David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 5

4. Grundzüge einer Theorie des Galoisschen Zahlkörpers. David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert
5. Über den Dirichletschen biquadratischen Zahlkörper.
6. Ein neuer Beweis des Kroneckerschen Fundamentalsatzes über Abelsche Zahlkörper.
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5. Über den Dirichletschen biquadratischen Zahlkörper.
[Mathem. Annalen Bd. 45, S. 309–340 (1894).]
Einleitung.

Nachdem durch Gauss die ganzen imaginären Zahlen in die Arithmetik eingeführt waren, untersuchte Dirichlet in einer Reihe von Abhandlungen[1] denjenigen biquadratischen Zahlkörper, welcher die imaginäre Einheit und mithin alle jene Gaußschen imaginären Zahlen enthält. Dieser biquadratische Körper werde der Dirichletsche Zahlkörper genannt. Dirichlet hat auf denselben seine allgemeine analytische Methode zur Bestimmung der Anzahl der Idealklassen angewandt und insbesondere den Fall in Betracht gezogen, in welchem der biquadratische Zahlkörper außer dem durch bestimmten quadratischen Körper noch zwei andere quadratische Körper enthält. Es ergibt sich dann das Resultat, daß die Anzahl der Idealklassen dieses speziellen Dirichletschen Zahlkörpers im wesentlichen gleich dem Produkt der Anzahl der Idealklassen in den beiden letzteren quadratischen Körpern ist. Diesen mit analytischen Hilfsmitteln gewonnenen rein arithmetischen Satz bezeichnet Dirichlet als einen der schönsten in der Theorie der imaginären Zahlen, vornehmlich weil durch denselben ein Zusammenhang zwischen den Anzahlen der Idealklassen derjenigen beiden quadratischen Körper aufgedeckt wird, die durch Quadratwurzeln aus entgegengesetzten reellen Zahlen bestimmt sind.

Die vorliegende Abhandlung hat das Ziel, die Theorie des Dirichletschen biquadratischen Körpers auf rein arithmetischem Wege bis zu demjenigen Standpunkt zu fördern, auf welchem sich die Theorie der quadratischen Körper bereits seit Gauss befindet. Es ist hierzu vor allem die Einführung des Geschlechtsbegriffs sowie eine Untersuchung derjenigen Einteilung aller Idealklassen notwendig, welche sich auf den Geschlechtsbegriff gründet. Nachdem in den ersten acht Paragraphen der Arbeit diese Aufgabe für den allgemeinen Dirichletschen Zahlkörper gelöst wird, behandeln die beiden letzten Paragraphen den vorhin charakterisierten speziellen Dirichletschen Zahlkörper. Es zeigt sich bei der Untersuchung, daß in diesem Körper die Idealklassen gewisser leicht zu kennzeichnender Geschlechter aus den Idealklassen der in ihm enthaltenen quadratischen Körper zusammensetzbar sind. Diese auf rein arithmetischem Wege gefundene Tatsache enthält zugleich den vorhin genannten Dirichletschen Satz über die Anzahl der Idealklassen des speziellen Dirichletschen Körpers.

§ 1. Die ganzen Zahlen des Dirichletschen Zahlkörpers.

Der durch die imaginäre Einheit bestimmte quadratische Zahlkörper werde genannt; die ganzen Zahlen dieses Körpers, d. h. die Zahlen von der Form , wo und ganze rationale Zahlen sind, mögen ganze imaginäre Zahlen heißen. Bedeutet eine ganze imaginäre Zahl, welche durch kein Quadrat einer ganzen imaginären Zahl teilbar und von verschieden ist, so bildet die Gesamtheit aller durch und rational ausdrückbaren Zahlen einen Dirichletschen biquadratischen Zahlkörper. Derselbe werde mit bezeichnet; ist der allgemeinste biquadratische Körper, welcher die imaginäre Einheit enthält.

Eine jede Zahl des Körpers läßt sich in die Gestalt

bringen, wo , , ganze imaginäre Zahlen sind. Die Veränderung von in werde durch das Operationssymbol bezeichnet.

Soll nun eine ganze Zahl in sein, so sind notwendig die Zahlen

und

ganze imaginäre Zahlen. Bezeichnet eine in aufgehende von verschiedene Primzahl in , so folgt leicht, daß sowohl als durch teilbar sein müssen, und es kann mithin in Zähler und Nenner von fortgehoben werden. Wäre ferner durch teilbar, so folgt in gleicher Weise, daß und durch teilbar sind, so daß der Faktor in Zähler und Nenner von hebbar ist. Es bleiben mithin nur die beiden Fälle und zu untersuchen übrig. Also folgt, daß in diesen beiden Fällen die Zahl durch bezüglich durch teilbar sein muß. Wäre durch teilbar, so würde mithin das gleiche für folgen und dann wäre wiederum im Zähler und Nenner von hebbar. Nehmen wir andrerseits nicht teilbar durch an, so folgt, daß nach bezüglich nach ist, d. h. muß im Zahlengebiete des Körpers quadratischer Rest von bezüglich von sein. Nun ist quadratischer Rest von , sobald nach wird, dagegen quadratischer Rest von und zugleich quadratischer Nichtrest von , falls nach wird. In allen anderen Fällen, nämlich für nach und nach ist quadratischer Nichtrest von . Berücksichtigen wir, daß der nämliche biquadratische Körper erhalten wird, wenn wir unter dem Wurzelzeichen statt die Zahl setzen, da ja diese Änderung einer Multiplikation der Wurzel mit gleichkommt, so können wir offenbar die Zahl stets so annehmen, daß beidemal das obere Vorzeichen zutrifft, d. h. bezüglich nach wird. Es ergibt sich dann leicht das folgende Resultat:

Die Basis der ganzen Zahlen des Dirichletschen Körpers besteht aus den Zahlen , , , , wo folgende Bedeutung hat:

Wir berechnen ferner den Ausdruck ; derselbe werde die Partialdiskriminante des Körpers genannt:

Die gewöhnliche Diskriminante des biquadratischen Körpers ergibt sich gleich , wo den absoluten Betrag der Partialdiskriminante bedeutet.

§ 2. Die Primideale des Dirichletschen Körpers.

Zunächst behandeln wir die von verschiedenen und nicht in aufgehenden Primzahlen des Körpers ; es sind unter diesen zwei Arten zu unterscheiden, nämlich erstens die Primzahlen , in bezug auf welche im Zahlengebiete des Körpers quadratischer Rest ist und zweitens diejenigen Primzahlen , in bezug auf welche quadratischer Nichtrest ist.

Die Primzahlen der ersten Art gestatten eine Zerlegung in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers . Bedeutet nämlich eine Zahl in , welche der Kongruenz nach dem Modul genügt und wendet man eine früher von mir angegebene Bezeichnungsweise[2] an, der zu Folge (, , …) dasjenige Ideal darstellt, welches als der größte gemeinsame Teiler der Zahlen , , … definiert ist, so wird

Wir erhalten somit die gewünschte Zerlegung

wo ein Primideal bedeutet und das konjugierte Primideal wegen notwendig von verschieden ist.

Die Primzahlen der zweiten Art sind auch im Körper Primzahlen. Denn wäre die Zahl zerlegbar, so wähle man in eine ganze Zahl , welche nicht durch , wohl aber durch ein in aufgehendes Primideal teilbar ist. Da dann notwendig prim zu sein muß, dagegen durch teilbar wird, so würde nach folgen, was der Voraussetzung zuwider läuft.

Um ferner die von verschiedenen in aufgehenden Primzahlen des Körpers in ihre idealen Faktoren zu zerlegen, bezeichnen wir dieselben mit , …, und setzen demgemäß bezüglich je nachdem durch nicht teilbar oder teilbar ist. Es folgt leicht, daß

, …,

Primideale im Körper sind und daß

, …,

wird.

Was endlich die Zerlegung der Zahl betrifft, so untersuchen wir zunächst den Fall nach und finden, daß unzerlegbar ist, falls nach ausfällt. Ist dagegen nach ‚ so wird

,

wo die beiden Klammern rechter Hand Primideale des Körpers darstellen, welche wegen notwendig voneinander verschieden sind. In allen anderen Fällen ist das Quadrat des Ideals , wie eine leichte Rechnung zeigt. Wir erkennen somit, daß dann und nur dann das Quadrat eines Primideals wird, wenn in der Partialdiskriminante des Körpers aufgeht. Die Zerlegung der Zahl ist in folgender Tabelle dargestellt:

Die gewonnenen Resultate der Zerlegung der Zahlen in lassen sich übersichtlich zusammenfassen, wenn wir uns eines auch von Dirichlet benutzten Symbols bedienen. Ist nämlich eine beliebige Zahl und eine Primzahl in , so verstehen wir unter die Werte , oder , je nachdem im Zahlengebiete des Körpers quadratischer Rest oder quadratischer Nichtrest von oder durch teilbar ist; doch bedeute insbesondere die Werte , , je nachdem quadratischer Rest oder Nichtrest von oder durch teilbar ist. Es gilt dann der Satz:

Die Primzahl des Körpers ist im Körper in zwei verschiedene Primideale zerlegbar oder unzerlegbar oder gleich dem Quadrat eines Primideale, je nachdem oder ist.

§ 3. Die Einteilung der Idealklassen in Geschlechter.

Wenn eine beliebige ganze oder gebrochene Zahl des Körpers ist, so wird die Partialnorm von genannt. Diese Partialnorm ist offenbar eine Zahl im Körper . Bedeutet nun eine von verschiedene in aufgehende Primzahl des Körpers und ist die Partialnorm eine durch nicht teilbare ganze Zahl oder eine gebrochene Zahl, deren Zähler und Nenner durch nicht teilbar sind, so wird im Gebiet der ganzen imaginären Zahlen ein quadratischer Rest in bezug auf .

Um dies zu erkennen, setzen wir ‚ wo ganze imaginäre Zahlen sind. Dann ist . Enthielte nun den Primfaktor , so müßte wegen der über gemachten Voraussetzung auch durch teilbar sein und folglich enthielten sowohl wie den Faktor ; derselbe ist mithin in Zähler und Nenner des Bruches hebbar. Hätte andererseits den Faktor , so müssen wegen der über gemachten Voraussetzung notwendig auch und durch teilbar sein, und dann ist wiederum der Faktor in Zähler und Nenner des Bruches hebbar. Wir können daher annehmen, daß keine der beiden Zahlen und den Faktor enthält. Dann aber folgt nach , womit die Behauptung bewiesen worden ist.

Wir führen jetzt das neue Symbol ein, wo eine beliebige Zahl in und zunächst eine von verschiedene in aufgehende Primzahl bedeutet. Für den Fall, daß eine durch nicht teilbare ganze Zahl oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner durch nicht teilbar sind, wird das Symbol durch die Gleichung

definiert. Ist ferner die Partialnorm einer beliebigen Zahl in , so möge

sein. Der zu Anfang dieses Paragraphen bewiesene Satz zeigt, daß diese letztere Festsetzung mit der erst getroffenen Definition vereinbar ist.

Ferner benutzen wir die Tatsache, daß eine jede Zahl in gleich dem Produkt zweier Zahlen und gesetzt werden kann, wo eine ganze nicht durch teilbare Zahl in oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner nicht durch teilbar sind, und wo die Partialnorm einer Zahl in ist. Um diese Tatsache zu beweisen, ist es offenbar nur nötig, jene Zerlegung für die Primzahl auszuführen. Zu dem Zweck wählen wir in eine durch , aber nicht durch teilbare Zahl , setzen und berücksichtigen dann, daß in die Gestalt eines Bruches gebracht werden kann, dessen Zähler gleich ist und dessen Nenner eine nicht durch teilbare Zahl ist. Es folgt somit die gewünschte Zerlegung .

Ist die beliebige Zahl auf die beschriebene Weise zerlegt, so definieren wir das allgemeine Symbol durch die Gleichung

und erkennen ohne Schwierigkeit, daß dieses Symbol dadurch eindeutig bestimmt ist und die Eigenschaft

besitzt, wo , beliebige Zahlen des Körpers sind.

In den Fällen, in welchen in aufgeht, bedarf es einer genaueren Untersuchung über das Verhalten der Partialnormen und ihrer Reste nach den Potenzen von . Um eine übersichtliche Darstellung der in Betracht kommenden Restsysteme zu erhalten, setzen wir

,

und zeigen dann durch eine leichte Rechnung, daß, wenn , , die Werte oder annehmen, in der Form sämtliche 8 zu primen Reste nach und in der Form sämtliche 16 zu primen Reste nach enthalten sind. Wir bezeichnen der Kürze halber die beiden genannten Ausdrücke mit () bezüglich ().

Da im Falle nach die Partialdiskriminante nicht durch teilbar ist, so untersuchen wir lediglich die 7 Fälle , , nach und , , , nach . Die Rechnung zeigt, daß nur diejenigen zu primen Reste von unter den Partialnormen der Zahlen des Körpers vertreten sind, welche in der folgenden Tabelle unter der Rubrik verzeichnet stehen und deren Exponenten , , den in der letzten Rubrik angegebenen Bedingungen genügen:

Um die Angaben dieser Tabelle übersichtlich zusammenzufassen, setzen wir bezüglich und ; es bestätigt sich dann leicht, daß die Zahl dann und nur dann nach einer Partialnorm kongruent ist, sobald die Zahl bezüglich gerade ist. Bemerkt sei noch, daß die Zahl , wenn sie dieser Bedingung genügt, zugleich auch nach jeder höheren Potenz von der Partialnorm einer Zahl in kongruent sein muß.

Wir definieren nun das Symbol zunächst für den Fall, daß eine durch nicht teilbare Zahl oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner durch nicht teilbar sind. In diesem Falle nehmen wir an und setzen

bezüglich ,

je nachdem nach oder nach wird. Ist ferner die Partialnorm einer beliebigen Zahl des Körpers , so setzen wir

.

Um endlich für ein beliebiges das Symbol zu definieren, benutzen wir die Zerlegung , wo eine nicht durch teilbare Zahl oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner durch nicht teilbar sind, und wo eine Partialnorm ist und setzen

.
Wir erkennen wiederum leicht, daß dem soeben definierten Symbol die Eigenschaft

zukommt, wo , beliebige Zahlen des Körpers sind.

Im folgenden werden die sämtlichen in der Partialdiskriminante aufgehenden Primzahlen mit , …, bezeichnet. Unser Symbol ordnet dann einer jeden beliebigen Zahl des Körpers die Vorzeichen

, …,

zu, welche das Charakterensystem der Zahl im Dirichletschen Körper heißen mögen. Um ferner vermittels unseres Symbols einem jeden Ideal in ein bestimmtes Vorzeichensystem zuzuordnen, bilden wir . Dieses Produkt ist gleich einer Zahl in ; dieselbe werde die Partialnorm des Ideals genannt. Da diese Partialnorm nur bis auf hinzutretende Einheitsfaktoren bestimmt ist, so bedarf es für unseren Zweck der Unterscheidung zweier Fälle, je nachdem das Charakterensystem des Einheitsfaktors

, …,

aus lauter positiven Vorzeichen besteht oder ein negatives Vorzeichen enthält. Im ersteren Falle sind offenbar die Vorzeichen

, …,

für das Ideal sämtlich eindeutig bestimmt. Das System dieser Vorzeichen werde das Charakterensystem des Ideals genannt. Im zweiten Falle nehmen wir an, es sei etwa ; wählen wir dann den Wert der Partialnorm derart, daß wird, so sind die Vorzeichen

, …,

sämtlich durch eindeutig bestimmt und heißen das Charakterensystem des Ideals .

Die Ideale derselben Klasse besitzen notwendig das gleiche Charakterensystem.

Ist nämlich mit äquivalent, so gibt es in eine ganze oder gebrochene Zahl derart, daß ist. Hieraus folgt und daher wird .

Auf die dargelegte Weise ist einer jeden Idealklasse ein bestimmtes Charakterensystem zugeordnet. Wir rechnen nun alle diejenigen Idealklassen, welche das gleiche Charakterensystem besitzen, in ein Geschlecht und definieren insbesondere das Hauptgeschlecht als die Gesamtheit aller derjenigen Klassen, deren Charakterensystem aus lauter positiven Vorzeichen besteht. Da das Charakterensystem der Hauptklasse offenbar von der letzteren Eigenschaft ist, so gehört die Hauptklasse stets zum Hauptgeschlecht.

§ 4. Die Erzeugung der Idealklassen des Hauptgeschlechtes.

Aus derjenigen Eigenschaft des Symbols, welche sich durch die Formel

ausdrückt, entnehmen wir leicht die Tatsache, daß das Produkt der Idealklassen zweier Geschlechter die Idealklassen eines Geschlechtes liefert, dessen Charakterensystem durch Multiplikation der entsprechenden Charaktere beider Geschlechter erhalten wird. Im besonderen folgt hieraus, daß das Charakterensystem des Quadrats der Idealklasse eines beliebigen Geschlechtes stets aus lauter positiven Einheiten besteht und mithin das Quadrat einer Idealklasse stets dem Hauptgeschlecht angehört. Es ist von Bedeutung, daß die folgende Umkehrung dieses Satzes gilt:

Eine jede Idealklasse des Hauptgeschlechtes ist gleich dem Quadrat einer Idealklasse.

Um die Richtigkeit dieses Satzes zu erkennen, beweisen wir der Reihe nach folgende Sätze.

Satz 1. Wenn in dem durch bestimmten Dirichletschen Körper die Partialnorm eines Ideals ist und das Charakterensystem von in diesem Körper aus lauter positiven Einheiten besteht, so ist auch in dem durch bestimmten Dirichletschen Körper Partialnorm eines Ideals und besitzt in ein aus lauter positiven Einheiten bestehendes Charakterensystem.

Wir dürfen offenbar annehmen, daß keine quadratischen Faktoren des Körpers enthält. Da eine Partialnorm sein soll, so muß ein jeder in der Partialdiskriminante des Körpers nicht vorkommender Primteiler der Zahl in zwei Primideale des Körpers zerfallen; es ist somit nach den Entwicklungen von § 2 notwendigerweise quadratischer Rest von , d. h. wenn von verschieden ist:

.

Wir betrachten ferner die von verschiedenen in aufgehenden Primteiler der Zahl . Es gilt im Körper die Zerlegung und zugleich ist eine durch , aber nicht durch teilbare Zahl des Körpers . Daher ist, wenn , gesetzt wird:

.
In gleicher Weise folgt
,

und da das Symbol nach Voraussetzung den Wert hat, so ist auch

.

Was endlich den Primkaktor betrifft, so unterscheiden wir bei der folgenden Untersuchung zunächst 4 Hauptfälle:

I. Weder noch sind durch teilbar.
II. ist durch teilbar, aber nicht .
III. ist nicht durch teilbar, wohl aber .
IV. Sowohl als auch sind durch teilbar.

Im Hauptfalle I setzen wir und nach und unterscheiden dann 2 Unterfälle:

1. , sind beide gerade. Unter dieser Bedingung kommt nicht in der Partialdiskriminante des Dirichletschen Körpers vor, und es gibt daher im Körper kein auf den Faktor bezügliches Symbol.

2. , sind nicht beide gleichzeitig gerade. Unter dieser Bedingung kommt in vor und es ist

.

Sind , beide gerade, so wird der Wert der rechten Seite . Sind , nicht beide zugleich gerade, so gibt es im Körper ein auf bezügliches Symbol, und zwar ist

Da dieses Symbol wegen der Voraussetzung den Wert hat, so ist auch

.

Im Hauptfalle II setzen wir und nach und unterscheiden dann folgende 2 Unterfälle.

1. , sind gerade. Unter dieser Bedingung kommt nicht in der Partialdiskriminante des Körpers vor. Da nun die Partialnorm eines Ideals in sein soll, so ist notwendigerweise in 2 Primideale des Körpers zerlegbar. Die Bedingung hierfür besteht nach § 2 darin, daß nach ist, und mithin wird

.
2. , sind nicht beide gleichzeitig gerade. Es ist dann Faktor der Partialdiskriminante . Setzen wir , so wird
;

nun ist

,

und eine leichte Rechnung zeigt, daß

wird. Mithin ergibt sich

.

Andrerseits ist aber

,

und wenn daher jenes erstere Symbol den Wert hat, so ist auch

.

Im Hauptfall III setzen wir und nach und unterscheiden dann wiederum 2 Unterfälle.

1. , sind beide gerade. Unter dieser Bedingung ist in der Partialdiskriminante des Körpers nicht enthalten. Wegen der Voraussetzung wird

.

Mithin ist gerade, d. h. nach ; hieraus folgt nach § 2, daß im Körper in zwei Primideale zerlegbar ist.

2. , sind nicht beide gleichzeitig gerade. Es ist dann als Faktor in enthalten, und es wird

.

Wie vorhin im Unterfalle 2. des Hauptfalles II erhalten wir den nämlichen Wert für das Symbol , und da das erstere den Wert hat, so ist auch

.
Im Hauptfalle IV setzen wir und nach . Es wird dann

Denselben Wert erhalten wir auch für , und da das erstere Symbol den Wert hat, so ist auch

.

Die eben vollendete Entwicklung zeigt, daß das Charakterensystem der Zahl in dem Körper aus lauter positiven Einheiten besteht.

Andrerseits ist in notwendig die Partialnorm eines Ideals; denn wenn ein von verschiedener in nicht auigehender Primfaktor von ist, so ist, da alle Charaktere von in bezug auf den Körper gleich sein sollen, notwendigerweise

,

und daher zerfällt nach § 2 in zwei Primideale des Körpers . Ist ferner in , aber nicht in der Partialdiskriminante des Körpers als Faktor enthalten, so muß nach sein, und es ist dann im Unterfalle 1 des Hauptfalles III bewiesen worden, daß im Körper zerlegbar ist. Da mithin sämtliche Primfaktoren von im Körper zerlegbar sind, so ist die Partialnorm eines Ideals in und hiermit ist der Satz 1 vollständig bewiesen.

Satz 2. Wenn die Partialnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl in dem durch bestimmten Dirichletschen Zahlkörper ist, so ist auch die Partialnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl in dem durch bestimmten Dirichletschen Zahlkörper .

Setzen wir nämlich

,

wo und Zahlen des Körpers sind, so wird

,

d. h. gleich der Partialnorm der in gelegenen Zahl .

Satz 3. Wenn Partialnorm eines Ideals in ist, und das Charakterensystem von in aus lauter positiven Einheiten besteht, so ist zugleich die Partialnorm einer gewissen ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers .

Wenden wir den von H. Minkowski aufgestellten Satz[3] über die Diskriminante allgemeiner Zahlkörper auf den biquadratischen Dirichletschen Körper an, so erkennen wir, daß es in jeder Idealklasse des Dirichletschen Körpers ein Ideal gibt, dessen Norm absolut genommen kleiner als ausfällt, wo die Diskriminante des Körpers bedeutet. Da aber und ist und da ferner die Norm absolut genommen gleich dem Quadrat des absoluten Betrages der Partialnorm wird, so ergibt sich der Satz, daß in jeder Idealklasse des Körpers ein Ideal gefunden werden kann, für welches ausfällt.

Wir beweisen nun zunächst durch Rechnung, daß der Satz 3 in allen Dirichletschen Körpern gilt, für welche ist. Benutzen wir die soeben aus dem Minkowskischen Satz abgeleitete Ungleichung, so wird dieser Nachweis durch folgende Tabelle geführt, in welcher unter der Rubrik die sämtlichen absolut genommen unter liegenden Werte von und unter der Rubrik die den Bedingungen des Satzes 3 und der Ungleichung genügenden sich angegeben finden, während daneben in der letzten Rubrik die Zahl des Körpers hinzugefügt ist, deren Partialnorm gleich wird.

Es sei jetzt eine ganze imaginäre Zahl, deren absoluter Betrag ausfällt, und wir nehmen an, der Satz 3 sei bereits bewiesen für alle diejenigen Körper , für welche wird. Ist dann die Partialnorm eines Ideals , deren Charakterensystem in aus lauter positiven Einheiten besteht, so bestimme man in ein zu äquivalentes Ideal , dessen Partialnorm absolut genommen und ins Quadrat erhoben ausfällt. Da ist, so wird . Da andrerseits die Partialnorm eines Ideals in ist, deren Charakterensystem aus lauter positiven Einbeiten besteht, so ist nach Satz 1 die ganze imaginäre Zahl in dem durch bestimmten Körper die Partialnorm eines Ideals, deren Charakterensystem aus lauter positiven Einheiten besteht. Nun gilt wegen Satz 3 im Körper , und es ist daher die Partialnorm einer gewissen ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers , und hieraus ergibt sich nach Satz 2, daß auch die Partialnorm einer gewissen Zahl in ist. Da das Ideal äquivalent ist, so ist der Quotient beider Ideale eine Zahl des Körpers , mithin ist der Quotient der Zahlen und und folglich auch selbst gleich der Partialnorm einer gewissen Zahl des Körpers . Der Satz 3 gilt folglich für den Körper , und wir erkennen daraus seine allgemeine Gültigkeit[4].

Aus Satz 3 folgt endlich in sehr einfacher Weise der zu Anfang dieses Paragraphen ausgesprochene Satz über die Idealklassen des Hauptgeschlechts. Wenn nämlich ein Ideal des Hauptgeschlechts ist, so erfüllt seine Partialnorm – bezüglichenfalls, wenn sie nach der auf S. 31 angegebenen Vorschrift mit dem Einheitsfaktor versehen ist – alle Bedingungen des Satzes 3. Es gibt daher auf Grund desselben im Körper eine Zahl derart, daß wird. Setzen wir , wo und zueinander prime Ideale sind, so ist notwendigerweise und mithin . Da gleich einer Zahl des Körpers gesetzt werden kann, so ergibt sich , d. h. ist notwendigerweise dem Quadrat des Ideals äquivalent.

§ 5. Die ambigen Ideale.

Ein Ideal des Dirichletschen Körpers , welches nach Anwendung der Operation ungeändert bleibt und keine Zahl des Körpers als Faktor enthält, werde ein ambiges Ideal genannt. Um alle ambigen Ideale aufzustellen, bezeichnen wir, wie in § 3, die sämtlichen in der Partialdiskriminante des Körpers aufgehenden Primzahlen mit , …, und setzen , …, ; es sind dann wegen die Ideale , …, ambige Ideale und desgleichen sind die sämtlichen Produkte ambig, welche aus diesen Idealen , …, gebildet werden können. Wir beweisen leicht den Satz, daß es im Körper keine weiteren ambigen Ideale gibt. Ware nämlich , wo , , …, Primideale sind, ein ambiges Ideal, so müßten wegen die Primideale , , …, in einer gewissen Reihenfolge genommen, mit , , …, übereinstimmen. Wenn etwa sich ergeben würde, so enthielte den Faktor , welcher gleich einer ganzen imaginären Zahl ist, und da dieser Umstand der Voraussetzung widerspricht, so folgt und ebenso , …, , d. h. die Ideale , , …, sind sämtlich ambige Primideale, und da das Quadrat eines solchen Ideals einer ganzen imaginären Zahl gleich wird, so schließen wir zugleich, daß die Ideale , , …, notwendig untereinander verschieden sind. Wir sprechen das gewonnene Resultat in folgendem Satze aus:

Satz 1. Die in der Partialdiskriminante aufgehenden Primideale , …, und nur diese sind ambige Primideale. Die aus diesen zu bildenden Produkte machen die Gesamtheit aller ambigen Ideale des Körpers aus.

§ 6. Die ambigen Klassen.

Wenn ein Ideal der Klasse ist, so werde diejenige Idealklasse, welcher das Ideal angehört, mit bezeichnet. Ist insbesondere , so heißt die Idealklasse ambig. Da das Produkt äquivalent ist, so wird und folglich ist das Quadrat einer jeden ambigen Klasse gleich der Hauptklasse 1. Umgekehrt, wenn das Quadrat einer Klasse gleich ist, so wird und folglich ist eine ambige Klasse.

Es entsteht nun die Aufgabe, alle ambigen Klassen aufzustellen. Da offenbar ein jedes ambige Ideal vermöge seiner Eigenschaft einer ambigen Klasse angehört, so haben wir vor allem zu untersuchen, wie viele voneinander verschiedene ambige Klassen aus den ambigen Idealen entspringen.

Das Produkt aller in aufgehenden Ideale ist gleich und mithin ein Hauptideal. Wir bestimmen nun im Körper eine Grundeinheit , d. h. eine Einheit von der Beschaffenheit, daß jede andere Einheit des Körpers gleich wird, wo eine Einheitswurzel und eine positive oder negative ganze Zahl bedeutet. Da die irreduzible Gleichung, welcher genügt, notwendig vom 2-ten oder 4-ten Grade sein muß, so kann nur eine 2-te, 3-te, 4-te, 5-te oder 8-te Einheitswurzel oder eine aus diesen zusammengesetzte Einheitswurzel sein. Die 3-te Einheitswurzel kommt im Körper nur vor, wenn ist. Es kann ferner leicht gezeigt werden, daß die 5-te Einheitswurzel im Körper niemals vorkommt. Die 8-te Einheitswurzel endlich kommt im Körper vor, falls ist. Die beiden Fälle und werden unten für sich besonders erledigt und bei der nachfolgenden allgemeinen Untersuchung ausgeschlossen, so daß nunmehr lediglich oder sein kann.

Die Grundeinheit ist bis auf einen Faktor völlig bestimmt. Die Entscheidung darüber, ob im Körper außer und noch ein anderes ambiges Hauptideal vorhanden ist, hängt lediglich davon ab, ob oder ausfällt.

Um dies zu erkennen, nehmen wir zunächst an. Da es freisteht, an Stelle von als Grundeinheit zu wählen, so können wir annehmen, daß wird. Wir setzen[5] , wo eine ganze imaginäre Zahl und eine ganze Zahl des Körpers bedeutet, welche durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar ist. Aus der Gleichung ergibt sich, daß ein ambiges Hauptideal ist. Dieses Hauptideal ist ferner verschieden von und von . Wäre nämlich oder , so wäre

und diese Einheit kann nicht gleich sein, da eine ganze Zahl bedeutet und keine Einheitswurzel ist. Ferner ist ersichtlich, daß ein jedes andere ambige Hauptideal des Körpers aus und zusammengesetzt werden kann. Ist nämlich ein beliebiges ambiges Hauptideal, so ist notwendig . Aus der Gleichung folgt ; wir setzen , wo den Wert oder hat; dann genügt die Zahl der Gleichung und ist folglich eine Zahl des Körpers , woraus die Behauptung ersichtlich wird.

Ist andrerseits die Partialnorm , so kann es kein von und verschiedenes ambiges Hauptideal geben. Denn wäre ein solches, so ist notwendigerweise . Da aber ist, so folgt notwendigerweise und daher muß eine gerade Zahl sein. Wegen würde dann die Zahl der Gleichung genügen und da ist, so folgt . Berücksichtigen wir, daß durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar sein darf, so hat die Annahme notwendig und die Annahme notwendig zur Folge, womit die Behauptung bewiesen ist.

Wir drücken nun eines der ambigen Primideale durch die übrigen ambigen Primideale und durch und ferner, wenn die Partialnorm der Grundeinheit ausfällt, noch eines dieser ambigen Ideale durch die übrigen und durch aus. Bezeichnen wir dann allgemein eine Anzahl von Idealklassen als untereinander unabhängig, wenn keine derselben gleich oder gleich einem Produkt der übrigen ist, so gilt offenbar der Satz:

Satz 2. Die ambigen Primideale bestimmen oder voneinander unabhängige ambige Klassen, je nachdem die Partialnorm der Grundeinheit oder ist. Die sämtlichen ambigen Ideale bestimmen im ersteren Falle , im letzteren voneinander verschiedene ambige Idealklassen.

Was die beiden oben ausgeschlossenen Fälle und betrifft, so gilt im ersteren Falle ebenfalls der eben ausgesprochene allgemeine Satz, da das einzige ambige Ideal ein Hauptideal ist und die Partialnorm der Grundeinheit gleich ausfällt. Im zweiten Falle dagegen verliert das im Satze angegebene Kriterium seine Anwendbarkeit, da die Partialnorm der Einheitswurzel gleich wird. Man erkennt, daß auch im Falle das einzige vorhandene aus der Zerlegung von entspringende ambige Ideal ein Hauptideal ist.

Es werde hier noch der allgemeinere Fall hervorgehoben, in welchem gleich einer Primzahl und überdies nach ist. In diesem Falle wird ebenfalls und die obige Entwicklung zeigt, daß notwendigerweise die Partialnorm der Grundeinheit sein muß.

Es bleibt noch übrig, die Frage zu beantworten, ob im Körper ambige Klassen vorhanden sind, welche kein ambiges Ideal enthalten. Zu dem Zwecke wählen wir in der ambigen Klasse ein beliebiges Ideal aus; es ist dann gleich einer Zahl des Körpers . Da es freisteht an Stelle von zu wählen, so können wir die Annahmen oder zugrunde legen.

Im ersteren Falle betrachten wir die Zahl . Wegen wird d. h. . Setzen wir daher , wo und ganze imaginäre Zahlen sind und das Ideal durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar ist, so folgt, daß ein ambiges Ideal ist: die Klasse enthält mithin ein ambiges Ideal.

Ziehen wir zweitens die Annahme in Betracht, so erkennen wir zunächst, daß in diesem Falle das Charakterensystem von aus lauter positiven Einheiten bestehen muß. Für die vorliegende Frage kommt es nun darauf an, ob die Partialnorm der Grundeinheit oder ausfällt. Ist letzteres der Fall, so setzen wir einfach an Stelle von und zeigen dann durch die eben angewandte Schlußweise, daß in der Idealklasse ein ambiges Ideal vorkommt. Ist dagegen , so enthält die Klasse kein ambiges Ideal. Wäre nämlich ein solches, wo eine Zahl in bedeutet, so würde folgen. Andrerseits müßte aber gleich einer Einheit, etwa gleich sein und da ist, so würde hieraus folgen, was der Annahme widerspricht.

Wir treffen nun die Voraussetzung, daß im Körper das Charakterensystem von aus lauter positiven Einheiten besteht; nach Satz 3 in § 4 gibt es dann eine Zahl , deren Partialnorm gleich ist, und wenn wir noch annehmen, so muß die Zahl notwendig gebrochen sein. Setzen wir , wo und zueinander prime Ideale sind, so wird und hieraus folgt d. h. ist äquivalent mit und bestimmt folglich eine ambige Klasse ; diese Klasse enthält nach dem vorhin Bewiesenen kein ambiges Ideal. Wir fassen die gewonnenen Resultate in folgendem Satze zusammen.

Satz 3. Es gibt im Körper dann und nur dann eine ambige Klasse, welche kein ambiges Ideal enthält, wenn das Charakterensystem von aus lauter positiven Einheiten besteht und wenn zugleich die Partialnorm der Grundeinheit gleich ist.

Die nämlichen Hilfsmittel führen zugleich zur Darstellung sämtlicher ambigen Klassen der genannten Eigenschaft. Nehmen wir nämlich an es gäbe 2 ambige Idealklassen, die kein ambiges Ideal enthalten und wählen aus diesen je ein Ideal und aus, so zeigt die obige Entwicklung, daß die Partialnormen der beiden Zahlen und gleich sein müssen und es wird folglich . Nehmen wir, was frei steht, in dieser Gleichung das obere Vorzeichen an, so folgt, daß der Gleichung genügt. Dieselbe ergibt ; setzen wir daher , wo und ganze imaginäre Zahlen und das Ideal durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar ist, so erweist sich als ein ambiges Ideal und der Quotient der beiden Ideale und ist mithin einem ambigen Ideale äquivalent. Wir gewinnen aus diesen Überlegungen den Satz:

Satz 4. Wenn im Körper eine ambige Idealklasse vorhanden ist, welche kein ambiges Ideal enthält, so entstehen alle übrigen Klassen der nämlichen Beschaffenheit dadurch, daß man jene Klasse der Reihe nach mit allen aus ambigen Idealen entspringenden Klassen multipliziert.

Die bisherigen Resultate ermöglichen die Berechnung der Anzahl aller ambigen Klassen. Betrachten wir zunächst den Fall, daß das Charakterensystem von aus lauter positiven Einheiten besteht, so erkennen wir aus den soeben bewiesenen Sätzen 2, 3 und 4, daß es in diesem Falle genau ambige Klassen gibt, wo die Anzahl der Primteiler der Partialdiskriminante bedeutet. Von diesen ambigen Klassen entspringen sämtliche oder nur die Hälfte aus ambigen Idealen, je nachdem die Partialnorm der Grundeinheit gleich oder gleich ausfällt. Kommt jedoch im Charakterensystem von eine negative Einheit vor, so ist die Norm der Grundeinheit notwendig gleich ; nach den Sätzen 2 und 3 dieses Paragraphen gibt es dann nur ambige Klassen und diese entspringen sämtlich aus ambigen Idealen. Setzen wir nun oder , je nachdem das Charakterensystem von aus lauter positiven Einheiten besteht oder nicht, so bedeutet nach den Darlegungen des § 3 die Anzahl der Einzelcharaktere, welche das Geschlecht einer Idealklasse bestimmen und wir erhalten den Satz:

Satz 5. Es gibt genau voneinander unabhängige ambige Klassen, wo die Anzahl der Einzelcharaktere bedeutet, welche das Geschlecht einer Klasse bestimmen. Die Anzahl der sämtlichen voneinander verschiedenen ambigen Idealklassen ist demgemäß .

Dieser allgemeine Satz gilt auch, wie man leicht erkennt, für den besonderen durch bestimmten Dirichletschen Körper, welcher oben von der Betrachtung ausgeschlossen wurde.

§ 7. Die Anzahl der existierenden Geschlechter.

Die in § 4, 5 und 6 gewonnenen Resultate setzen uns in den Stand, die Anzahl der in einem Dirichletschen Zahlkörper vorhandenen Geschlechter zu berechnen. Da das Charakterensystem einer Idealklasse des Körpers aus Einzelcharakteren besteht, deren jeder den Wert oder annehmen kann, so sind im ganzen Charakterensysteme möglich und es entsteht die wichtige Frage, ob für jedes dieser möglichen Charakterensysteme ein Geschlecht existiert oder ob nur ein Teil dieser Charakterensysteme unter den Geschlechtern wirklich vertreten ist. Um über diese Frage Auskunft zu erhalten, bezeichnen wir die Anzahl der voneinander verschiedenen existierenden Geschlechter mit und die Anzahl der Klassen des Hauptgeschlechtes mit . Da offenbar auch jedes andere Geschlecht Klassen enthalten muß, so ist die Anzahl sämtlicher Klassen des Körpers .

Bezeichnen wir nun die Klassen des Hauptgeschlechts mit , …, , so können wir nach dem in § 4 bewiesenen Satze , …, setzen, wo , …, gewisse Klassen des Körpers bedeuten. Es sei jetzt eine beliebige Klasse des Körpers ; da dann offenbar zum Hauptgeschlecht gehört, so ist , wo eine der eben bestimmten Klassen , …, bedeutet. Es ist folglich eine ambige ldealklasse , d. h. es wird . Da nach Satz 5 in § 6 die Anzahl der ambigen Klassen beträgt, so stellt der Ausdruck genau ldealklassen dar. Diese sind auch sämtlich voneinander verschieden. Denn wäre , wo eine ambige Klasse und eine der vorhin bestimmten Klassen , …, bedeutet, so würde d. h. und folglich sein. Aus folgt auch zugleich , womit die Behauptung bewiesen ist.

Die Gleichsetzung der so gefundenen Anzahl sämtlicher Klassen mit der vorhin angegebenen Zahl ergibt . Wir haben somit die am Anfang dieses Paragraphen gestellte Frage beantwortet und es gilt der Satz:

Die Anzahl der existierenden Geschlechter ist gleich der Hälfte der möglichen Charakterensysteme, nämlich , wo die Anzahl der das Geschlecht bestimmenden Charaktere bezeichnet.

§ 8. Das Reziprozitätsgesetz.

Nachdem im vorigen Paragraph gezeigt worden ist, daß nur die Hälfte aller möglichen Charakterensysteme wirklich unter den Geschlechtern vertreten ist, entsteht die Frage nach der Bedingung, welche ein Charakterensystem erfüllen muß, damit für dasselbe ein Geschlecht existiert. Diese Frage wird durch das schon von Dirichlet aufgestellte Reziprozitätsgesetz der quadratischen Reste und Nichtreste im Gebiete der ganzen imaginären Zahlen beantwortet.

Um zunächst den quadratischen Restcharakter der Zahl zu bestimmen, nehmen wir an, es sei eine von verschiedene Primzahl im Körper und überdies nach . Da zufolge der in § 6 gemachten Bemerkung in dem durch bestimmten Körper die Partialnorm der Grundeinheit ist, so muß nach dem zu Anfang des § 3 bewiesenen Satze quadratischer Rest von sein. Ist eine Primzahl und nach , so ist und folglich wird auch in diesem Falle .

Wir betrachten ferner den durch bestimmten Dirichletschen Körper . In diesem ist offenbar der einzige Primfaktor der Partialdiskriminante. Das Symbol wird und es gibt im Körper nur den einen Charakter . Die Zahl der möglichen Charakterensysteme in ist folglich und da nur die Hälfte derselben durch Geschlechter vertreten ist, so gibt es nur ein Geschlecht und es ist folglich stets , wo die Partialnorm eines beliebigen Ideals bedeutet. Es sei nun eine Primzahl und zwar nach ; ist dann quadratischer Rest von , so ist nach § 2 die Partialnorm eines Primideals und hieraus ergibt sich d. h. . Dieses Resultat ist die Umkehrung des vorigen; beide Resultate zusammen ergeben den Satz:

Wenn eine Primzahl und nach ist, so bestimmt sich der quadratische Restcharakter der Zahl in bezug auf durch die Formel

.
Um den quadratischen Restcharakter von zu berechnen, betrachte ich zunächst den durch bestimmten Körper , wo eine Primzahl und nach ist. Da in diesem Körper nur ein Geschlecht vorhanden sein darf und, wie oben gezeigt, der Charakter ist, so folgt, daß die Norm eines jeden Ideals ebenfalls den Charakter haben muß. Da nach § 2 die Zahl in zwei ldeale des Körpers zerlegbar ist und folglich die Partialnorm eines Ideals ist, so folgt . Ist , so wird nach sein und mithin haben wir auch in diesem Falle .

Es sei jetzt eine Primzahl und nach . Nehmen wir nun an, so ist in dem durch bestimmten Körper zerlegbar und da in diesem Körper nur ein Geschlecht existiert und den Charakter besitzt, so ergibt sich auch , d. h. . Beide Resultate zusammengenommen bestimmen den quadratischen Restcharakter von in bezug auf für , und zwar gilt unter dieser Voraussetzung die Formel

.

Es sei endlich eine Primzahl und nach . In dem durch bestimmten Körper sind, wie man leicht ausrechnet, die Charaktere der Zahl beide und es existiert folglich nur ein Geschlecht. Wenn daher die Partialnorm eines Ideals ist, so müssen die beiden Charaktere der Zahl , nämlich die Symbole und entweder beide positiv oder beide negativ sein. Hieraus ergibt sich, falls wir nehmen, die Formel:

.

Die beiden soeben gewonnenen Formeln lassen sich in eine zusammenfassen und wir erhalten somit den Satz:

Wenn eine Primzahl und nach ist, so bestimmt sich der quadratische Restcharakter der Zahl in bezug auf durch die Formel:

.

Um endlich das Reziprozitätsgesetz für 2 beliebige von verschiedene Primzahlen abzuleiten, berücksichtigen wir den Umstand, daß von den beiden ganzen imaginären Zahlen und stets die eine nach ist. Wir nehmen bei der nachfolgenden Untersuchung die beiden Primzahlen und in dieser Gestalt an, so daß stets , zu setzen ist.

Es sei zunächst eine Primzahl nach . Ist dann eine Primzahl von der Art, daß wird, so kann in dem durch bestimmten Körper zerlegt werden und ist folglich die Partialnorm eines Ideals. Durch die oben angewandte Schlußweise folgt dann, daß sein muß. Wir haben somit die beiden folgenden Tatsachen erkannt:

Aus , nach und folgt , (1)
, . (2)

Es sei ferner nach , so gibt es in dem durch bestimmten Körper zwei Charaktere, aber nur ein Geschlecht, weil das Charakterensystem der Zahl , wie man leicht durch Rechnung findet, aus 2 negativen Einheiten besteht. Ist daher eine Primzahl von der Art, daß wird, so müssen auch die Charaktere und entweder beide positiv oder beide negativ sein; hieraus folgt und wir haben somit die beiden folgenden Tatsachen erkannt:

Aus , nach und folgt , (3)
, . (4)

Diese 4 Sätze zeigen, daß unter der Voraussetzung , allgemein ist.

Es sei nämlich zunächst , . Nach (1) folgt aus notwendig . Ist aber , so muß auch sein, da ja ebenfalls nach (1) bei Vertauschung von mit aus notwendig aus folgen würde.

Es sei ferner , . Nach (2) folgt aus notwendig . Ist aber , so muß auch sein, da ja nach (3) aus auch folgen würde.

Endlich sei , . Nach (4) folgt aus notwendig . Ist aber , so muß auch sein, da ja ebenfalls nach (4) aus notwendig auch folgen wurde. Um die eben gefundene Formel für 2 beliebige Primzahlen , anzuwenden, für welche und nicht notwendig sind, müssen wir in jener Formel an Stelle , bezüglich , einsetzen und erhalten dann den folgenden Satz:

Wenn und von verschiedene Primzahlen und bezüglich bezüglich nach sind, so gilt das Reziprozitätsgesetz

.

Wir definieren nun das allgemeine Symbol , wo und zwei beliebige zueinander und zu prime Zahlen sind, durch die Gleichung

;

hierin ist das Produkt über alle Primfaktoren und der beiden Zahlen bezüglich zu erstrecken, wie sie in der Produktdarstellung von bezüglich vorkommen. Es folgt dann unmittelbar der Satz:

Wenn und beliebige zueinander und zu prime ganze Zahlen sind und [WS 1], nach gesetzt wird, so ist

.

Diese Formel setzt uns in den Stand die Bedingung anzugeben, welche in einem beliebigen Dirichletschen Körper zwischen den Chakakteren bestehen muß, damit dieselben das Charakterensystem eines existierenden Geschlechtes bilden.

Wir nehmen zunächst an, daß nicht durch teilbar sei und setzen dann in obiger Formel und , wo eine zu und zu prime Partialnorm eines Ideals im Körper bedeutet. Da dann nach § 2 die Zahl von allen in zu ungerader Potenz vorkommenden Primzahlen quadratischer Rest sein muß, so ist und folglich wird

.

Ist nun nach , so wird die Partialdiskriminante und wenn wir daher sämtliche in derselben aufgehenden Primzahlen mit , …, bezeichnen, so wird

.

Ist dagegen nicht nach , so kommt in der Partialdiskriminante des Körpers als Faktor vor. Wir bezeichnen dann die in aufgehenden Primzahlen mit , …, und setzen . Wegen erhalten wir wiederum:

.

Endlich sei durch teilbar; wir setzen und erteilen die obige Bedeutung. Da wiederum von allen in zu ungerader Potenz vorkommenden Primzahlen quadratischer Rest sein muß, so kann bei der Berechnung der Faktoren des Symbols die Zahl durch ersetzt werden; die oben gefundene Formel für den quadratischen Restcharakter von ergibt dann . Setzen wir ferner in der allgemeinen Reziprozitätsgleichung , und benutzen dann den soeben gefundenen Wert des Symbols , so erhalten wir . Andererseits hat das Symbol den gleichen Wert und hieraus ergibt sich wiederum, wenn wir die sämtlichen in enthaltenen Primzahlen mit , …, bezeichnen, die Gleichung

.

Es gilt daher in allen Fällen der Satz:

Ein vorgelegtes Charakterensystem ist dann und nur dann durch ein Geschlecht vertreten, wenn das Produkt aller Charaktere desselben ist.

§ 9. Der spezielle Dirichletsche Körper.

Wenn der durch bestimmte Dirichletsche Körper außer dem Körper noch einen anderen quadratischen Körper enthalten soll, so muß, wie man leicht erkennt, gleich einer reellen oder gleich einer rein imaginären Zahl sein. In diesem Falle bezeichnen wir den durch bestimmten Dirichletschen biquadratischen Körper als einen speziellen Dirichletschen Körper und setzen bezüglich , so daß stets eine reelle positive Zahl bedeutet, welche durch kein Quadrat einer reellen Zahl teilbar ist. Der spezielle Dirichletsche Körper ist ein Galoisscher Körper. Eine beliebige Zahl desselben kann in die Gestalt:

gebracht werden, wo , , , rationale Zahlen sind und wir erhalten die 3 zu konjugierten Zahlen durch Anwendung der 3 Substitutionen:

Diesen 3 Substitutionen entsprechen 3 in enthaltene quadratische Zahlkörper: alle Zahlen nämlich, welche bei Anwendung von ungeändert bleiben, bilden den durch bestimmten quadratischen Körper und alle bei Anwendung der Substitution bezüglich ungeändert bleibenden Zahlen des Körpers bilden je einen quadratischen Körper, nämlich den durch bezüglich durch bestimmten quadratischen Zahlkörper; der erstere möge mit , der zweite mit bezeichnet werden.

Wir fügen hier noch eine Entwicklung an, welche im folgenden Paragraph gebraucht werden wird.

Wenn ein Ideal des Körpers als größter gemeinsamer Teiler von solchen Zahlen dargestellt werden kann, welche lediglich Zahlen der Unterkörper bezüglich sind, so sagen wir, das Ideal „liege“ im Körper bezüglich . Ist irgendein Ideal in , so liegt stets das Produkt im Körper . Wählen wir nämlich irgendeine durch teilbare Zahl und bestimmen dann eine ebenfalls durch teilbare Zahl derart, daß prim zu ist, so wird notwendig auch und daher auch prim zu und hieraus folgt , womit die Behauptung bewiesen ist. Ebenso wird gezeigt, daß stets in dem Körper liegt.

§ 10. Die Anzahl der ldealklassen des speziellen Dirichletschen Körpers .

In diesem letzten Paragraph soll kurz der Weg gezeigt werden, welcher zu einem rein arithmetischen Beweise des in der Einleitung erwähnten Dirichletschen Satzes über die Anzahl der ldealklassen in führt.

Zu dem Zweck stellen wir zunächst folgende Überlegungen an. Sind , irgend zwei Idealklassen der beiden quadratischen Körper bezüglich und wählt man aus diesen beiden Klassen je ein Ideal , , so gehört jedes dieser beiden Ideale, als Ideal des biquadratischen Körpers aufgefaßt, einer Idealklasse in an; die beiden somit durch , bestimmten Idealklassen des biquadratischen Körpers mögen mit bezüglich und ihr Produkt mit bezeichnet werden. Es gilt dann zunächst der Satz:

Jede Klasse des Hauptgeschlechtes im biquadratischen Körper ist gleich einem Produkte , wo , Klassen der quadratischen Körper bezüglich sind.

Zum Beweise dieses Satzes benutzen wir die Tatsache, daß jedes Ideal des Hauptgeschlechtes dem Quadrate eines Ideals im biquadratischen Körper äquivalent ist. Es gilt andrerseits die Identität

.
Da das Produkt bei Anwendung der Substitution ungeändert bleibt, so ist dasselbe gleich einer Zahl in und folglich ein Hauptideal. Da und bezüglich in den Körpern und liegen, so erkennen wir, daß und mithin auch äquivalent dem Produkt eines in und eines in liegenden Ideals ist.

Es seien nun , …, die in aufgehenden der Kongruenz nach genügenden und , …, die in aufgehenden der Kongruenz nach genügenden Primzahlen. Die ersteren Primzahlen lassen sich als Produkt zweier ganzer imaginärer Zahlen darstellen, und zwar sei , …, .

Wir bezeichnen jetzt im biquadratischen Körper diejenigen Geschlechter als die Geschlechter der Hauptart, für welche die Charaktere der Norm den Bedingungen:

, …,

und

, …,

genügen. Unmittelbar aus dieser Definition folgt die Tatsache, daß genau der -te Teil bezüglich der -te Teil sämtlicher Geschlechter des Körpers von der Hauptart ist, je nachdem ungerade oder gerade ist. Es gilt ferner der Satz:

Jedes Produkt gehört im biquadratischen Körper einem Geschlechte der Hauptart an, und umgekehrt jede Klasse des biquadratischen Körpers , welche einem Geschlechte der Hauptart angehört, ist gleich einem Produkt .

Um den ersten Teil dieses Satzes zu beweisen, berücksichtigen wir, daß die Partialnorm eines jeden in oder liegenden Ideals eine ganze rationale Zahl wird und benutzen dann die beiden folgenden Tatsachen:

l. Ist eine rationale in zerlegbare Primzahl, so ist jede rationale Zahl im Gebiet der ganzen imaginären Zahlen gleichzeitig quadratischer Rest oder Nichtrest in bezug auf die konjugiert imaginären Faktoren und .

2. Ist eine rationale in unzerlegbare Primzahl, so ist jede rationale Zahl im Gebiet der ganzen imaginären Zahlen quadratischer Rest in bezug auf .

Um die Richtigkeit der Umkehrung zu erkennen, bemerken wir, daß jedenfalls entweder die Diskriminante des quadratischen Körpers oder die des quadratischen Körpers den Faktor enthalten muß. Aus der bekannten Theorie der quadratischen Körper folgt daher, daß notwendig in einem jener beiden quadratischen Körper ein Geschlecht existieren muß, dessen Charaktere in bezug auf die Primzahlen , …, der Reihe nach mit den Werten der Symbole , …, übereinstimmen. Ist eine Klasse dieses Geschlechtes im quadratischen Körper oder , so gehört, wie man leicht erkennt, die Klasse im biquadratischen Körper dem Hauptgeschlechte an und wird daher nach dem früher bewiesenen Satze gleich ; hieraus folgt .

Das nächste Ziel ist die Berechnung der Anzahl derjenigen Paare von Klassen , der quadratischen Körper bezüglich , für welche wird. Wir bedürfen dazu folgender Begriffe und Sätze aus der Theorie der quadratischen Körper:

Ein Ideal des quadratischen Körpers, welches gleich seinem konjugierten und überdies durch keine ganze rationale Zahl teilbar ist, werde ein ambiges Ideal genannt. Die ambigen Ideale setzen sich aus ambigen Primidealen zusammen und diese bestimmen sich durch die Eigenschaft, daß ihre Quadrate den in der Diskriminante des Körpers enthaltenen rationalen Primzahlen gleich sind.

Eine Klasse des quadratischen Körpers, deren Quadrat die Hauptklasse ist, heißt eine ambige Klasse. Ist der quadratische Körper imaginär, so enthält jede ambige Klasse desselben ein ambiges Ideal und die Anzahl der ambigen Klassen ist , wo die Anzahl der in der Diskriminante aufgehenden rationalen Primzahlen ist.

Es seien , zwei Klassen der quadratischen Körper bezüglich von der Art, daß wird. Wir wählen dann aus diesen Klassen und je ein Ideal bezüglich aus und setzen , wo eine Zahl des biquadratischen Körpers bedeutet. Durch Anwendung der Substitution ergibt sich leicht d. h. , wo eine Zahl im quadratischen Körper ist. Es folgt mithin, daß einer ambigen Klasse in angehört und da ein imaginärer quadratischer Körper ist, so ist dem eben angeführten Satze zufolge einem ambigen Ideale in äquivalent. Nun liegen, wie man leicht erkennt, sämtliche ambigen Primideale des Körpers zugleich auch in dem quadratischen Körper ; ausgenommen ist lediglich der Fall nach , in welchem das durch Zerlegung der Zahl entstehende ambige Primideal im Körper , aber nicht im Körper liegt. Da und folglich ein Hauptideal des biquadratischen Körpers ist, so wird, wenn die durch bezeichnete Klasse in bezeichnet, offenbar . Es sei nun nicht durch teilbar und dasjenige ambige Ideal in , welches, als Ideal in betrachtet, dem Ideal gleich ist, und sei die durch bestimmte ambige Klasse in : es ist dann offenbar . Somit gilt der Satz:

Zu jeder ambigen Klasse in und nur zu diesen läßt sich eine Klasse in finden derart, daß wird.

Es bleibt jetzt noch übrig, die Frage zu entscheiden, wann zu einer Klasse des Körpers mehr als eine Klasse existiert, für welche wird. Es ist hierzu offenbar notwendig, daß im Körper eine von verschiedene Klasse existiert, für welche ist.

Um hierüber zu entscheiden, nehmen wir an, es sei ein Ideal in , welches im biquadratischen Körper ein Hauptideal ist. Setzen wir , wo eine Zahl in ist, so wird offenbar eine Einheit des Körpers , deren absoluter Betrag und welche daher eine Einheitswurzel ist. Setzen wir nun , , , oder , je nachdem den Wert , , oder hat, so ergibt sich d. h. ist eine reelle Zahl. Folglich ist entweder gleich einer reellen Zahl d. h. ein Hauptideal in oder wird gleich einer reellen Zahl, multipliziert mit einem Ideal , welches als Ideal in aufgefaßt, gleich ist. Da somit sein muß, so tritt dieser letztere Fall nur unter der Bedingung nach oder nach ein. Umgekehrt bestimmt das durch die Gleichung definierte Ideal stets in eine Klasse , für welche wird. Der Fall, in welchem noch andere Einheitswurzeln enthält, ist leicht für sich erledigt. Es folgt aus unseren Entwicklungen das Resultat:

Die Anzahl der Paare von Klassen , in den Körpern , bezüglich , für welche wird, ist im Falle eines ungeraden gleich der Zahl oder und im Falle eines geraden gleich der Zahl oder gleich , je nachdem die Zahl , abgesehen von einem Einheitsfaktor, das Quadrat einer Zahl des reellen quadratischen Körpers ist oder nicht.

Bezeichnen wir nun die Anzahl der Idealklassen , in den beiden Körpern , bezüglich mit , , so erhalten wir Kombinationen von der Gestalt und wenn wir diese Anzahl durch die soeben gefundene Anzahl der die Bedingung erfüllenden Klassenpaare dividieren, so ergibt sich die Anzahl der sämtlichen voneinander verschiedenen Klassen des biquadratischen Körpers, welche von der Hauptart sind. Da aber, wie oben angegeben worden ist, genau der -te Teil bezüglich der -te Teil sämtlicher Geschlechter des Körpers der Hauptart angehört, je nachdem ungerade oder gerade ist, so gewinnen wir den Satz:

Die Anzahl der Idealklassen des speziellen Dirichletschen Zahlkörpers ist gleich dem Produkt der Anzahlen der ldealklassen in den beiden quadratischen Körpern und oder gleich der Hälfte dieses Produktes, je nachdem in dem reellen quadratischen Körper die Zahl , abgesehen von einem Einheitsfaktor, das Quadrat einer Zahl ist oder nicht.

Bezeichnet die Zahl in , deren Quadrat abgesehen von einem Einheitsfaktor, die Zahl ergibt, so ist eine Einheit des biquadratischen Körpers , deren Partialnorm wird. Es gilt auch umgekehrt der Satz, daß die Zahl , abgesehen von einem Einheitsfaktor, gleich dem Quadrat einer Zahl in sein muß, sobald in eine Einheit existiert, deren Partialnorm ist. Benutzen wir diese Tatsachen, so können wir den gefundenen Satz auch in folgender Weise aussprechen:

Die Anzahl der Idealklassen in ist gleich dem Produkt der Klassenzahlen in und oder gleich der Hälfte dieses Produktes, je nachdem die Partialnorm der Grundeinheit des Körpers gleich oder wird.

Wir erkennen die inhaltliche Übereinstimmung dieses Satzes mit dem von Dirichlet[6] bewiesenen Satze, wenn wir berücksichtigen, daß der von Dirichlet ausgesprochene Satz die Anzahlen von Formenklassen mit gegebener Determinante betrifft, während es sich in unserem Satze um Anzahlen von Idealklassen der Körper handelt.

     Königsberg, den 14. April 1894.


  1. Untersuchungen über die Theorie der komplexen Zahlen; Recherches sur les formes quadratiques à coefficients et à indéterminées complexes. Werke 1, 505, 511, 533.
  2. Math. Ann. 44, 1. (Dieser Band, Abh. 3, S. 6.)
  3. Vgl. Comptes rendus 1891. Für obigen Zweck reicht schon die von H. Minkowski, J. Math. 107, 296 (1891), aufgestellte Ungleichung aus.
  4. Der eben bewiesene Satz 3 liefert zugleich alle Mittel zur Aufstellung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, das die ternäre diophantische Gleichung

    mit beliebigen ganzen imaginären Koeffizienten , , in ganzen imaginären Zahlen , , lösbar ist.

  5. Die linke Seite dieses Ansatzes ist ein besonderer Fall des von Kummer im J. Math. 50, 212 (1855) behandelten Ausdruckes.
  6. Werke 1, 618.

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Vorlage:


4. Grundzüge einer Theorie des Galoisschen Zahlkörpers. Nach oben 6. Ein neuer Beweis des Kroneckerschen Fundamentalsatzes über Abelsche Zahlkörper.
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