6. Ein neuer Beweis des Kroneckerschen Fundamentalsatzes über Abelsche Zahlkörper[1].
[Aus den Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-physikalische Klasse. 1896. S. 29–39.]
L. Kronecker hat in den Monatsberichten der Berliner Akademie vom Jahre 1853 zuerst den fundamentalen Satz aufgestellt, daß die Wurzeln aller Abelschen Gleichungen im Bereich der rationalen Zahlen sich durch Einheitswurzeln rational ausdrücken lassen. Bezeichnet man diejenigen Zahlkörper, die durch Einheitswurzeln bestimmt sind, und alle Unterkörper von solchen Körpern kurz als Kreiskörper, so spricht sich der genannte Satz wie folgt aus:
Fundamentalsatz. Alle Abelschen Zahlkörper im Gebiete der rationalen Zahlen sind Kreiskörper.
H. Weber hat in den Acta Mathematica Bd. 8 einen vollständigen und allgemeinen Beweis dieses Satzes erbracht. Die vorliegende Note enthält einen neuen Beweis, welcher weder die Kummersche Zerlegung der Lagrangeschen Resolvente in Primideale noch die Anwendung der dem Wesen des Satzes fremdartigen transzendenten Methoden von Dirichlet erfordert. Der folgende Beweis ist vielmehr rein arithmetischer Natur; er beruht wesentlich auf den allgemeinen Begriffsbildungen, die ich in der Note „Grundzüge einer Theorie des Galoisschen Zahlkörpers“[2] in diesen Nachrichten vom Jahre 1894 kurz dargelegt habe und ist vermutlich weitgehender Verallgemeinerungen fähig.
Wenn die Gruppe eines Abelschen Körpers aus den Potenzen einer einzigen Substitution besteht, so heiße der Abelsche Körper zyklisch. Wir konstruieren folgende besonderen zyklischen Körper. Es bedeute
eine ungerade Primzahl und
eine Potenz derselben; dann ist der durch
bestimmte Körper
ein zyklischer Körper vom
-ten Grade. Der zyklische Unterkörper vom
-ten Grade dieses Körpers werde mit
bezeichnet; die Diskriminante von
ist eine Potenz von
. Ferner bestimmt die Zahl
einen reellen zyklischen Körper vom
-ten Grade. Dieser Körper werde mit
bezeichnet; die Diskriminante desselben ist eine Potenz von
Endlich wählen wir eine rationale Primzahl
mit der Kongruenzeigenschaft
nach
aus, wo
eine beliebige gerade oder ungerade Primzahl bedeutet; dann besitzt der Kreiskörper
vom Grade
offenbar einen zyklischen Unterkörper vom Grade
, dessen Diskriminante eine Potenz von
ist. Dieser zyklische Körper
-ten Grades werde mit
bezeichnet. Die Körper
sind sämtlich Kreiskörper.
Wir beweisen nun der Reihe nach folgende Hilfssätze über zyklische Körper.
Satz 1. Wenn ein beliebiger zyklischer Körper
, dessen Grad
die Potenz einer geraden oder ungeraden Primzahl
ist, keinen der beiden Körper
oder
als Unterkörper enthält, so gibt es in dem durch die Zahl
bestimmten Körper
stets eine ganze algebraische Zahl
von der Art, daß der aus
und
zusammengesetzte Körper
durch die Zahlen
und
bestimmt ist. Die Zahl
besitzt obenein die Eigenschaft, daß
die
-te Potenz einer Zahl in
wird; dabei bedeutet
eine beliebige, nicht durch
teilbare ganze rationale Zahl, ferner
die zugehörige Substitution der Gruppe des Kreiskörpers
und endlich ist symbolisch
, d. h.
gesetzt.
Beweis. Ist
eine den Körper
bestimmende ganze algebraische Zahl und sind
die Substitutionen der Gruppe von
, so setze man
|
|
Aus
folgt leicht, daß die beiden Zahlen
und
Zahlen des Körpers
sind. Die Zahl
ist daher von der verlangten Beschaffenheit. Daß der durch
und
bestimmte Körper mit dem durch
und
bestimmten Körper identisch ist, folgt leicht aus der Gleichheit ihrer Grade, da der letztere Körper den ersteren enthält.
Satz 2. Wenn ein beliebiger zyklischer Körper
, dessen Grad
die Potenz einer ungeraden Primzahl ist, den Körper
als Unterkörper enthält, so enthält der aus
und aus
zusammengesetzte Körper
notwendig den durch
bestimmten Körper
als Unterkörper. Es gibt nun in diesem Körper
stets eine ganze algebraische Zahl
derart, daß der Körper
auch durch die Zahlen
und
bestimmt ist. Bezeichnet ferner
eine Primitivzahl nach
und wird
gesetzt, so besitzt die Zahl
obenein die Eigenschaft, daß
die
-te Potenz einer Zahl des Körpers
wird.
Beweis. Ist
eine den Körper
bestimmende, ganze algebraische Zahl und sind
,
,
, …,
die Substitutionen der Gruppe von
, so setze man
und
|
.
|
Der Körper
enthält offenbar den Körper
als Unterkörper, und zwar sind die Zahlen dieses Unterkörpers
dadurch charakterisiert, daß sie bei der Substitution
ungeändert bleiben. Wegen
ist somit
eine Zahl in
. Es sei nun
eine solche Substitution der Gruppe des Körpers
, daß
wird; dann ist
; da mithin der Ausdruck
bei der Substitution
ungeändert bleibt, so ist
eine Zahl in
und folglich wird
die
-te Potenz einer solchen Zahl. Der Kürze halber ist hier wiederum von der symbolischen Schreibweise
Gebrauch gemacht.
Satz 3. Wenn
ein beliebiger zyklischer Körper ist, dessen Grad
die Potenz einer beliebigen geraden oder ungeraden Primzahl ist, so kann man stets einen zyklischen Körper
vom Grade
, wo
ist, und mit folgenden beiden Eigenschaften finden. Erstens: der aus
und einem gewissen Kreiskörper
zusammengesetzte Körper enthält
als Unterkörper und zweitens: in der Diskriminante von
geht keine rationale Primzahl
mit der Kongruenzeigenschaft
nach
auf.
Beweis. Ist
eine rationale Primzahl, welche die Kongruenzeigenschaft
nach
besitzt und welche in der Diskriminante des Körpers
aufgeht, so konstruiere man den zyklischen Kreiskörper
vom Grade
, dessen Diskriminante eine Potenz von
ist, und betrachte den aus
und
zusammengesetzten Körper
vom
-ten Grade. In
ist
, wo
ein Primideal in
bedeutet. Es sei
ein in
aufgehendes Primideal des Körpers
. Da das Primideal
in der Gradzahl
des Körpers
nicht aufgeht, so ist dieser Körper
als Verzweigungskörper des Primideals
relativ zyklisch, und zwar mindestens vom Relativgrade
in bezug auf den Trägheitskörper
des Primideals
. Da ferner zyklische Körper von höherem als dem
-ten Grade in
nicht vorkommen, so hat
genau den Relativgrad
in bezug auf
. Hieraus folgt, daß der Trägheitskörper
vom Grade
ist; dieser Körper
ist überdies zyklisch, da sonst, wie die Lehre von den Abelschen Gruppen zeigt, der Körper
nicht relativ zyklisch in bezug auf
sein könnte. Das Grundideal des Trägheitskörpers
ist nicht durch
und daher auch die Diskriminante von
nicht durch
teilbar; diese Diskriminante enthält daher nur solche Primteiler, welche in der Diskriminante des Körpers
aufgehen und verschieden von
sind. Es handelt sich nun darum, ob in der Diskriminante von
noch eine Primzahl
mit der Kongruenzeigenschaft
nach
enthalten ist. In diesem Falle wenden wir das nämliche Verfahren auf den Körper
an und gelangen so zu einem zyklischen Körper
vom
-ten Grade, welcher folgende Eigenschaften besitzt: der aus
und einem gewissen zyklischen Kreiskörper
zusammengesetzte Körper enthält
als Unterkörper und die Diskriminante des Körpers
enthält nur solche Primzahlen, welche in der Diskriminante des Körpers
aufgehen und von
und
verschieden sind. Die wiederholte Anwendung des Verfahrens führt schließlich auf einen Körper
von der im Satze verlangten Beschaffenheit.
Satz 4. Wenn
ein zyklischer Körper ist, dessen Grad
die Potenz einer beliebigen geraden oder ungeraden Primzahl
ist und wenn
den Unterkörper
-ten Grades von
bezeichnet, so besitzen sämtliche von
verschiedenen Primteiler
der Diskriminante von
die Kongruenzeigenschaft
nach
.
Beweis. Zunächst betrachten wir den Fall, daß
eine ungerade Primzahl und
ist. Es sei dann im Gegensatz zu unserer Behauptung
eine rationale in der Diskriminante von
aufgehende Primzahl, welche
nach
ist. Ferner bezeichne
den durch
bestimmten Körper, und es sei in
eine Primitivzahl nach
. Ist
ein idealer Primfaktor von
in
, so ist das Primideal
wegen
nach
, wie die Theorie des Kreiskörpers
lehrt, zugleich ein Primideal in einem Unterkörper von
, und es gibt mithin eine Potenz
der Substitution
, deren Exponent
ist und für welche dennoch
oder
wird. Desgleichen gelten auch für die zu
konjugierten Primideale
,
, … die entsprechenden Gleichungen
,
, …. Nach Satz 1 gibt es eine ganze Zahl
in
, so daß die beiden Zahlen
und
den aus
und
zusammengesetzten Körper
bestimmen und für welche obenein
gleich der
-ten Potenz einer Zahl in
wird. Da
und
zwei ganze ganzzahlige Funktionen von
sind, welche im Sinne der Kongruenz nach
keinen gemeinsamen Faktor heben, so gibt es 3 ganze ganzzahlige Funktionen
,
,
der Veränderlichen
, so daß
|
|
ist und hieraus folgt
|
,
|
wo
eine Zahl in
ist. Wegen der vorhin bewiesenen Gleichung für die Primideale
,
,
, … ist
eine ganze oder gebrochene Zahl, deren Zähler und Nenner keinen der Primfaktoren
,
,
, … enthalten und daher zu
prim sind; das gleiche gilt somit von der Zahl
. Wir setzen
, wo
eine ganze algebraische zu
prime Zahl und
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Der Körper
wird mithin auch durch die beiden Zahlen
und
bestimmt. Die Partialdiskriminante der Zahl
ist in bezug auf
, und da
zu
prim ist, so ist mithin die Partialdiskriminante von
in bezug auf
prim zu
. Da andrerseits die Diskriminante von
nicht durch
teilbar ist, so ist auch die Diskriminante von
und folglich auch die Diskriminante des Körpers
prim zu
, was unserer Annahme widerspricht.
In ähnlicher Weise schließen wir die Richtigkeit unseres Satzes bei ungeradem
, wenn der Exponent
beliebig angenommen wird. Wir setzen unter Beibehaltung der in Satz 1 angewandten Bezeichnungsweise
und
, wo
eine Primitivzahl nach
bedeuten möge. Es sei
ein idealer Primfaktor der in der Diskriminante von
, aufgehenden Primzahl
in
. Nehmen wir
nach
an, so liegt, wie die Theorie des Kreiskörpers
lehrt, das Primideal
jedenfalls auch in dem Unterkörper
, d. h. es ist
und ebenso gelten für die zu
in
konjugierten Primideale
, … die Gleichungen
, …. Da
Primitivzahl nach
ist, so wird
nach
und mithin lassen sich 3 ganze ganzzahlige Funktionen
,
,
der Variablen
derart bestimmen, daß
|
|
ist; hieraus folgt insbesondere, wenn
die in Satz 1 bestimmte Zahl bedeutet
|
,
|
wo
eine Zahl in
bedeutet. Wegen der vorhin bewiesenen Eigenschaft der Primideale
,
, … ist
und folglich auch
eine Zahl, deren Zähler und Nenner zu
prim ausfallen. Wir können daher die letztere Zahl
setzen, wo
eine ganze algebraische zu
prime Zahl und
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Es ist folglich
, und daraus ergibt sich
, wo
ebenfalls in
liegt. Da der durch
und
bestimmte Körper mit demjenigen Körper identisch ist, welcher durch Zusammensetzung aus
und
entsteht, und da die Partialdiskriminante der Zahl
in bezug auf
den zu
primen Wert
besitzt, so ist die Partialdiskriminante des Körpers
in bezug auf
prim zu
. Andererseits ist die Diskriminante von
ebenfalls nicht durch
teilbar, und folglich gilt das gleiche auch von den Diskriminanten des Körpers
und des Körpers
. Der letztere Umstand widersprieht unserer
Annahme.
Um die Richtigkeit des Satzes 4 für
zu erkennen, machen wir zunächst
die Annahme
und wenden dann auf den zyklischen Körper
vom
4-ten Grade den Satz 1 an. Gemäß der dort gebrauchten Bezeichnungsweise
setzen wir
und wählen
. Dann ist
. Es sei
der
quadratische Unterkörper von
und
eine in der Diskriminante von
aufgehende Primzahl, welche
nach
ist. Infolgedessen ist
in
unzerlegbar. Ist nun die durch Satz 1 in unserem Falle bestimmte Zahl
durch
teilbar, so bilde man die Zahl
. Da nach Satz 1 andererseits
sein soll, wo
in
liegt, so folgt
d. h.
.
Infolgedessen ist
das Quadrat einer Zahl in
; wir setzen
, wo
eine ganze algebraische zu
prime Zahl und
eine ganze rationale Zahl
bedeutet. Da der Körper
mit dem Körper
übereinstimmt
und da andererseits die Partialdiskriminante der Zahl
in bezug auf
zu
prim ist, so ist auch die Partialdiskriminante des Körpers
in bezug
auf
prim zu
, und hieraus folgt, wie vorhin, daß die Diskriminante
von
nicht durch
teilbar sein kann.
Ist im Falle
der Exponent
, so setzen wir
. Wäre dann
die in der Diskriminante von
aufgehende Primzahl
nach
und
nach
und ist
ein idealer Primfaktor von
in
, so bleibt
ungeändert
bei der Substitution
, wo
entweder
oder
ist; folglich wird
. Wegen
nach
gilt eine Gleichung von der
Gestalt
|
|
und aus dieser schließen wir, wie vorhin bei ungeradem
, auf einen Widerspruch mit der Annahme, wonach
in der Diskriminante von
aufgeht.
Satz 5. Wenn die Diskriminante eines zyklischen Körpers
von dem
ungeraden Primzahlgrade
gleich einer positiven Potenz von
ist, so stimmt
der Körper
mit dem Körper
überein. Wenn ferner ein zyklischer Körper
, dessen Grad
eine höhere als die erste Potenz der ungeraden Primzahl
ist, den Kreiskörper
als Unterkörper enthält, so stimmt der
Körper
mit dem Körper
überein.
Beweis. Wir benutzen die in Satz 2 erklärte Bezeichnungsweise und
setzen überdies
; es ist dann
ein Primideal in
und es wird
im Sinne der Idealtheorie
|
;
|
endlich gilt die Kongruenz
|
.
|
Wir betrachten nun die in Satz 2 konstruierte Zahl
![{\displaystyle \varkappa }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488d179b692afc46eaf68616eb9e9636ca0e8475)
. Da das Primideal
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb471ebe6dae3fe7adb05ed2f4044cbc931dd12)
in
![{\displaystyle k(\Theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d53f8d90861313752ee000bb7f92524571ec39)
vom ersten Grade ist, so folgt, wenn
![{\displaystyle \varrho =\varkappa ^{(t-1)(u-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec01a259b74abe026649c7ede0c28c6e58c2471)
gesetzt wird, für diese Zahl die Kongruenz
![{\displaystyle \varrho \equiv 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/706e699c2afde4362ded63f9b9a5bc6801aaa465)
nach
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb471ebe6dae3fe7adb05ed2f4044cbc931dd12)
. Wir setzen
![{\displaystyle \varrho \equiv 1+a\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/882090a50e73053051bc9790d015c38ab64a30c8)
nach
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1325474a14dc1fae1baec1f6d8a1d2a8f337004d)
, wo
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
eine ganze rationale Zahl bedeutet; dann ist
![{\displaystyle \sigma =\varrho \Theta ^{a}\equiv 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ca471a8ae5a3612085d1a649ccd8deb2bbae9a)
nach
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1325474a14dc1fae1baec1f6d8a1d2a8f337004d)
. Nunmehr führen wir den Nachweis dafür, daß im Körper
![{\displaystyle k(\Theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d53f8d90861313752ee000bb7f92524571ec39)
eine Zahl
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
gefunden werden kann, so daß die Kongruenz
![{\displaystyle \sigma \alpha ^{u}\equiv 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef2ebd9b3dffb18a9033f58609e224d98f9de43)
nach
![{\displaystyle (1-\vartheta )^{u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7070caf48db7788e6e0c2edc8f86430f6556f32a)
besteht. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es sei
![{\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)
der größte Exponent von der Beschaffenheit, daß bei geeigneter Wahl der in
![{\displaystyle k(\Theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d53f8d90861313752ee000bb7f92524571ec39)
liegenden Zahl
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
die Kongruenz
![{\displaystyle \sigma \alpha ^{u}\equiv 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ef2ebd9b3dffb18a9033f58609e224d98f9de43)
nach
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}^{e}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e306a0ea22355e75b5072782e8bf63f0ec553e63)
stattfindet und es sei unserer Behauptung entgegen
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}^{e}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e306a0ea22355e75b5072782e8bf63f0ec553e63)
nicht durch
![{\displaystyle (1-\vartheta )^{u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7070caf48db7788e6e0c2edc8f86430f6556f32a)
teilbar, d. h. es sei
![{\displaystyle e<u^{h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d110a5375156650e7984216896ee985c0e09a2b2)
; wir setzen demgemäß
![{\displaystyle \sigma \alpha ^{u}\equiv 1+\alpha \lambda ^{e}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69e2584b7c7012a079fb62605229ca83d986b945)
nach
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}^{e+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8193c84a53c8161b868ad205d4896514d087269)
, wo
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
eine nicht durch
![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
teilbare ganze rationale Zahl bedeutet, und unterscheiden 2 Fälle, je nachdem
![{\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)
durch
![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
teilbar ist oder nicht. Im ersten Falle gilt die Kongruenz
|
,
|
und mithin ist
|
, .
|
Diese Kongruenz widerstreitet der Annahme, wonach
der größte Exponent dieser Art sein sollte. Im zweiten Falle berücksichtigen wir, daß nach Satz 2
und folglich auch
die
-te Potenz einer Zahl in
ist; wir setzen etwa
, wo
eine Zahl des Körpers
ist. Dieser Umstand liefert die Kongruenz
nach
. Da
und nicht durch
teilbar ist, so würde hieraus
nach
folgen, was ebenfalls unmöglich ist, da
Primitivzahl nach
sein soll. Diese Betrachtung lehrt also
, womit unsere Behauptung bewiesen ist.
Wir setzen nun
, wo
eine ganze algebraische Zahl mit der Kongruenzeigenschaft
nach
ist und
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Nehmen wir dann an, der Körper
sei von dem Körper
verschieden, so wäre der aus
,
und
zusammengesetzte Körper
vom Grade
. Es ist andererseits
gleich einer ganzen Zahl des Körpers
und die Partialdiskriminante dieser Zahl in bezug auf
ist gleich
, wo
eine Einheit ist. Da
zu
prim ist, so ist mithin die Partialdiskriminante des Körpers
in bezug auf den Körper
ebenfalls prim zu
. Bezeichnen wir daher mit
einen idealen Primfaktor von
im Körper
, so besitzt
in diesem Körper einen Trägheitskörper
, welcher mindestens den Grad
hat. Die Diskriminante dieses Trägheitskörpers
ist prim zu u.
Nehmen wir zunächst
, so wäre der genannte Trägheitskörper
; dies ist nicht möglich, weil nach Voraussetzung die Diskriminante des Körpers
eine positive Potenz von
ist. Der Beweis für den ersten Teil unseres Satzes ist hierdurch erbracht. Nehmen wir
an, so müßte jener Trägheitskörper
des Ideals
entweder
sein oder den Körper
als Unterkörper enthalten. Beides ist nicht möglich, da die Diskriminante von
eine Potenz von
ist und dieser Widerspruch lehrt die Richtigkeit des zweiten Teiles unseres Satzes 5.
Satz 6. Wenn ein reeller zyklischer Körper
vom Grade
den Körper
als Unterkörper enthält, so stimmt
mit
überein.
Beweis. Der Körper
wird durch die Zahl
|
|
und der Körper
durch die Zahl
|
|
bestimmt. Es ist
, d. h.
. Im Sinne der Idealtheorie gilt ferner die Gleichung (2)
, wo
ein Primideal in
bedeutet.
Der Körper
ist jedenfalls durch die Zahl
und eine Zahl von der Form
bestimmt, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet. Wäre nun der Körper
von
verschieden und nehmen wir an, es sei
durch
, aber nicht durch
teilbar, so setze man
; die beiden Zahlen
und
definieren dann wiederum einen reellen zyklischen Körper
vom
-ten Grade und
bedeutet eine ganze, nicht durch
teilbare Zahl. Wir wollen zeigen, daß dieses unmöglich ist.
Zu dem Zwecke setzen wir
und
. Da die Zahl
mit
der Zahl
zusammen ebenfalls den Körper
definieren muß, so folgt
, wo
in
liegt, d. h. es ist
das Quadrat einer Zahl in
. Nunmehr führen wir den Nachweis dafür, daß im Körper
eine
Zahl
gefunden werden kann, welche der Kongruenz
nach
genügt. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es sei
der größte Exponent von der
Beschaffenheit, daß bei geeigneter Wahl der in
liegenden Zahl
die Kongruenz
nach
stattfindet und es sei im Gegensatz zu unserer Behauptung
; wir setzen demgemäß
nach
und unterscheiden dann 2 Fälle, je nachdem
gerade oder ungerade ausfällt. Im ersteren Falle berücksichtigen wir die Kongruenz
nach
; dieselbe
würde zeigen, daß
nicht der höchste Exponent von der verlangten Art wäre.
Im zweiten Falle setzen wir
nach
, wo
den Wert
oder
hat. Ist
, so berücksichtigen wir, daß für
die Kongruenz
nach
gilt. setzen wir daher
, so wird
nach
,wo
den Wert
oder
hat. Wegen
nach
folgt:
|
,
|
d. h. für
, bezüglich für
:
|
,
|
|
, .
|
Die rechte Seite der ersteren Kongruenz kann nicht
nach
sein; soll die rechte Seite der zweiten Kongruenz
nach
sein, so muß
werden, da
, wie leicht ersichtlich, der kleinste unter allen ungeraden
Exponenten
ist derart, daß
nach
werden kann. Wegen
ist unsere obige Behauptung bewiesen.
Wir setzen
nach
, wo
den Wert
oder
hat. Es
genügt folglich, wenn
gesetzt wird, die Zahl
, gegebenenfalls nach
Multiplikation mit dem Quadrat einer geeigneten Zahl aus
, der Kongruenz
nach
. Die Zahlen
und
definieren stets einen zyklischen Körper
vom Grade
. Denn im Falle
stimmt
mit
überein
und im Falle
enthält der Körper
, da er imaginär ist, sicher noch andere Zahlen, als in
vorhanden sind. Da
eine ganze Zahl ist, deren Partialdiskriminante in bezug auf
zu
prim ausfällt, so ist die
Partialdiskriminante des Körpers
in bezug auf
prim zu
. Es ist daher die Zahl
im Körper
nicht gleich der
-ten Potenz eines Primideals. Bezeichnet
ein in
enthaltenes Primideal des Körpers
, so muß der Trägheitskörper von
in
den zweiten Grad besitzen; dieser Trägheitskörper
müßte daher gleich
sein, was nicht möglich ist, da die Diskriminante von
eine Potenz von
ist. Damit ist unsere ursprüngliche Annahme widerlegt,
d. h. es ist bewiesen, daß die beiden Körper
und
miteinander identisch
sind.
Wir beweisen nunmehr den Kroneckerschen Fundamentalsatz in folgender
Art. Zunächst ist leicht aus der Theorie der Abelschen Gruppen ersichtlich,
daß ein jeder Abelsche Körper sich aus zyklischen Körpern
zusammensetzen läßt, deren Grade die Potenzen
einer Primzahl
sind; es ist daher
nur nötig, zu zeigen, daß ein jeder solcher zyklische Körper
ein Kreiskörper ist. Infolge des Satzes 3 wird dieser Nachweis auf den Fall zurückgeführt, in welchem die Diskriminante des vorgelegten zyklischen Körpers
keine Primzahlen
mit der Kongruenzeigenschaft
nach
enthält.
Ist
ein zyklischer Körper dieser Art, so besitzt die Diskriminante des in
enthaltenen Unterkörpers
vom
-ten Grade ebenfalls keine Primteiler
mit der Kongruenzeigenschaft
nach
. Wenden wir nun den Satz 4 an
und berücksichtigen, daß nach einem von Minkowski[3] bewiesenen Satze jede
Diskriminante Primzahlen als Faktoren enthalten muß, so folgt, daß die Diskriminante des Körpers
notwendig eine positive Potenz von
ist.
Wir unterscheiden beim weiteren Beweise 2 Fälle, je nachdem
eine
ungerade Primzahl oder
ist. Im ersteren Falle ist nach Satz 5 der Körper
. Bezeichnen wir ferner die in
enthaltenen Unterkörper
-ten,
-ten, …,
-ten Grades bezüglich mit
,
, …,
, so schließen wir
aus eben demselben Satze 5 der Reihe nach
,
, …,
und
folglich ist
ein Kreiskörper. Im zweiten Falle bilden wir zunächst den aus
dem imaginären quadratischen Körper
und aus
zusammengesetzten
Körper
; derselbe ist vom
-ten oder
-ten Grade, je nachdem
imaginär oder reell ausfällt. Der größte reelle Unterkörper dieses Körpers
ist vom
-ten Grade, wo
oder gleich
ist; derselbe ist
notwendig ein zyklischer Körper. Der in
enthaltene quadratische Unterkörper
ist ebenfalls reell und stimmt, da seine Diskriminante eine Potenz
von
ist, mit
überein. Bezeichnen wir nun die in
enthaltenen
Unterkörper
-ten,
-ten, … Grades bezüglich mit
,
, …, so folgt
nach Satz 6 der Reihe nach
,
, …,
und folglich
ist
ebenfalls ein Kreiskörper. Damit ist der Fundamentalsatz vollständig
bewiesen und zugleich ist ersichtlich, in welcher Weise man alle Abelschen
Körper von gegebener Gruppe und Diskriminante aufstellen kann.
Göttingen, den 25. Januar 1896.