5. Über den Dirichletschen biquadratischen Zahlkörper.
[Mathem. Annalen Bd. 45, S. 309–340 (1894).]
Einleitung.
Nachdem durch Gauss die ganzen imaginären Zahlen in die Arithmetik eingeführt waren, untersuchte Dirichlet in einer Reihe von Abhandlungen[1] denjenigen biquadratischen Zahlkörper, welcher die imaginäre Einheit
und mithin alle jene Gaußschen imaginären Zahlen enthält. Dieser biquadratische Körper werde der Dirichletsche Zahlkörper genannt. Dirichlet hat auf denselben seine allgemeine analytische Methode zur Bestimmung der Anzahl der Idealklassen angewandt und insbesondere den Fall in Betracht gezogen, in welchem der biquadratische Zahlkörper außer dem durch
bestimmten quadratischen Körper noch zwei andere quadratische Körper enthält. Es ergibt sich dann das Resultat, daß die Anzahl der Idealklassen dieses speziellen Dirichletschen Zahlkörpers im wesentlichen gleich dem Produkt der Anzahl der Idealklassen in den beiden letzteren quadratischen Körpern ist. Diesen mit analytischen Hilfsmitteln gewonnenen rein arithmetischen Satz bezeichnet Dirichlet als einen der schönsten in der Theorie der imaginären Zahlen, vornehmlich weil durch denselben ein Zusammenhang zwischen den Anzahlen der Idealklassen derjenigen beiden quadratischen Körper aufgedeckt wird, die durch Quadratwurzeln aus entgegengesetzten reellen Zahlen bestimmt sind.
Die vorliegende Abhandlung hat das Ziel, die Theorie des Dirichletschen biquadratischen Körpers auf rein arithmetischem Wege bis zu demjenigen Standpunkt zu fördern, auf welchem sich die Theorie der quadratischen Körper bereits seit Gauss befindet. Es ist hierzu vor allem die Einführung des Geschlechtsbegriffs sowie eine Untersuchung derjenigen Einteilung aller Idealklassen notwendig, welche sich auf den Geschlechtsbegriff gründet. Nachdem in den ersten acht Paragraphen der Arbeit diese Aufgabe für den allgemeinen Dirichletschen Zahlkörper gelöst wird, behandeln die beiden letzten Paragraphen den vorhin charakterisierten speziellen Dirichletschen Zahlkörper. Es zeigt sich bei der Untersuchung, daß in diesem Körper die Idealklassen gewisser leicht zu kennzeichnender Geschlechter aus den Idealklassen der in ihm enthaltenen quadratischen Körper zusammensetzbar sind. Diese auf rein arithmetischem Wege gefundene Tatsache enthält zugleich den vorhin genannten Dirichletschen Satz über die Anzahl der Idealklassen des speziellen Dirichletschen Körpers.
§ 1. Die ganzen Zahlen des Dirichletschen Zahlkörpers.
Der durch die imaginäre Einheit
bestimmte quadratische Zahlkörper werde
genannt; die ganzen Zahlen dieses Körpers, d. h. die Zahlen von der Form
, wo
und
ganze rationale Zahlen sind, mögen ganze imaginäre Zahlen heißen. Bedeutet
eine ganze imaginäre Zahl, welche durch kein Quadrat einer ganzen imaginären Zahl teilbar und von
verschieden ist, so bildet die Gesamtheit aller durch
und
rational ausdrückbaren Zahlen einen Dirichletschen biquadratischen Zahlkörper. Derselbe werde mit
bezeichnet;
ist der allgemeinste biquadratische Körper, welcher die imaginäre Einheit
enthält.
Eine jede Zahl des Körpers
läßt sich in die Gestalt
|
|
bringen, wo
,
,
ganze imaginäre Zahlen sind. Die Veränderung von
in
werde durch das Operationssymbol
bezeichnet.
Soll nun
eine ganze Zahl in
sein, so sind notwendig die Zahlen
|
und
|
ganze imaginäre Zahlen. Bezeichnet
eine in
aufgehende von
verschiedene Primzahl in
, so folgt leicht, daß sowohl
als
durch
teilbar sein müssen, und es kann mithin
in Zähler und Nenner von
fortgehoben werden. Wäre ferner
durch
teilbar, so folgt in gleicher Weise, daß
und
durch
teilbar sind, so daß der Faktor
in Zähler und Nenner von
hebbar ist. Es bleiben mithin nur die beiden Fälle
und
zu untersuchen übrig. Also folgt, daß in diesen beiden Fällen die Zahl
durch
bezüglich durch
teilbar sein muß. Wäre
durch
teilbar, so würde mithin das gleiche für
folgen und dann wäre wiederum
im Zähler und Nenner von
hebbar. Nehmen wir andrerseits
nicht teilbar durch
an, so folgt, daß
nach
bezüglich nach
ist, d. h.
muß im Zahlengebiete des Körpers
quadratischer Rest von
bezüglich von
sein. Nun ist
quadratischer Rest von
, sobald
nach
wird, dagegen quadratischer Rest von
und zugleich quadratischer Nichtrest von
, falls
nach
wird. In allen anderen Fällen, nämlich für
nach
und
nach
ist
quadratischer Nichtrest von
. Berücksichtigen wir, daß der nämliche biquadratische Körper
erhalten wird, wenn wir unter dem Wurzelzeichen statt
die Zahl
setzen, da ja diese Änderung einer Multiplikation der Wurzel mit
gleichkommt, so können wir offenbar die Zahl
stets so annehmen, daß beidemal das obere Vorzeichen zutrifft, d. h.
bezüglich
nach
wird. Es ergibt sich dann leicht das folgende Resultat:
Die Basis der ganzen Zahlen des Dirichletschen Körpers
besteht aus den Zahlen
,
,
,
, wo
folgende Bedeutung hat:
|
|
Wir berechnen ferner den Ausdruck
; derselbe werde die Partialdiskriminante des Körpers
genannt:
|
|
Die gewöhnliche Diskriminante
des biquadratischen Körpers
ergibt sich gleich
, wo
den absoluten Betrag der Partialdiskriminante
bedeutet.
§ 2. Die Primideale des Dirichletschen Körpers.
Zunächst behandeln wir die von
verschiedenen und nicht in
aufgehenden Primzahlen des Körpers
; es sind unter diesen zwei Arten zu unterscheiden, nämlich erstens die Primzahlen
, in bezug auf welche
im Zahlengebiete des Körpers
quadratischer Rest ist und zweitens diejenigen Primzahlen
, in bezug auf welche
quadratischer Nichtrest ist.
Die Primzahlen
der ersten Art gestatten eine Zerlegung in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers
. Bedeutet nämlich
eine Zahl in
, welche der Kongruenz
nach dem Modul
genügt und wendet man eine früher von mir angegebene Bezeichnungsweise[2] an, der zu Folge (
,
, …) dasjenige Ideal darstellt, welches als der größte gemeinsame Teiler der Zahlen
,
, … definiert ist, so wird
|
|
Wir erhalten somit die gewünschte Zerlegung
|
|
wo
ein Primideal bedeutet und das konjugierte Primideal
wegen
notwendig von
verschieden ist.
Die Primzahlen
der zweiten Art sind auch im Körper
Primzahlen. Denn wäre die Zahl
zerlegbar, so wähle man in
eine ganze Zahl
, welche nicht durch
, wohl aber durch ein in
aufgehendes Primideal teilbar
ist. Da dann
notwendig prim zu
sein muß, dagegen
durch
teilbar wird, so würde
nach
folgen, was der Voraussetzung zuwider läuft.
Um ferner die von
verschiedenen in
aufgehenden Primzahlen des Körpers
in ihre idealen Faktoren zu zerlegen, bezeichnen wir dieselben mit
, …,
und setzen demgemäß
bezüglich
je nachdem
durch
nicht teilbar oder teilbar ist. Es folgt leicht, daß
|
, …,
|
Primideale im Körper
sind und daß
|
, …,
|
wird.
Was endlich die Zerlegung der Zahl
betrifft, so untersuchen wir zunächst den Fall
nach
und finden, daß
unzerlegbar ist, falls
nach
ausfällt. Ist dagegen
nach
‚ so wird
|
,
|
wo die beiden Klammern rechter Hand Primideale des Körpers
darstellen, welche wegen
notwendig voneinander verschieden sind. In allen anderen Fällen ist
das Quadrat des Ideals
, wie eine leichte Rechnung zeigt. Wir erkennen somit, daß
dann und nur dann das Quadrat eines Primideals wird, wenn
in der Partialdiskriminante
des Körpers
aufgeht. Die Zerlegung der Zahl
ist in folgender Tabelle dargestellt:
|
|
Die gewonnenen Resultate der Zerlegung der Zahlen in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
lassen sich übersichtlich zusammenfassen, wenn wir uns eines auch von
Dirichlet benutzten Symbols bedienen. Ist nämlich
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
eine beliebige Zahl und
![{\displaystyle \tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c)
eine Primzahl in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
, so verstehen wir unter
![{\displaystyle \textstyle \left[{\tfrac {\alpha }{\tau }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b6a3e85d97c04b5f63e76ab85e07173f2697238)
die Werte
![{\displaystyle +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04cf05c67d41d9f39dabf6a90722ce860a76958)
,
![{\displaystyle -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac)
oder
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
, je nachdem
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
im Zahlengebiete des Körpers
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
quadratischer Rest oder quadratischer Nichtrest von
![{\displaystyle \tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c)
oder durch
![{\displaystyle \tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c)
teilbar ist; doch bedeute insbesondere
![{\displaystyle \left[{\tfrac {\alpha }{1+i}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60463c936485ca6b38870b2b4bb97ddef5a50305)
die Werte
![{\displaystyle +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04cf05c67d41d9f39dabf6a90722ce860a76958)
,
![{\displaystyle -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/704fb0427140d054dd267925495e78164fee9aac)
‚
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
, je nachdem
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
quadratischer Rest oder Nichtrest von
![{\displaystyle (1+i)^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a681447ca6ad66538f7cb1bfdd668d9f51135b)
oder durch
![{\displaystyle 1+i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a65e41a5c0369e908cf26a2452046f19bab946d)
teilbar ist. Es gilt dann der Satz:
Die Primzahl
des Körpers
ist im Körper
in zwei verschiedene Primideale zerlegbar oder unzerlegbar oder gleich dem Quadrat eines Primideale, je nachdem
‚
oder
ist.
§ 3. Die Einteilung der Idealklassen in Geschlechter.
Wenn
eine beliebige ganze oder gebrochene Zahl des Körpers
ist, so wird
die Partialnorm von
genannt. Diese Partialnorm ist offenbar eine Zahl im Körper
. Bedeutet nun
eine von
verschiedene in
aufgehende Primzahl des Körpers
und ist die Partialnorm
eine durch
nicht teilbare ganze Zahl oder eine gebrochene Zahl, deren Zähler und Nenner durch
nicht teilbar sind, so wird
im Gebiet der ganzen imaginären Zahlen ein quadratischer Rest in bezug auf
.
Um dies zu erkennen, setzen wir
‚ wo
‚
‚
ganze imaginäre Zahlen sind. Dann ist
. Enthielte nun
den Primfaktor
, so müßte wegen der über
gemachten Voraussetzung auch
durch
teilbar sein und folglich enthielten sowohl
wie
den Faktor
; derselbe ist mithin in Zähler und Nenner des Bruches
hebbar. Hätte andererseits
den Faktor
, so müssen wegen der über
gemachten Voraussetzung notwendig auch
und
durch
teilbar sein, und dann ist wiederum der Faktor
in Zähler und Nenner des Bruches
hebbar. Wir können daher annehmen, daß keine der beiden Zahlen
und
den Faktor
enthält. Dann aber folgt
nach
, womit die Behauptung bewiesen worden ist.
Wir führen jetzt das neue Symbol
ein, wo
eine beliebige Zahl in
und
zunächst eine von
verschiedene in
aufgehende Primzahl bedeutet. Für den Fall, daß
eine durch
nicht teilbare ganze Zahl oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner durch
nicht teilbar sind, wird das Symbol durch die Gleichung
|
|
definiert. Ist ferner
![{\displaystyle \sigma =\nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2b9472e00712ef26a903ef5f8129b95e1d545c)
die Partialnorm einer beliebigen Zahl in
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
, so möge
|
|
sein. Der zu Anfang dieses Paragraphen bewiesene Satz zeigt, daß diese letztere Festsetzung mit der erst getroffenen Definition vereinbar ist.
Ferner benutzen wir die Tatsache, daß eine jede Zahl
in
gleich dem Produkt zweier Zahlen
und
gesetzt werden kann, wo
eine ganze nicht durch
teilbare Zahl in
oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner nicht durch
teilbar sind, und wo
die Partialnorm einer Zahl in
ist. Um diese Tatsache zu beweisen, ist es offenbar nur nötig, jene Zerlegung für die Primzahl
auszuführen. Zu dem Zweck wählen wir in
eine durch
, aber nicht durch
teilbare Zahl
, setzen
und berücksichtigen dann, daß
in die Gestalt eines Bruches gebracht werden kann, dessen Zähler gleich
ist und dessen Nenner eine nicht durch
teilbare Zahl ist. Es folgt somit die gewünschte Zerlegung
.
Ist die beliebige Zahl
auf die beschriebene Weise zerlegt, so definieren wir das allgemeine Symbol durch die Gleichung
|
|
und erkennen ohne Schwierigkeit, daß dieses Symbol dadurch eindeutig bestimmt ist und die Eigenschaft
|
|
besitzt, wo
,
beliebige Zahlen des Körpers
sind.
In den Fällen, in welchen
in
aufgeht, bedarf es einer genaueren Untersuchung über das Verhalten der Partialnormen und ihrer Reste nach den Potenzen von
. Um eine übersichtliche Darstellung der in Betracht kommenden Restsysteme zu erhalten, setzen wir
|
,
|
und zeigen dann durch eine leichte Rechnung, daß, wenn
,
,
die Werte
oder
annehmen, in der Form
sämtliche 8 zu
primen Reste nach
und in der Form
sämtliche 16 zu
primen Reste nach
enthalten sind. Wir bezeichnen der Kürze halber die beiden genannten Ausdrücke mit (
) bezüglich (
).
Da im Falle
nach
die Partialdiskriminante
nicht durch
teilbar ist, so untersuchen wir lediglich die 7 Fälle
,
,
nach
und
,
,
,
nach
. Die Rechnung zeigt, daß nur diejenigen zu
primen Reste von
unter den Partialnormen der Zahlen des Körpers
vertreten sind, welche in der folgenden Tabelle unter der Rubrik
verzeichnet stehen und deren Exponenten
,
,
den in der letzten Rubrik angegebenen Bedingungen genügen:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Um die Angaben dieser Tabelle übersichtlich zusammenzufassen, setzen wir
bezüglich
und
; es bestätigt sich dann leicht, daß die Zahl
dann und nur dann nach
einer Partialnorm kongruent ist, sobald die Zahl
bezüglich
gerade ist. Bemerkt sei noch, daß die Zahl
, wenn sie dieser Bedingung genügt, zugleich auch nach jeder höheren Potenz von
der Partialnorm einer Zahl in
kongruent sein muß.
Wir definieren nun das Symbol
zunächst für den Fall, daß
eine durch
nicht teilbare Zahl oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner durch
nicht teilbar sind. In diesem Falle nehmen wir
an und setzen
|
bezüglich ,
|
je nachdem
nach
oder
nach
wird. Ist ferner
die Partialnorm einer beliebigen Zahl des Körpers
, so setzen wir
|
.
|
Um endlich für ein beliebiges
das Symbol zu definieren, benutzen wir die Zerlegung
, wo
eine nicht durch
teilbare Zahl oder ein Bruch ist, dessen Zähler und Nenner durch
nicht teilbar sind, und wo
eine Partialnorm ist und setzen
|
.
|
Wir erkennen wiederum leicht, daß dem soeben definierten Symbol die Eigenschaft
|
|
zukommt, wo
,
beliebige Zahlen des Körpers
sind.
Im folgenden werden die sämtlichen
in der Partialdiskriminante
aufgehenden Primzahlen mit
, …,
bezeichnet. Unser Symbol ordnet dann einer jeden beliebigen Zahl
des Körpers
die
Vorzeichen
|
, …,
|
zu, welche das Charakterensystem der Zahl
im Dirichletschen Körper
heißen mögen. Um ferner vermittels unseres Symbols einem jeden Ideal
in
ein bestimmtes Vorzeichensystem zuzuordnen, bilden wir
. Dieses Produkt ist gleich einer Zahl
in
; dieselbe werde die Partialnorm des Ideals
genannt. Da diese Partialnorm nur bis auf hinzutretende Einheitsfaktoren bestimmt ist, so bedarf es für unseren Zweck der Unterscheidung zweier Fälle, je nachdem das Charakterensystem des Einheitsfaktors
|
, …,
|
aus lauter positiven Vorzeichen besteht oder ein negatives Vorzeichen enthält. Im ersteren Falle sind offenbar die
Vorzeichen
|
, …,
|
für das Ideal
sämtlich eindeutig bestimmt. Das System dieser
Vorzeichen werde das Charakterensystem des Ideals
genannt. Im zweiten Falle nehmen wir an, es sei etwa
; wählen wir dann den Wert der Partialnorm
derart, daß
wird, so sind die
Vorzeichen
|
, …,
|
sämtlich durch
eindeutig bestimmt und heißen das Charakterensystem des Ideals
.
Die Ideale derselben Klasse besitzen notwendig das gleiche Charakterensystem.
Ist nämlich
mit
äquivalent, so gibt es in
eine ganze oder gebrochene Zahl
derart, daß
ist. Hieraus folgt
und daher wird
.
Auf die dargelegte Weise ist einer jeden Idealklasse ein bestimmtes Charakterensystem zugeordnet. Wir rechnen nun alle diejenigen Idealklassen, welche das gleiche Charakterensystem besitzen, in ein Geschlecht und definieren insbesondere das Hauptgeschlecht als die Gesamtheit aller derjenigen Klassen, deren Charakterensystem aus lauter positiven Vorzeichen besteht. Da das Charakterensystem der Hauptklasse offenbar von der letzteren Eigenschaft ist, so gehört die Hauptklasse stets zum Hauptgeschlecht.
§ 4. Die Erzeugung der Idealklassen des Hauptgeschlechtes.
Aus derjenigen Eigenschaft des Symbols, welche sich durch die Formel
|
|
ausdrückt, entnehmen wir leicht die Tatsache, daß das Produkt der Idealklassen zweier Geschlechter die Idealklassen eines Geschlechtes liefert, dessen Charakterensystem durch Multiplikation der entsprechenden Charaktere beider Geschlechter erhalten wird. Im besonderen folgt hieraus, daß das Charakterensystem des Quadrats der Idealklasse eines beliebigen Geschlechtes stets aus lauter positiven Einheiten besteht und mithin das Quadrat einer Idealklasse stets dem Hauptgeschlecht angehört. Es ist von Bedeutung, daß die folgende Umkehrung dieses Satzes gilt:
Eine jede Idealklasse des Hauptgeschlechtes ist gleich dem Quadrat einer Idealklasse.
Um die Richtigkeit dieses Satzes zu erkennen, beweisen wir der Reihe nach folgende Sätze.
Satz 1. Wenn
in dem durch
bestimmten Dirichletschen Körper
die Partialnorm eines Ideals ist und das Charakterensystem von
in diesem Körper
aus lauter positiven Einheiten besteht, so ist auch
in dem durch
bestimmten Dirichletschen Körper
Partialnorm eines Ideals und besitzt in
ein aus lauter positiven Einheiten bestehendes Charakterensystem.
Wir dürfen offenbar annehmen, daß
keine quadratischen Faktoren des Körpers
enthält. Da
eine Partialnorm sein soll, so muß ein jeder in der Partialdiskriminante
des Körpers
nicht vorkommender Primteiler
der Zahl
in zwei Primideale des Körpers
zerfallen; es ist somit nach den Entwicklungen von § 2 notwendigerweise
quadratischer Rest von
, d. h. wenn
von
verschieden ist:
|
.
|
Wir betrachten ferner die von
verschiedenen in
aufgehenden Primteiler
der Zahl
. Es gilt im Körper
die Zerlegung
und zugleich ist
eine durch
, aber nicht durch
teilbare Zahl des Körpers
. Daher ist, wenn
,
gesetzt wird:
|
.
|
In gleicher Weise folgt
|
,
|
und da das Symbol
nach Voraussetzung den Wert
hat, so ist auch
|
.
|
Was endlich den Primkaktor
betrifft, so unterscheiden wir bei der folgenden Untersuchung zunächst 4 Hauptfälle:
I.
|
Weder noch sind durch teilbar.
|
II.
|
ist durch teilbar, aber nicht .
|
III.
|
ist nicht durch teilbar, wohl aber .
|
IV.
|
Sowohl als auch sind durch teilbar.
|
Im Hauptfalle I setzen wir
und
nach
und unterscheiden dann 2 Unterfälle:
1.
,
sind beide gerade. Unter dieser Bedingung kommt
nicht in der Partialdiskriminante
des Dirichletschen Körpers
vor, und es gibt daher im Körper
kein auf den Faktor
bezügliches Symbol.
2.
,
sind nicht beide gleichzeitig gerade. Unter dieser Bedingung kommt
in
vor und es ist
|
.
|
Sind
,
beide gerade, so wird der Wert der rechten Seite
. Sind
,
nicht beide zugleich gerade, so gibt es im Körper
ein auf
bezügliches Symbol, und zwar ist
|
|
Da dieses Symbol wegen der Voraussetzung den Wert
hat, so ist auch
|
.
|
Im Hauptfalle II setzen wir
und
nach
und unterscheiden dann folgende 2 Unterfälle.
1.
,
sind gerade. Unter dieser Bedingung kommt
nicht in der Partialdiskriminante
des Körpers
vor. Da nun
die Partialnorm eines Ideals in
sein soll, so ist notwendigerweise
in 2 Primideale des Körpers
zerlegbar. Die Bedingung hierfür besteht nach § 2 darin, daß
nach
ist, und mithin wird
|
.
|
2.
![{\displaystyle t_{\delta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18128b443161304cc46243455d78cbab9f96da83)
,
![{\displaystyle t'_{\delta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a833d4b252ce58e4ecbd2525067076735dd1a956)
sind nicht beide gleichzeitig gerade. Es ist dann
![{\displaystyle 1+i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a65e41a5c0369e908cf26a2452046f19bab946d)
Faktor der Partialdiskriminante
![{\displaystyle d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab)
. Setzen wir
![{\displaystyle \textstyle \omega ={\frac {\Omega \cdot S\Omega }{1+i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d635a3cebb7f9139daa690e000b9ee196e2b7bfd)
, so wird
|
;
|
nun ist
|
,
|
und eine leichte Rechnung zeigt, daß
|
|
wird. Mithin ergibt sich
|
.
|
Andrerseits ist aber
|
,
|
und wenn daher jenes erstere Symbol den Wert
hat, so ist auch
|
.
|
Im Hauptfall III setzen wir
und
nach
und unterscheiden dann wiederum 2 Unterfälle.
1.
,
sind beide gerade. Unter dieser Bedingung ist
in der Partialdiskriminante
des Körpers
nicht enthalten. Wegen der Voraussetzung wird
|
.
|
Mithin ist
gerade, d. h.
nach
; hieraus folgt nach § 2, daß
im Körper
in zwei Primideale zerlegbar ist.
2.
,
sind nicht beide gleichzeitig gerade. Es ist dann
als Faktor in
enthalten, und es wird
|
.
|
Wie vorhin im Unterfalle 2. des Hauptfalles II erhalten wir den nämlichen Wert für das Symbol
, und da das erstere den Wert
hat, so ist auch
|
.
|
Im Hauptfalle IV setzen wir
![{\displaystyle \nu \equiv (1+i)\left(t_{\nu }t'_{\nu }t''_{\nu }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/155e193f53fccdb3b122520137ce143b1ee131cb)
und
![{\displaystyle \delta \equiv (1+i)\left(t_{\delta }t'_{\delta }t''_{\delta }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d37ab1e92a8777da02c67c1a971fc85aa74815)
nach
![{\displaystyle (1+i)^{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba441835dcbfd01fa94b0095611e2e1f3c7d3af5)
. Es wird dann
|
|
Denselben Wert erhalten wir auch für
, und da das erstere Symbol den Wert
hat, so ist auch
|
.
|
Die eben vollendete Entwicklung zeigt, daß das Charakterensystem der Zahl
in dem Körper
aus lauter positiven Einheiten besteht.
Andrerseits ist
in
notwendig die Partialnorm eines Ideals; denn wenn
ein von
verschiedener in
nicht auigehender Primfaktor von
ist, so ist, da alle Charaktere von
in bezug auf den Körper
gleich
sein sollen, notwendigerweise
|
,
|
und daher zerfällt
nach § 2 in zwei Primideale des Körpers
. Ist ferner
in
, aber nicht in der Partialdiskriminante
des Körpers
als Faktor enthalten, so muß
nach
sein, und es ist dann im Unterfalle 1 des Hauptfalles III bewiesen worden, daß
im Körper
zerlegbar ist. Da mithin sämtliche Primfaktoren von
im Körper
zerlegbar sind, so ist
die Partialnorm eines Ideals in
und hiermit ist der Satz 1 vollständig bewiesen.
Satz 2. Wenn
die Partialnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl in dem durch
bestimmten Dirichletschen Zahlkörper
ist, so ist auch
die Partialnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl in dem durch
bestimmten Dirichletschen Zahlkörper
.
Setzen wir nämlich
|
,
|
wo
und
Zahlen des Körpers
sind, so wird
|
,
|
d. h. gleich der Partialnorm der in
gelegenen Zahl
.
Satz 3. Wenn
Partialnorm eines Ideals in
ist, und das Charakterensystem von
in
aus lauter positiven Einheiten besteht, so ist
zugleich die Partialnorm einer gewissen ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers
.
Wenden wir den von H. Minkowski aufgestellten Satz[3] über die Diskriminante allgemeiner Zahlkörper auf den biquadratischen Dirichletschen Körper
an, so erkennen wir, daß es in jeder Idealklasse des Dirichletschen Körpers
ein Ideal
gibt, dessen Norm
absolut genommen kleiner als
ausfällt, wo
die Diskriminante des Körpers
bedeutet. Da aber
und
ist und da ferner die Norm
absolut genommen gleich dem Quadrat des absoluten Betrages der Partialnorm
wird, so ergibt sich der Satz, daß in jeder Idealklasse des Körpers
ein Ideal
gefunden werden kann, für welches
ausfällt.
Wir beweisen nun zunächst durch Rechnung, daß der Satz 3 in allen Dirichletschen Körpern
gilt, für welche
ist. Benutzen wir die soeben aus dem Minkowskischen Satz abgeleitete Ungleichung, so wird dieser Nachweis durch folgende Tabelle geführt, in welcher unter der Rubrik
die sämtlichen absolut genommen unter
liegenden Werte von
und unter der Rubrik
die den Bedingungen des Satzes 3 und der Ungleichung
genügenden
sich angegeben finden, während daneben in der letzten Rubrik die Zahl des Körpers
hinzugefügt ist, deren Partialnorm gleich
wird.
|
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Es sei jetzt
eine ganze imaginäre Zahl, deren absoluter Betrag
ausfällt, und wir nehmen an, der Satz 3 sei bereits bewiesen für alle diejenigen Körper
, für welche
wird. Ist dann
die Partialnorm eines Ideals
, deren Charakterensystem in
aus lauter positiven Einheiten besteht, so bestimme man in
ein zu
äquivalentes Ideal
, dessen Partialnorm
absolut genommen und ins Quadrat erhoben
ausfällt. Da
ist, so wird
. Da andrerseits
die Partialnorm eines Ideals in
ist, deren Charakterensystem aus lauter positiven Einbeiten besteht, so ist nach Satz 1 die ganze imaginäre Zahl
in dem durch
bestimmten Körper
die Partialnorm eines Ideals, deren Charakterensystem aus lauter positiven Einheiten besteht. Nun gilt wegen
Satz 3 im Körper
, und es ist daher
die Partialnorm einer gewissen ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers
, und hieraus ergibt sich nach Satz 2, daß auch
die Partialnorm einer gewissen Zahl in
ist. Da das Ideal
äquivalent
ist, so ist der Quotient beider Ideale eine Zahl des Körpers
, mithin ist der Quotient der Zahlen
und
und folglich auch
selbst gleich der Partialnorm einer gewissen Zahl des Körpers
. Der Satz 3 gilt folglich für den Körper
, und wir erkennen daraus seine allgemeine Gültigkeit[4].
Aus Satz 3 folgt endlich in sehr einfacher Weise der zu Anfang dieses Paragraphen ausgesprochene Satz über die Idealklassen des Hauptgeschlechts. Wenn nämlich
ein Ideal des Hauptgeschlechts ist, so erfüllt seine Partialnorm
– bezüglichenfalls, wenn sie nach der auf S. 31 angegebenen Vorschrift mit dem Einheitsfaktor
versehen ist – alle Bedingungen des Satzes 3. Es gibt daher auf Grund desselben im Körper
eine Zahl
derart, daß
wird. Setzen wir
, wo
und
zueinander prime Ideale sind, so ist notwendigerweise
und mithin
. Da
gleich einer Zahl
des Körpers
gesetzt werden kann, so ergibt sich
, d. h.
ist notwendigerweise dem Quadrat des Ideals
äquivalent.
§ 5. Die ambigen Ideale.
Ein Ideal
des Dirichletschen Körpers
, welches nach Anwendung der Operation
ungeändert bleibt und keine Zahl des Körpers
als Faktor enthält, werde ein ambiges Ideal genannt. Um alle ambigen Ideale aufzustellen, bezeichnen wir, wie in § 3, die sämtlichen
in der Partialdiskriminante
des Körpers
aufgehenden Primzahlen mit
, …,
und setzen
, …,
; es sind dann wegen
die
Ideale
, …,
ambige Ideale und desgleichen sind die sämtlichen
Produkte
ambig, welche aus diesen
Idealen
, …,
gebildet werden können. Wir beweisen leicht den Satz, daß es im Körper
keine weiteren ambigen Ideale gibt. Ware nämlich
, wo
,
, …,
Primideale sind, ein ambiges Ideal, so müßten wegen
die Primideale
,
, …,
in einer gewissen Reihenfolge genommen, mit
,
, …,
übereinstimmen. Wenn etwa
sich ergeben würde, so enthielte
den Faktor
, welcher gleich einer ganzen imaginären Zahl ist, und da dieser Umstand der Voraussetzung widerspricht, so folgt
und ebenso
, …,
, d. h. die Ideale
,
, …,
sind sämtlich ambige Primideale, und da das Quadrat eines solchen Ideals einer ganzen imaginären Zahl gleich wird, so schließen wir zugleich, daß die Ideale
,
, …,
notwendig untereinander verschieden sind. Wir sprechen das gewonnene Resultat in folgendem Satze aus:
Satz 1. Die
in der Partialdiskriminante
aufgehenden Primideale
, …,
und nur diese sind ambige Primideale. Die
aus diesen zu bildenden Produkte
machen die Gesamtheit aller ambigen Ideale des Körpers
aus.
§ 6. Die ambigen Klassen.
Wenn
ein Ideal der Klasse
ist, so werde diejenige Idealklasse, welcher das Ideal
angehört, mit
bezeichnet. Ist insbesondere
, so heißt die Idealklasse
ambig. Da das Produkt
äquivalent
ist, so wird
und folglich ist das Quadrat einer jeden ambigen Klasse gleich der Hauptklasse 1. Umgekehrt, wenn das Quadrat einer Klasse
gleich
ist, so wird
und folglich ist
eine ambige Klasse.
Es entsteht nun die Aufgabe, alle ambigen Klassen aufzustellen. Da offenbar ein jedes ambige Ideal
vermöge seiner Eigenschaft
einer ambigen Klasse angehört, so haben wir vor allem zu untersuchen, wie viele voneinander verschiedene ambige Klassen aus den
ambigen Idealen entspringen.
Das Produkt aller in
aufgehenden Ideale
ist gleich
und mithin ein Hauptideal. Wir bestimmen nun im Körper
eine Grundeinheit
, d. h. eine Einheit von der Beschaffenheit, daß jede andere Einheit des Körpers gleich
wird, wo
eine Einheitswurzel und
eine positive oder negative ganze Zahl bedeutet. Da die irreduzible Gleichung, welcher
genügt, notwendig vom 2-ten oder 4-ten Grade sein muß, so kann
nur eine 2-te, 3-te, 4-te, 5-te oder 8-te Einheitswurzel oder eine aus diesen zusammengesetzte Einheitswurzel sein. Die 3-te Einheitswurzel kommt im Körper
nur vor, wenn
ist. Es kann ferner leicht gezeigt werden, daß die 5-te Einheitswurzel im Körper
niemals vorkommt. Die 8-te Einheitswurzel endlich kommt im Körper
vor, falls
ist. Die beiden Fälle
und
werden unten für sich besonders erledigt und bei der nachfolgenden allgemeinen Untersuchung ausgeschlossen, so daß nunmehr
lediglich
oder
sein kann.
Die Grundeinheit
ist bis auf einen Faktor
völlig bestimmt. Die Entscheidung darüber, ob im Körper
außer
und
noch ein anderes ambiges Hauptideal vorhanden ist, hängt lediglich davon ab, ob
oder
ausfällt.
Um dies zu erkennen, nehmen wir zunächst
an. Da es freisteht,
an Stelle von
als Grundeinheit zu wählen, so können wir annehmen, daß
wird. Wir setzen[5]
, wo
eine ganze imaginäre Zahl und
eine ganze Zahl des Körpers
bedeutet, welche durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar ist. Aus der Gleichung
ergibt sich, daß
ein ambiges Hauptideal ist. Dieses Hauptideal
ist ferner verschieden von
und von
. Wäre nämlich
oder
, so wäre
|
|
und diese Einheit kann nicht gleich
sein, da
eine ganze Zahl bedeutet und
keine Einheitswurzel ist. Ferner ist ersichtlich, daß ein jedes andere ambige Hauptideal des Körpers
aus
und
zusammengesetzt werden kann. Ist nämlich
ein beliebiges ambiges Hauptideal, so ist notwendig
. Aus der Gleichung
folgt
; wir setzen
, wo
den Wert
oder
hat; dann genügt die Zahl
der Gleichung
und ist folglich eine Zahl des Körpers
, woraus die Behauptung ersichtlich wird.
Ist andrerseits die Partialnorm
, so kann es kein von
und
verschiedenes ambiges Hauptideal geben. Denn wäre
ein solches, so ist notwendigerweise
. Da aber
ist, so folgt notwendigerweise
und daher muß
eine gerade Zahl sein. Wegen
würde dann die Zahl
der Gleichung
genügen und da
ist, so folgt
. Berücksichtigen wir, daß
durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar sein darf, so hat die Annahme
notwendig
und die Annahme
notwendig
zur Folge, womit die Behauptung bewiesen ist.
Wir drücken nun eines der
ambigen Primideale durch die
übrigen ambigen Primideale und durch
und ferner, wenn die Partialnorm der Grundeinheit
ausfällt, noch eines dieser
ambigen Ideale durch die
übrigen und durch
aus. Bezeichnen wir dann allgemein eine Anzahl von Idealklassen als untereinander unabhängig, wenn keine derselben gleich
oder gleich einem Produkt der übrigen ist, so gilt offenbar der Satz:
Satz 2. Die
ambigen Primideale bestimmen
oder
voneinander unabhängige ambige Klassen, je nachdem die Partialnorm der Grundeinheit
oder
ist. Die sämtlichen
ambigen Ideale bestimmen im ersteren Falle
, im letzteren
voneinander verschiedene ambige Idealklassen.
Was die beiden oben ausgeschlossenen Fälle
und
betrifft, so gilt im ersteren Falle ebenfalls der eben ausgesprochene allgemeine Satz, da das einzige ambige Ideal
ein Hauptideal ist und die Partialnorm der Grundeinheit gleich
ausfällt. Im zweiten Falle
dagegen verliert das im Satze angegebene Kriterium seine Anwendbarkeit, da die Partialnorm der Einheitswurzel
gleich
wird. Man erkennt, daß auch im Falle
das einzige vorhandene aus der Zerlegung von
entspringende ambige Ideal ein Hauptideal ist.
Es werde hier noch der allgemeinere Fall hervorgehoben, in welchem
gleich einer Primzahl und überdies
nach
ist. In diesem Falle wird ebenfalls
und die obige Entwicklung zeigt, daß notwendigerweise die Partialnorm der Grundeinheit
sein muß.
Es bleibt noch übrig, die Frage zu beantworten, ob im Körper
ambige Klassen vorhanden sind, welche kein ambiges Ideal enthalten. Zu dem Zwecke wählen wir in der ambigen Klasse
ein beliebiges Ideal
aus; es ist dann
gleich einer Zahl
des Körpers
. Da es freisteht
an Stelle von
zu wählen, so können wir die Annahmen
oder
zugrunde legen.
Im ersteren Falle betrachten wir die Zahl
. Wegen
wird
d. h.
. Setzen wir daher
, wo
und
ganze imaginäre Zahlen sind und das Ideal
durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar ist, so folgt, daß
ein ambiges Ideal ist: die Klasse
enthält mithin ein ambiges Ideal.
Ziehen wir zweitens die Annahme
in Betracht, so erkennen wir zunächst, daß in diesem Falle das Charakterensystem von
aus lauter positiven Einheiten bestehen muß. Für die vorliegende Frage kommt es nun darauf an, ob die Partialnorm der Grundeinheit
oder
ausfällt. Ist letzteres der Fall, so setzen wir einfach
an Stelle von
und zeigen dann durch die eben angewandte Schlußweise, daß in der Idealklasse
ein ambiges Ideal vorkommt. Ist dagegen
, so enthält die Klasse
kein ambiges Ideal. Wäre nämlich
ein solches, wo
eine Zahl in
bedeutet, so würde
folgen. Andrerseits müßte aber
gleich einer Einheit, etwa gleich
sein und da
ist, so würde hieraus
folgen, was der Annahme widerspricht.
Wir treffen nun die Voraussetzung, daß im Körper
das Charakterensystem von
aus lauter positiven Einheiten besteht; nach Satz 3 in § 4 gibt es dann eine Zahl
, deren Partialnorm gleich
ist, und wenn wir noch
annehmen, so muß die Zahl
notwendig gebrochen sein. Setzen wir
, wo
und
zueinander prime Ideale sind, so wird
und hieraus folgt
d. h.
ist äquivalent mit
und bestimmt folglich eine ambige Klasse
; diese Klasse
enthält nach dem vorhin Bewiesenen kein ambiges Ideal. Wir fassen die gewonnenen Resultate in folgendem Satze zusammen.
Satz 3. Es gibt im Körper
dann und nur dann eine ambige Klasse, welche kein ambiges Ideal enthält, wenn das Charakterensystem von
aus lauter positiven Einheiten besteht und wenn zugleich die Partialnorm der Grundeinheit gleich
ist.
Die nämlichen Hilfsmittel führen zugleich zur Darstellung sämtlicher ambigen Klassen der genannten Eigenschaft. Nehmen wir nämlich an es gäbe 2 ambige Idealklassen, die kein ambiges Ideal enthalten und wählen aus diesen je ein Ideal
und
aus, so zeigt die obige Entwicklung, daß die Partialnormen der beiden Zahlen
und
gleich
sein müssen und es wird folglich
. Nehmen wir, was frei steht, in dieser Gleichung das obere Vorzeichen an, so folgt, daß
der Gleichung
genügt. Dieselbe ergibt
; setzen wir daher
, wo
und
ganze imaginäre Zahlen und das Ideal
durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar ist, so erweist sich
als ein ambiges Ideal und der Quotient der beiden Ideale
und
ist mithin einem ambigen Ideale äquivalent. Wir gewinnen aus diesen Überlegungen den Satz:
Satz 4. Wenn im Körper
eine ambige Idealklasse vorhanden ist, welche kein ambiges Ideal enthält, so entstehen alle übrigen Klassen der nämlichen Beschaffenheit dadurch, daß man jene Klasse der Reihe nach mit allen aus ambigen Idealen entspringenden Klassen multipliziert.
Die bisherigen Resultate ermöglichen die Berechnung der Anzahl aller ambigen Klassen. Betrachten wir zunächst den Fall, daß das Charakterensystem von
aus lauter positiven Einheiten besteht, so erkennen wir aus den soeben bewiesenen Sätzen 2, 3 und 4, daß es in diesem Falle genau
ambige Klassen gibt, wo
die Anzahl der Primteiler der Partialdiskriminante
bedeutet. Von diesen
ambigen Klassen entspringen sämtliche oder nur die Hälfte aus ambigen Idealen, je nachdem die Partialnorm der Grundeinheit gleich
oder gleich
ausfällt. Kommt jedoch im Charakterensystem von
eine negative Einheit vor, so ist die Norm der Grundeinheit notwendig gleich
; nach den Sätzen 2 und 3 dieses Paragraphen gibt es dann nur
ambige Klassen und diese entspringen sämtlich aus ambigen Idealen. Setzen wir nun
oder
, je nachdem das Charakterensystem von
aus lauter positiven Einheiten besteht oder nicht, so bedeutet
nach den Darlegungen des § 3 die Anzahl der Einzelcharaktere, welche das Geschlecht einer Idealklasse bestimmen und wir erhalten den Satz:
Satz 5. Es gibt genau
voneinander unabhängige ambige Klassen, wo
die Anzahl der Einzelcharaktere bedeutet, welche das Geschlecht einer Klasse bestimmen. Die Anzahl der sämtlichen voneinander verschiedenen ambigen Idealklassen ist demgemäß
.
Dieser allgemeine Satz gilt auch, wie man leicht erkennt, für den besonderen durch
bestimmten Dirichletschen Körper, welcher oben von der Betrachtung ausgeschlossen wurde.
§ 7. Die Anzahl der existierenden Geschlechter.
Die in § 4, 5 und 6 gewonnenen Resultate setzen uns in den Stand, die Anzahl der in einem Dirichletschen Zahlkörper
vorhandenen Geschlechter zu berechnen. Da das Charakterensystem einer Idealklasse des Körpers
aus
Einzelcharakteren besteht, deren jeder den Wert
oder
annehmen kann, so sind im ganzen
Charakterensysteme möglich und es entsteht die wichtige Frage, ob für jedes dieser
möglichen Charakterensysteme ein Geschlecht existiert oder ob nur ein Teil dieser Charakterensysteme unter den Geschlechtern wirklich vertreten ist. Um über diese Frage Auskunft zu erhalten, bezeichnen wir die Anzahl der voneinander verschiedenen existierenden Geschlechter mit
und die Anzahl der Klassen des Hauptgeschlechtes mit
. Da offenbar auch jedes andere Geschlecht
Klassen enthalten muß, so ist die Anzahl sämtlicher Klassen des Körpers
.
Bezeichnen wir nun die Klassen des Hauptgeschlechts mit
, …,
, so können wir nach dem in § 4 bewiesenen Satze
, …,
setzen, wo
, …,
gewisse Klassen des Körpers bedeuten. Es sei jetzt
eine beliebige Klasse des Körpers
; da dann
offenbar zum Hauptgeschlecht gehört, so ist
, wo
eine der eben bestimmten Klassen
, …,
bedeutet. Es ist folglich
eine ambige ldealklasse
, d. h. es wird
. Da nach Satz 5 in § 6 die Anzahl der ambigen Klassen
beträgt, so stellt der Ausdruck
genau
ldealklassen dar. Diese sind auch sämtlich voneinander verschieden. Denn wäre
, wo
eine ambige Klasse und
eine der vorhin bestimmten Klassen
, …,
bedeutet, so würde
d. h.
und folglich
sein. Aus
folgt auch zugleich
, womit die Behauptung bewiesen ist.
Die Gleichsetzung der so gefundenen Anzahl
sämtlicher Klassen mit der vorhin angegebenen Zahl
ergibt
. Wir haben somit die am Anfang dieses Paragraphen gestellte Frage beantwortet und es gilt der Satz:
Die Anzahl der existierenden Geschlechter ist gleich der Hälfte der möglichen Charakterensysteme, nämlich
, wo
die Anzahl der das Geschlecht bestimmenden Charaktere bezeichnet.
§ 8. Das Reziprozitätsgesetz.
Nachdem im vorigen Paragraph gezeigt worden ist, daß nur die Hälfte aller möglichen Charakterensysteme wirklich unter den Geschlechtern vertreten ist, entsteht die Frage nach der Bedingung, welche ein Charakterensystem erfüllen muß, damit für dasselbe ein Geschlecht existiert. Diese Frage wird durch das schon von Dirichlet aufgestellte Reziprozitätsgesetz der quadratischen Reste und Nichtreste im Gebiete der ganzen imaginären Zahlen beantwortet.
Um zunächst den quadratischen Restcharakter der Zahl
zu bestimmen, nehmen wir an, es sei
eine von
verschiedene Primzahl im Körper
und überdies
nach
. Da zufolge der in § 6 gemachten Bemerkung in dem durch
bestimmten Körper
die Partialnorm der Grundeinheit
ist, so muß nach dem zu Anfang des § 3 bewiesenen Satze
quadratischer Rest von
sein. Ist
eine Primzahl und
nach
, so ist
und folglich wird auch in diesem Falle
.
Wir betrachten ferner den durch
bestimmten Dirichletschen Körper
. In diesem ist offenbar
der einzige Primfaktor der Partialdiskriminante. Das Symbol
wird
und es gibt im Körper
nur den einen Charakter
. Die Zahl der möglichen Charakterensysteme in
ist folglich
und da nur die Hälfte derselben durch Geschlechter vertreten ist, so gibt es nur ein Geschlecht und es ist folglich stets
, wo
die Partialnorm eines beliebigen Ideals bedeutet. Es sei nun
eine Primzahl und zwar
nach
; ist dann
quadratischer Rest von
, so ist
nach § 2 die Partialnorm eines Primideals und hieraus ergibt sich
d. h.
. Dieses Resultat ist die Umkehrung des vorigen; beide Resultate zusammen ergeben den Satz:
Wenn
eine Primzahl und
nach
ist, so bestimmt sich der quadratische Restcharakter der Zahl
in bezug auf
durch die Formel
|
.
|
Um den quadratischen Restcharakter von
![{\displaystyle 1+i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a65e41a5c0369e908cf26a2452046f19bab946d)
zu berechnen, betrachte ich zunächst den durch
![{\displaystyle {\sqrt {\varkappa }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84cb8c3dd92ad4ca0a6180822b34b37724ade84a)
bestimmten Körper
![{\displaystyle K_{\varkappa }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2969ef5bc57d33bb91cdca071ac8863fc3a4a77b)
, wo
![{\displaystyle \varkappa }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488d179b692afc46eaf68616eb9e9636ca0e8475)
eine Primzahl und
![{\displaystyle \equiv (000)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d830808d468ea29531702c29bd65bb8fe1f4207)
nach
![{\displaystyle (1+i)^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a681447ca6ad66538f7cb1bfdd668d9f51135b)
ist. Da in diesem Körper nur ein Geschlecht vorhanden sein darf und, wie oben gezeigt, der Charakter
![{\displaystyle \textstyle \left[{\frac {i}{\varkappa :\varkappa }}\right]=+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a89b1d43c9083ea311e5ce5d567efd898f9b538)
ist, so folgt, daß die Norm eines jeden Ideals ebenfalls den Charakter
![{\displaystyle +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04cf05c67d41d9f39dabf6a90722ce860a76958)
haben muß. Da nach § 2 die Zahl
![{\displaystyle 1+i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a65e41a5c0369e908cf26a2452046f19bab946d)
in zwei ldeale des Körpers
![{\displaystyle K_{\varkappa }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2969ef5bc57d33bb91cdca071ac8863fc3a4a77b)
zerlegbar ist und folglich die Partialnorm eines Ideals ist, so folgt
![{\displaystyle \textstyle \left[{\frac {1+i}{\varkappa :\varkappa }}\right]=\textstyle \left[{\frac {1+i}{\varkappa }}\right]=+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7604f15921d0286ed0a59942dfd77c93dae5a7bd)
. Ist
![{\displaystyle \varkappa \equiv (100)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc48716591153e94d99b8be677f7f74d53e7156e)
, so wird
![{\displaystyle i\varkappa \equiv (000)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6744a17a9473c706ecb9a5dccf4192d79ee06b82)
nach
![{\displaystyle (1+i)^{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a681447ca6ad66538f7cb1bfdd668d9f51135b)
sein und mithin haben wir auch in diesem Falle
![{\displaystyle \textstyle \left[{\frac {1+i}{\varkappa }}\right]=+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fad378a18762ff47ced5cc3f61de7f75ad9f14e1)
.
Es sei jetzt
eine Primzahl und
nach
. Nehmen wir nun
an, so ist
in dem durch
bestimmten Körper zerlegbar und da in diesem Körper nur ein Geschlecht existiert und
den Charakter
besitzt, so ergibt sich auch
, d. h.
. Beide Resultate zusammengenommen bestimmen den quadratischen Restcharakter von
in bezug auf
für
, und zwar gilt unter dieser Voraussetzung die Formel
|
.
|
Es sei endlich
eine Primzahl und
nach
. In dem durch
bestimmten Körper sind, wie man leicht ausrechnet, die Charaktere der Zahl
beide
und es existiert folglich nur ein Geschlecht. Wenn daher
die Partialnorm eines Ideals ist, so müssen die beiden Charaktere der Zahl
, nämlich die Symbole
und
entweder beide positiv oder beide negativ sein. Hieraus ergibt sich, falls wir
nehmen, die Formel:
|
.
|
Die beiden soeben gewonnenen Formeln lassen sich in eine zusammenfassen und wir erhalten somit den Satz:
Wenn
eine Primzahl und
nach
ist, so bestimmt sich der quadratische Restcharakter der Zahl
in bezug auf
durch die Formel:
|
.
|
Um endlich das Reziprozitätsgesetz für 2 beliebige von
verschiedene Primzahlen abzuleiten, berücksichtigen wir den Umstand, daß von den beiden ganzen imaginären Zahlen
und
stets die eine
nach
ist. Wir nehmen bei der nachfolgenden Untersuchung die beiden Primzahlen
und
in dieser Gestalt an, so daß stets
,
zu setzen ist.
Es sei zunächst
eine Primzahl
nach
. Ist dann
eine Primzahl von der Art, daß
wird, so kann
in dem durch
bestimmten Körper
zerlegt werden und ist folglich die Partialnorm eines Ideals. Durch die oben angewandte Schlußweise folgt dann, daß
sein muß. Wir haben somit die beiden folgenden Tatsachen erkannt:
Aus
|
,
|
nach
|
|
und
|
|
folgt
|
, (1)
|
„
|
,
|
„
|
|
„
|
|
„
|
. (2)
|
Es sei ferner
nach
, so gibt es in dem durch
bestimmten Körper
zwei Charaktere, aber nur ein Geschlecht, weil das Charakterensystem der Zahl
, wie man leicht durch Rechnung findet, aus 2 negativen Einheiten besteht. Ist daher
eine Primzahl von der Art, daß
wird, so müssen auch die Charaktere
und
entweder beide positiv oder beide negativ sein; hieraus folgt
und wir haben somit die beiden folgenden Tatsachen erkannt:
Aus
|
,
|
nach
|
|
und
|
|
folgt
|
, (3)
|
„
|
,
|
„
|
|
„
|
|
„
|
. (4)
|
Diese 4 Sätze zeigen, daß unter der Voraussetzung
,
allgemein
ist.
Es sei nämlich zunächst
,
. Nach (1) folgt aus
notwendig
. Ist aber
, so muß auch
sein, da ja ebenfalls nach (1) bei Vertauschung von
mit
aus
notwendig aus
folgen würde.
Es sei ferner
,
. Nach (2) folgt aus
notwendig
. Ist aber
, so muß auch
sein, da ja nach (3) aus
auch
folgen würde.
Endlich sei
,
. Nach (4) folgt aus
notwendig
. Ist aber
, so muß auch
sein, da ja ebenfalls nach (4) aus
notwendig auch
folgen wurde. Um die eben gefundene Formel
für 2 beliebige Primzahlen
,
anzuwenden, für welche
und
nicht notwendig
sind, müssen wir in jener Formel an Stelle
,
bezüglich
,
einsetzen und erhalten dann den folgenden Satz:
Wenn
und
von
verschiedene Primzahlen und bezüglich
bezüglich
nach
sind, so gilt das Reziprozitätsgesetz
|
.
|
Wir definieren nun das allgemeine Symbol
, wo
und
zwei beliebige zueinander und zu
prime Zahlen sind, durch die Gleichung
|
;
|
hierin ist das Produkt über alle Primfaktoren
und
der beiden Zahlen
bezüglich
zu erstrecken, wie sie in der Produktdarstellung von
bezüglich
vorkommen. Es folgt dann unmittelbar der Satz:
Wenn
und
beliebige zueinander und zu
prime ganze Zahlen sind und
[WS 1],
nach
gesetzt wird, so ist
|
.
|
Diese Formel setzt uns in den Stand die Bedingung anzugeben, welche in einem beliebigen Dirichletschen Körper zwischen den
Chakakteren bestehen muß, damit dieselben das Charakterensystem eines existierenden Geschlechtes bilden.
Wir nehmen zunächst an, daß
nicht durch
teilbar sei und setzen dann in obiger Formel
und
, wo
eine zu
und zu
prime Partialnorm eines Ideals im Körper
bedeutet. Da dann nach § 2 die Zahl
von allen in
zu ungerader Potenz vorkommenden Primzahlen quadratischer Rest sein muß, so ist
und folglich wird
|
.
|
Ist nun
nach
, so wird die Partialdiskriminante
und wenn wir daher sämtliche in derselben aufgehenden Primzahlen mit
, …,
bezeichnen, so wird
|
.
|
Ist dagegen
nicht
nach
, so kommt
in der Partialdiskriminante
des Körpers
als Faktor vor. Wir bezeichnen dann die in
aufgehenden Primzahlen mit
, …,
und setzen
. Wegen
erhalten wir wiederum:
|
.
|
Endlich sei
durch
teilbar; wir setzen
und erteilen
die obige Bedeutung. Da wiederum
von allen in
zu ungerader Potenz vorkommenden Primzahlen quadratischer Rest sein muß, so kann bei der Berechnung der Faktoren des Symbols
die Zahl
durch
ersetzt werden; die oben gefundene Formel für den quadratischen Restcharakter von
ergibt dann
. Setzen wir ferner in der allgemeinen Reziprozitätsgleichung
,
und benutzen dann den soeben gefundenen Wert des Symbols
, so erhalten wir
. Andererseits hat das Symbol
den gleichen Wert und hieraus ergibt sich wiederum, wenn wir die sämtlichen in
enthaltenen Primzahlen mit
, …,
bezeichnen, die Gleichung
|
.
|
Es gilt daher in allen Fällen der Satz:
Ein vorgelegtes Charakterensystem ist dann und nur dann durch ein Geschlecht vertreten, wenn das Produkt aller Charaktere desselben
ist.
§ 9. Der spezielle Dirichletsche Körper.
Wenn der durch
bestimmte Dirichletsche Körper
außer dem Körper
noch einen anderen quadratischen Körper enthalten soll, so muß, wie man leicht erkennt,
gleich einer reellen oder gleich einer rein imaginären Zahl sein. In diesem Falle bezeichnen wir den durch
bestimmten Dirichletschen biquadratischen Körper als einen speziellen Dirichletschen Körper und setzen
bezüglich
, so daß
stets eine reelle positive Zahl bedeutet, welche durch kein Quadrat einer reellen Zahl teilbar ist. Der spezielle Dirichletsche Körper
ist ein Galoisscher Körper. Eine beliebige Zahl desselben kann in die Gestalt:
|
|
gebracht werden, wo
,
,
,
rationale Zahlen sind und wir erhalten die 3 zu
konjugierten Zahlen durch Anwendung der 3 Substitutionen:
|
|
Diesen 3 Substitutionen entsprechen 3 in
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
enthaltene quadratische Zahlkörper: alle Zahlen nämlich, welche bei Anwendung von
![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
ungeändert bleiben, bilden den durch
![{\displaystyle i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
bestimmten quadratischen Körper
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
und alle bei Anwendung der Substitution
![{\displaystyle S'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9961844d1f539adee019e432dc18aa2a7ede59)
bezüglich
![{\displaystyle S''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be9b874e870dfaa2302ef6feffbdccedd353eed)
ungeändert bleibenden Zahlen des Körpers
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
bilden je einen quadratischen Körper, nämlich den durch
![{\displaystyle {\sqrt {\partial }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f51b1b7fe51f009c015db6388c239bc8b140553)
bezüglich durch
![{\displaystyle {\sqrt {-\partial }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66cb2eb9b0e8e205283a4be5636073f0d102e9c4)
bestimmten quadratischen Zahlkörper; der erstere möge mit
![{\displaystyle k'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a2b832ed184c7b6481b3926bf8172d353fa7de)
, der zweite mit
![{\displaystyle k''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303b6dc97c683c7b2fbe6c848160cd79c239130e)
bezeichnet werden.
Wir fügen hier noch eine Entwicklung an, welche im folgenden Paragraph gebraucht werden wird.
Wenn ein Ideal des Körpers
als größter gemeinsamer Teiler von solchen Zahlen dargestellt werden kann, welche lediglich Zahlen der Unterkörper
bezüglich
sind, so sagen wir, das Ideal „liege“ im Körper
bezüglich
. Ist
irgendein Ideal in
, so liegt stets das Produkt
im Körper
. Wählen wir nämlich irgendeine durch
teilbare Zahl
und bestimmen dann eine ebenfalls durch
teilbare Zahl
derart, daß
prim zu
ist, so wird notwendig auch
und daher auch
prim zu
und hieraus folgt
, womit die Behauptung bewiesen ist. Ebenso wird gezeigt, daß
stets in dem Körper
liegt.
§ 10. Die Anzahl der ldealklassen des speziellen Dirichletschen Körpers
.
In diesem letzten Paragraph soll kurz der Weg gezeigt werden, welcher zu einem rein arithmetischen Beweise des in der Einleitung erwähnten Dirichletschen Satzes über die Anzahl der ldealklassen in
führt.
Zu dem Zweck stellen wir zunächst folgende Überlegungen an. Sind
,
irgend zwei Idealklassen der beiden quadratischen Körper
bezüglich
und wählt man aus diesen beiden Klassen je ein Ideal
,
, so gehört jedes dieser beiden Ideale, als Ideal des biquadratischen Körpers
aufgefaßt, einer Idealklasse in
an; die beiden somit durch
,
bestimmten Idealklassen des biquadratischen Körpers
mögen mit
bezüglich
und ihr Produkt mit
bezeichnet werden. Es gilt dann zunächst der Satz:
Jede Klasse des Hauptgeschlechtes im biquadratischen Körper
ist gleich einem Produkte
, wo
,
Klassen der quadratischen Körper
bezüglich
sind.
Zum Beweise dieses Satzes benutzen wir die Tatsache, daß jedes Ideal
des Hauptgeschlechtes dem Quadrate eines Ideals
im biquadratischen Körper äquivalent ist. Es gilt andrerseits die Identität
|
.
|
Da das Produkt
![{\displaystyle S'{\mathfrak {J}}\cdot S''{\mathfrak {J}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6573a26199a01df6b99b191f3132cb220a586a58)
bei Anwendung der Substitution
![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
ungeändert bleibt, so ist dasselbe gleich einer Zahl in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
und folglich ein Hauptideal. Da
![{\displaystyle {\mathfrak {J}}\cdot S'{\mathfrak {J}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e4ac1af9863bff9f2c3c693d663d2b2da35917)
und
![{\displaystyle {\mathfrak {J}}\cdot S''{\mathfrak {J}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b2279743baddb85e7068776de1d22737e20f9f)
bezüglich in den Körpern
![{\displaystyle k'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a2b832ed184c7b6481b3926bf8172d353fa7de)
und
![{\displaystyle k''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303b6dc97c683c7b2fbe6c848160cd79c239130e)
liegen, so erkennen wir, daß
![{\displaystyle {\mathfrak {J}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5523151173340c02d7271661c4c8cdeffe2ae3bf)
und mithin auch
![{\displaystyle {\mathfrak {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b7f84d24d6e4feed199e57d691c71e08170e5d)
äquivalent dem Produkt eines in
![{\displaystyle k'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a2b832ed184c7b6481b3926bf8172d353fa7de)
und eines in
![{\displaystyle k''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303b6dc97c683c7b2fbe6c848160cd79c239130e)
liegenden Ideals ist.
Es seien nun
, …,
die in
aufgehenden der Kongruenz
nach
genügenden und
, …,
die in
aufgehenden der Kongruenz
nach
genügenden Primzahlen. Die ersteren Primzahlen lassen sich als Produkt zweier ganzer imaginärer Zahlen darstellen, und zwar sei
, …,
.
Wir bezeichnen jetzt im biquadratischen Körper
diejenigen Geschlechter als die Geschlechter der Hauptart, für welche die Charaktere der Norm
den Bedingungen:
|
, …,
|
und
|
, …,
|
genügen. Unmittelbar aus dieser Definition folgt die Tatsache, daß genau der
-te Teil bezüglich der
-te Teil sämtlicher Geschlechter des Körpers
von der Hauptart ist, je nachdem
ungerade oder gerade ist. Es gilt ferner der Satz:
Jedes Produkt
gehört im biquadratischen Körper
einem Geschlechte der Hauptart an, und umgekehrt jede Klasse
des biquadratischen Körpers
, welche einem Geschlechte der Hauptart angehört, ist gleich einem Produkt
.
Um den ersten Teil dieses Satzes zu beweisen, berücksichtigen wir, daß die Partialnorm eines jeden in
oder
liegenden Ideals eine ganze rationale Zahl wird und benutzen dann die beiden folgenden Tatsachen:
l. Ist
eine rationale in
zerlegbare Primzahl, so ist jede rationale Zahl im Gebiet der ganzen imaginären Zahlen gleichzeitig quadratischer Rest oder Nichtrest in bezug auf die konjugiert imaginären Faktoren
und
.
2. Ist
eine rationale in
unzerlegbare Primzahl, so ist jede rationale Zahl im Gebiet der ganzen imaginären Zahlen quadratischer Rest in bezug auf
.
Um die Richtigkeit der Umkehrung zu erkennen, bemerken wir, daß jedenfalls entweder die Diskriminante des quadratischen Körpers
oder die des quadratischen Körpers
den Faktor
enthalten muß. Aus der bekannten Theorie der quadratischen Körper folgt daher, daß notwendig in einem jener beiden quadratischen Körper ein Geschlecht existieren muß, dessen Charaktere in bezug auf die Primzahlen
, …,
der Reihe nach mit den Werten der Symbole
, …,
übereinstimmen. Ist
eine Klasse dieses Geschlechtes im quadratischen Körper
oder
, so gehört, wie man leicht erkennt, die Klasse
im biquadratischen Körper
dem Hauptgeschlechte an und wird daher nach dem früher bewiesenen Satze gleich
; hieraus folgt
.
Das nächste Ziel ist die Berechnung der Anzahl derjenigen Paare von Klassen
,
der quadratischen Körper
bezüglich
, für welche
wird. Wir bedürfen dazu folgender Begriffe und Sätze aus der Theorie der quadratischen Körper:
Ein Ideal des quadratischen Körpers, welches gleich seinem konjugierten und überdies durch keine ganze rationale Zahl teilbar ist, werde ein ambiges Ideal genannt. Die ambigen Ideale setzen sich aus ambigen Primidealen zusammen und diese bestimmen sich durch die Eigenschaft, daß ihre Quadrate den in der Diskriminante des Körpers enthaltenen rationalen Primzahlen gleich sind.
Eine Klasse des quadratischen Körpers, deren Quadrat die Hauptklasse ist, heißt eine ambige Klasse. Ist der quadratische Körper imaginär, so enthält jede ambige Klasse desselben ein ambiges Ideal und die Anzahl der ambigen Klassen ist
, wo
die Anzahl der in der Diskriminante aufgehenden rationalen Primzahlen ist.
Es seien
,
zwei Klassen der quadratischen Körper
bezüglich
von der Art, daß
wird. Wir wählen dann aus diesen Klassen
und
je ein Ideal
bezüglich
aus und setzen
, wo
eine Zahl des biquadratischen Körpers
bedeutet. Durch Anwendung der Substitution
ergibt sich leicht
d. h.
, wo
eine Zahl im quadratischen Körper
ist. Es folgt mithin, daß
einer ambigen Klasse
in
angehört und da
ein imaginärer quadratischer Körper ist, so ist dem eben angeführten Satze zufolge
einem ambigen Ideale
in
äquivalent. Nun liegen, wie man leicht erkennt, sämtliche ambigen Primideale des Körpers
zugleich auch in dem quadratischen Körper
; ausgenommen ist lediglich der Fall
nach
, in welchem das durch Zerlegung der Zahl
entstehende ambige Primideal
im Körper
, aber nicht im Körper
liegt. Da
und folglich ein Hauptideal des biquadratischen Körpers
ist, so wird, wenn
die durch
bezeichnete Klasse in
bezeichnet, offenbar
. Es sei nun
nicht durch
teilbar und
dasjenige ambige Ideal in
, welches, als Ideal in
betrachtet, dem Ideal
gleich ist, und
sei die durch
bestimmte ambige Klasse in
: es ist dann offenbar
. Somit gilt der Satz:
Zu jeder ambigen Klasse
in
und nur zu diesen läßt sich eine Klasse
in
finden derart, daß
wird.
Es bleibt jetzt noch übrig, die Frage zu entscheiden, wann zu einer Klasse
des Körpers
mehr als eine Klasse
existiert, für welche
wird. Es ist hierzu offenbar notwendig, daß im Körper
eine von
verschiedene Klasse
existiert, für welche
ist.
Um hierüber zu entscheiden, nehmen wir an, es sei
ein Ideal in
, welches im biquadratischen Körper
ein Hauptideal ist. Setzen wir
, wo
eine Zahl in
ist, so wird offenbar
eine Einheit des Körpers
, deren absoluter Betrag
und welche daher eine Einheitswurzel
ist. Setzen wir nun
,
,
, oder
, je nachdem
den Wert
,
,
oder
hat, so ergibt sich
d. h.
ist eine reelle Zahl. Folglich ist
entweder gleich einer reellen Zahl d. h. ein Hauptideal in
oder
wird gleich einer reellen Zahl, multipliziert mit einem Ideal
, welches als Ideal in
aufgefaßt, gleich
ist. Da somit
sein muß, so tritt dieser letztere Fall nur unter der Bedingung
nach
oder
nach
ein. Umgekehrt bestimmt das durch die Gleichung
definierte Ideal
stets in
eine Klasse
, für welche
wird. Der Fall, in welchem
noch andere Einheitswurzeln enthält, ist leicht für sich erledigt. Es folgt aus unseren Entwicklungen das Resultat:
Die Anzahl der Paare von Klassen
,
in den Körpern
, bezüglich
, für welche
wird, ist im Falle eines ungeraden
gleich der Zahl
oder
und im Falle eines geraden
gleich der Zahl
oder gleich
, je nachdem die Zahl
, abgesehen von einem Einheitsfaktor, das Quadrat einer Zahl des reellen quadratischen Körpers
ist oder nicht.
Bezeichnen wir nun die Anzahl der Idealklassen
,
in den beiden Körpern
,
bezüglich mit
,
, so erhalten wir
Kombinationen von der Gestalt
und wenn wir diese Anzahl
durch die soeben gefundene Anzahl der die Bedingung
erfüllenden Klassenpaare dividieren, so ergibt sich die Anzahl der sämtlichen voneinander verschiedenen Klassen
des biquadratischen Körpers, welche von der Hauptart sind. Da aber, wie oben angegeben worden ist, genau der
-te Teil bezüglich der
-te Teil sämtlicher Geschlechter des Körpers
der Hauptart angehört, je nachdem
ungerade oder gerade ist, so gewinnen wir den Satz:
Die Anzahl der Idealklassen des speziellen Dirichletschen Zahlkörpers
ist gleich dem Produkt der Anzahlen der ldealklassen in den beiden quadratischen Körpern
und
oder gleich der Hälfte dieses Produktes, je nachdem in dem reellen quadratischen Körper die Zahl
, abgesehen von einem Einheitsfaktor, das Quadrat einer Zahl ist oder nicht.
Bezeichnet
die Zahl in
, deren Quadrat abgesehen von einem Einheitsfaktor, die Zahl
ergibt, so ist
eine Einheit des biquadratischen Körpers
, deren Partialnorm
wird. Es gilt auch umgekehrt der Satz, daß die Zahl
, abgesehen von einem Einheitsfaktor, gleich dem Quadrat einer Zahl in
sein muß, sobald in
eine Einheit existiert, deren Partialnorm
ist. Benutzen wir diese Tatsachen, so können wir den gefundenen Satz auch in folgender Weise aussprechen:
Die Anzahl der Idealklassen in
ist gleich dem Produkt der Klassenzahlen in
und
oder gleich der Hälfte dieses Produktes, je nachdem die Partialnorm der Grundeinheit des Körpers
gleich
oder
wird.
Wir erkennen die inhaltliche Übereinstimmung dieses Satzes mit dem von Dirichlet[6] bewiesenen Satze, wenn wir berücksichtigen, daß der von Dirichlet ausgesprochene Satz die Anzahlen von Formenklassen mit gegebener Determinante betrifft, während es sich in unserem Satze um Anzahlen von Idealklassen der Körper handelt.
Königsberg, den 14. April 1894.