathrm {a} )\,$

$(-1)\mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}J_{0}J_{1}\Omega ,\,$

wo $\Omega \,$ die Bedeutung hat:

$(24.\mathrm {b} )\,$

$\Omega =\omega \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}\mathrm {E} .\,$

Dabei sind unter $r,\Theta _{0},\Theta _{1},\mathrm {E} \,$ dieselben Grössen zu verstehen, wie im Ampère’schen Gesetz (pag. 44), ferner unter $\omega ,{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}\,$ zwei noch unbekannte, lediglich von $r\,$ abhängende Functionen.

     Von hervorragender Wichtigkeit ist ein anderes in (22.) zu Tage getretenes Ergebniss. Wir sehen nämlich aus (22.), dass die Summe

$(25.)\,$

$\Sigma \Sigma \left[\mathrm {D} s_{0}\mathrm {D} s_{1}J_{0}J_{1}\left((\alpha \Theta _{0}\Theta _{1}+\beta \mathrm {E} ){\frac {dr}{dt}}+\gamma {\frac {d(\Theta _{0}\Theta _{1})}{dt}}+\delta {\frac {d\mathrm {E} }{dt}}\right)\right]\,$

in jedem Augenblick Null sein muss, also auch Null sein muss zur Zeit $t^{0}$ des willkührlich gegebenen Anfangszustandes. Zu jener Zeit $t^{0}\,$ waren aber die $J$ willkührlich gegebene Functionen der Bogenlängen. Somit folgt, dass der unter dem Summenzeichen stehende Ausdruck

$(26.)\,$

$(\alpha \Theta _{0}\Theta _{1}+\beta \mathrm {E} ){\frac {dr}{dt}}+\gamma {\frac {d(\Theta _{0}\Theta _{1})}{dt}}+\delta {\frac {d\mathrm {E} }{dt}}\,$

zu jener Zeit Null sein muss für jedes einzelne Elementenpaar $\mathrm {D} s_{0},\mathrm {D} s_{1}.\,$

     In diesem Ausdruck (26.) sind $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \,$ unbekannte Functionen von $r.\,$ Andererseits sind $r,\Theta _{0},\Theta _{1},\mathrm {E} \,$ und ${\frac {dr}{dt}},{\frac {d\Theta _{0}}{dt}},{\frac {d\Theta _{1}}{dt}},{\frac {d\mathrm {E} }{dt}}\,$ diejenigen acht Grössen, durch welche die relative Lage und relative Geschwindigkeit des betrachteten Elementenpaares $\mathrm {D} s_{0},\mathrm {D} s_{1}\,$ sich bestimmt. Zur Zeit $t^{0}\,$ haben aber $\mathrm {D} s_{0},\mathrm {D} s_{1}\,$ willkührlich gegebene Lagen und Geschwindigkeiten, mithin jene acht Grössen willkührlich gegebene Werthe. Aus dem Verschwinden des Ausdruckes (26.) zur Zeit $t^{0}\,$ folgt also, dass die Functionen $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,$ einzeln Null sind, und zwar Null sind für jedes beliebige $r;\,$ denn es gehört ja $r\,$ ebenfalls zu jenen acht Grössen, die zur Zeit $t^{0}\,$ willkührliche Werthe besitzen.

     Erinnert man sich also an die eigentlichen Bedeutungen von $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \,$ (22.), so gelangt man zu folgenden Formeln:

$\,$	${\begin{aligned}2\varkappa +\varrho ={\frac {d\omega }{dr}},&\quad \lambda +\mu =\omega ,\\2{\overset {\mathrm {II} }{\varkappa }}+{\overset {\mathrm {II} }{\varrho }}={\frac {d{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}}{dr}},&\quad 2\nu ={\overset {\mathrm {II} }{\omega }},\end{aligned}}\,$

gültig für jedes beliebige $r.\,$ Diese Formeln können auch so dargestellt werden:

$(27.)\,$

${\begin{array}{lllll}\varkappa ={\frac {1}{2}}\left({\frac {d\omega }{dr}}-\varrho \right),&&\lambda ={\frac {1}{2}}(\omega -\sigma ),&&\mu ={\frac {1}{2}}(\omega +\sigma ),\\\\{\overset {\mathrm {II} }{\varkappa }}={\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}}{dr}}-\varrho \right),&&\nu ={\frac {1}{2}}{\overset {\mathrm {II} }{\omega }},\end{array}}$

wo alsdann $\sigma \,$ eine neue unbekannte Function von $r\,$ vorstellt.

     Hinsichtlich der von uns benutzten Abkürzungen (pag. 126):

$(28.)\,$

${\begin{aligned}\mathrm {P} &=\varrho \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {\mathrm {II} }{\varrho }}\mathrm {E} ,\\\mathrm {K} &=\varkappa \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {\mathrm {II} }{\varkappa }}\mathrm {E} ,\\\Omega &=\omega \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}\mathrm {E} ,\end{aligned}}\,$

ergiebt sich nunmehr, unter Anwendung der für $\varkappa ,{\overset {\mathrm {II} }{\varkappa }}\,$ erhaltenen Werthe (27.), successive:

$(29.)\,$

${\begin{aligned}2\mathrm {K} dr&=\Theta _{0}\Theta _{1}\cdot 2\varkappa dr+\mathrm {E} \cdot 2{\overset {\mathrm {II} }{\varkappa }}dr,\\&=[\Theta _{0}\Theta _{1}d\omega +\mathrm {E} d{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}]-\mathrm {P} dr,\\&=(d\Omega -\mathrm {P} dr)-[\omega d(\Theta _{0}\Theta _{1})+{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}d\mathrm {E} ].\end{aligned}}\,$

Ferner folgt, unter Anwendung der Werthe von $\lambda ,\mu ,\nu \,$ (27.):

$(30.)\,$

$2(\lambda \Theta _{1}d\Theta _{0}+\mu \Theta _{0}d\Theta _{1}+\nu d\mathrm {E} )=\omega d(\Theta _{0}\Theta _{1})+\sigma (\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0})+{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}d\mathrm {E} .\,$

Endlich folgt durch Addition von (29.), (30.) sofort:

$(31.)\,$

$2(\mathrm {K} dr+\lambda \Theta _{1}d\Theta _{0}+\mu \Theta _{0}d\Theta _{1}+\nu d\mathrm {E} )=(d\Omega -\mathrm {P} dr)+\sigma (\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0}).\,$

Hiedurch aber gewinnt die für die elektromotorische Kraft ${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt\,$ geltende Formel (pag. 126) folgendes Aussehen:

$(32.)\,$

${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt=J_{1}\mathrm {D} s_{1}{\frac {(d\Omega -\mathrm {P} dr)+\sigma (\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0})}{2}}+(dJ_{1})\mathrm {D} s_{1}\Omega .\,$

Das im vorhergehenden §. in Betreff dieser elektromotorischen Kraft erhaltene Resultat (pag. 122) erlangt demnach gegenwärtig folgende bestimmtere Gestaltung.

     Befinden sich zwei Stromelemente $J_{0}\mathrm {D} s_{0}\,$ und $J_{1}\mathrm {D} s_{1}\,$ in irgend welchem Zustande der Bewegung, und die in ihnen enthaltenen Stromstärken $J_{0}\,$ und $J_{1}\,$ in irgend welchem Zustande der Veränderung, so wird die während der Zeit $dt\,$ von $J_{1}\mathrm {D} s_{1}\,$ in irgend einem Punct des Elementes $J_{0}\mathrm {D} s_{0},\,$ und zwar in der Richtung dieses Elementes, hervorgebrachte elektromotorische Kraft eldy. Us ${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt\,$ den Werth besitzen:

$(33.\mathrm {a} )\,$

${\mathfrak {E}}_{0}^{1}dt=J_{1}\mathrm {D} s_{1}{\frac {(d\Omega -\mathrm {P} dr)+\sigma (\Theta _{0}d\Theta _{1}-\Theta _{1}d\Theta _{0})}{2}}+(dJ_{1})\mathrm {D} s_{1}\Omega ,\,$

wo durch die Charakteristik $d\,$ diejenigen Aenderungen angedeutet sind, welche stattfinden während der gegebenen Zeit $dt.\,$

     Hier haben $r,\Theta _{0},\Theta _{1},\mathrm {E} ,\,$ ebenso auch

$(33.\mathrm {b} )\,$

$\mathrm {P} =\varrho \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {\mathrm {II} }{\varrho }}\mathrm {E} \,$

genau dieselben Bedeutungen, wie im Ampère’schen Gesetz (pag. 44). Andererseits hat $\Omega \,$ die Bedeutung:

$(33.\mathrm {c} )\,$

$\Omega =\omega \Theta _{0}\Theta _{1}+{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}\mathrm {E} ;\,$

wobei hinzuzufügen ist, dass $\omega ,{\overset {\mathrm {II} }{\omega }},\,$ und ebenso auch $\sigma ,\,$ lediglich von $r\,$ abhängende Functionen sind, über deren Beschaffenheit aber bis jetzt noch nicht die mindeste Kenntniss erlangt ist.

     Es sind also gegenwärtig noch drei unbekannte Functionen von $r\,$ zu bestimmen, nämlich $\omega ,{\overset {\mathrm {II} }{\omega }}\,$ und $\sigma .\,$

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1. Man. vergl. die Bemerkung auf pag. 31.
2. Bezeichnet man für irgend einen der Ringe $A,B,C,\ldots \,$ ein unendlich kleines Element (seiner Länge nach) mit $\mathrm {D} s,\,$ so wird die in diesem Element zur Zeit $t\,$ vorhandene Elektricitätsmenge proportional mit $\mathrm {D} s,\,$ folglich gleich $E\mathrm {D} s\,$ zu setzen sein. Der Factor $E\,$ soll kurzweg die Dichtigkeit der in dem Element vorhandenen elektrischen Ladung genannt werden.
3. Da die Ringe $A,B,C,\cdots \,$ homogen sind, und von Aussen her keinerlei elektromotorische Kräfte einwirken, so werden bekanntlich die zu Anfang vorhandenen Stromintensitäten $J\,$ binnen einer äusserst kurzen Zeit erlöschen, falls die Bewegungen der Ringe von mässiger Stärke sind. Somit sind wir in der unangenehmen Lage, entweder die Zeitdauer der betrachteten Processe uns als eine ungemein kurze denken zu müssen, oder annehmen zu müssen, dass die Ringe (etwa in Folge ihrer anfänglichen Geschwindigkeiten) in äusserst rapiden Bewegungen sich befinden.      Doch sei sogleich bemerkt, dass diese Unannehmlichkeit vollständig fortfällt bei derjenigen zweiten Methode, von welcher im nächstfolgenden §. die Rede sein wird.
4. Die Formel (3. b) wurde bereits früher abgeleitet, auf pag. 105. Ebenso ist auch Formel (3.a), allerdings in etwas anderer Gestalt, schon früher besprochen worden, pag. 51.
5. Das Zeichen $\Sigma \Sigma \,$ ist also genau in derselben Bedeutung hier gebraucht, welche früher (Note auf pag. 23) festgesetzt wurde.
6. Die in den Integralen $V\,$ (17.b) enthaltenen $J\,$ können angesehen werden als unbekannte Functionen der Bogenlängen und der Zeit; während andererseits die $\Pi \,$ abhängen von den Bogenlängen, und von den $\pi .\,$ Möglicherweise könnten nun jene unbekannten Functionen $J\,$ von solcher Beschaffenheit sein, dass die Integrale $V\,$ ihrerseits von der Zeit unabhängig, also nur noch abhängig von den $\pi \,$ sind. Dann aber würde $U\,$ (17.a), auch ohne zu verschwinden, ein vollständiges Differential sein.
7. Denn die gesuchten $V\,$ sind nach (20.), ausser von den Constanten $c',c'',\ldots ,\,$ nur noch abhängig von der gegebenen Lage $p\,$ (d. i. von den Parametern $p',p'',\ldots \,$). Ihre Werthe für diese Lage $p\,$ sind also stets ein und dieselben.
8. Vergl. die Note auf pag. 127.