Über die Wandlung des Raum- und Zeitbegriffs in der Physik

W. Wien: Über die Wandlung des Raum- und Zeitbegriffs in der Physik.

Die Analyse der Axiome unserer Erkenntnis insbesondere der Grundlagen der Geometrie ist seit der Mitte des 19. Jahrhunderts eine Aufgabe, welche die bedeutendsten Mathematiker beschäftigt. Gauss, Lobatschefski, Riemann, Helmholtz, Lie, Hilbert haben tiefgehende Untersuchungen über die Voraussetzungen gemacht, die zum Aufbau des logischen Gebäudes der Geometrie gemacht werden müssen. Diese Arbeiten haben die neue Erkenntnis gebracht, dass die Eigenschaften der sogenannten Euklidischen Geometrie, auf der bisher ausschliesslich sämtliche geometrische Anwendungen auf die Naturwissenschaft beruhten, keineswegs die einzige mit unseren Denkgesetzen und Anschauungsvermögen vereinbare Mannigfaltigkeit von drei Dimensionen sei, sondern dass sie vielmehr spezielle Eigenschaften des Raumes voraussetzt, bei deren Fallenlassen man eine unendliche Menge anderer Geometrien in völliger Konsequenz aufbauen kann. Man konnte allerdings diese Untersuchungen als rein mathematische ansehen, da eine Prüfung an der Erfahrung und die Möglichkeit etwa auf experimentellem Wege die Euklidische Geometrie zu widerlegen völlig ausgeschlossen schien.

Es ist nun merkwürdig, dass im Gegensatz zu diesen auf rein spekulativem Wege gewonnenen Erkenntnissen sich induktiv aus der experimentellen Physik heraus die Möglichkeit einer neuen Raum- und Zeitanschauung langsam Bahn gebrochen hat. Allerdings hat diese mit der nichteuklidischen Geometrie keine direkten Berührungspunkte. Die Eigenschaften der Euklidischen Geometrie werden nicht angetastet. Aber die Raumanschauung wird hier mit dem Zeitbegriff so fest verknüpft, dass man zu der Schlussfolgerung gezwungen wird, der Raumbegriff habe keine selbständige Existenzberechtigung sondern erhielte erst in Verbindung mit dem Zeitbegriff einen klaren Inhalt. Der leider jüngst verstorbene Mathematiker Minkowski bezeichnete von diesem Standpunkte aus die Zeit als vierte Raumdimension, womit er nicht nur den unmittelbaren Zusammenhang beider Begriffe ausdrücken wollte sondern das neue System auch in eine besonders einfache und anschauliche Form gebracht hat.

Die Fragen der Physik, die allmählich so tief bis zu den Wurzeln unserer Erkenntnis vorgedrungen sind, gehen in ihren Ursprüngen sehr weit zurück. Sie begannen mit den Schwierigkeiten, die sich der Undulationstheorie des Lichtes entgegenstellten, als sie die Bradleysche Beobachtung der Aberration der Fixsterne erklären wollte. So einfach diese Erklärung mit der alten Newtonschen Emissionstheorie des Lichtes gelang, so schwierig war sie für die neue sonst in allen optischen Beobachtungen siegreiche Wellentheorie. Fresnel selbst erkannte schon, dass die Aberration des Lichtes erklärt werden könne, wenn man die Annahme mache, dass ein in einem bewegten durchsichtigen Medium laufender Lichtstrahl diese Bewegung nur teilweise mitmache, eine Annahme, die viel später durch ein geniales Experiment von Fizeau ihre Bestätigung fand. Aber gerade diese Fresnelsche Hypothese machte der Theorie, nach der Lichtäther die Eigenschaften eines elastischen Körpers haben sollte, Schwierigkeiten.

Es wurden nun im Laufe der Jahre eine grosse Anzahl von Experimenten gemacht, bei der ein Einfluss der Bewegung der Erde auf optische Phänomene gesucht wurde. Man glaubte gerade aus der Fresnelsche Theorie, nach welcher der Lichtäther jedenfalls die Bewegung der Erde nicht vollständig mitmacht, folgern zu sollen, dass in diesem Falle eine relative Bewegung der Erde zum Lichtäther existiere und sich in Beeinflussung optischer Phänomene äussern müsse. Alle in dieser Richtung angestellten Experimente hatten jedoch ein negatives Ergebnis.

Inzwischen war die Theorie des elastischen Lichtäthers durch die elektromagnetische Lichtheorie abgelöst worden und H. A. Lorentz hatte seine Elektronentheorie auf der Grundlage eines ruhenden Äthers begründet. Er hatte insbesondere die Fragen, inwieweit die Erdbewegung optische Phänomene beeinflussen müsse zum Gegenstand eingehender Spezialuntersuchungen gemacht und gezeigt, dass die meisten Experimente nach dieser Theorie ein negatives Ergebnis haben müssten. Nur ein Versuch, der Interferenzversuch Michelsons, war mit den Grundlagen der Theorie nicht vereinbar. Um ihn zu erklären, musste eine besondere Hypothese aufgestellt werden, die gleichzeitig von Fitzgerald und Lorentz ausgesprochen ist.

Wir werden gleich sehen, dass diese Hypothese eine der Grundlagen der veränderten Raumanschauung bildet.

Nun war die Theorie von Lorentz insofern nur eine Näherungstheorie als er sich auf die Betrachtung kleiner Geschwindigkeiten im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit beschränkt hatte. Es lag hierin etwas Unbefriedigendes, indem naturgemäss die Frage aufgeworfen werden musste, inwieweit die aus der Theorie gefolgerten negativen Ergebnisse der Versuche eine absolute Bewegung nachzuweisen auch bei grossen Geschwindigkeiten gelten würden. In der Tat war man durch die Erkenntnis, dass die Kathoden und Becquerelstrahlen Elektronen sehr grosser Geschwindigkeit seien, in den Stand gesetzt nun auch Geschwindigkeiten zur Beobachtung heranzuziehen, die nicht mehr klein gegen die Lichtgeschwindigkeit sind.

Das Bedürfnis die Theorie auch für grössere Geschwindigkeiten zu erweitern führte Lorentz zu einer Modifikation seiner ersten Theorie, die nun zeigt, dass die elektromagnetischen Gesetze für ein bewegtes System bei passender Definition der Raum- und Zeitgrössen genau dieselbe Form wie in einem ruhenden System haben. Diese Lorentzsche Theorie enthält mathematisch alles was wir jetzt als Relativitätstheorie bezeichnen und sie enthält namentlich die Transformation von Raum und Zeit, die wir als das besondere neue kennen lernen werden. Indessen stand Lorentz nicht auf dem Boden der Relativitätstheorie. Er hielt an der Hypothese des ruhenden Äthers fest. Ich selbst bin zu derselben Transformation der Raum- und Zeitgrössen in einem viel spezielleren Fall, nämlich bei der Untersuchung einer bewegten Strahlungsquelle, gelangt. Es ist mir aber gar nicht in den Sinn gekommen dieses Ergebnis vom Standpunkte der Relativitätstheorie zu deuten.

Hier war noch ein besonderer, ich möchte sagen, erkenntnistheoretischer Wagemut erforderlich nämlich der, den bisherigen Zeitbegriff aufzugeben und ausserdem den bisherigen Begriff des starren Körpers, der schon durch die von Lorentz zur Erklärung des Michelsonschen Versuches gemachte Hypothese erschüttert war, gänzlich preiszugeben.

Die Schwierigkeit in der Konzeption der Relativitätstheorie lag besonders darin, dass wir einerseits annehmen wollen, die Beobachtung einer absoluten Bewegung sei unmöglich, andererseits die Existenz einer absoluten Geschwindigkeit, der Lichtgeschwindigkeit zugeben müssen. Das Verdienst gezeigt zu haben, dass diese beiden anscheinend sich widersprechenden Annahmen miteinander verträglich sind, und dass somit auf Grundlagen eines modifizierten Zeitbegriffes die Relativitätstheorie möglich ist, ist das Verdienst von A. Einstein in Bern.

Die Theorie der Relativität beruht auf der Voraussetzung, dass die Naturphänomene uns nicht erlauben eine absolute Bewegung nachzuweisen, trotzdem wir die Lichtgeschwindigkeit als absolute Geschwindigkeit ansehen müssen. Dass eine solche Theorie möglich ist, kann man durch mathematische Transformationen von einem bewegten auf ein ruhendes Koordinatensystem nachweisen.

Ich möchte Ihnen im folgenden die physikalische Bedeutung dieser mathematischen Operationen in bezug auf die Transformation von Raum und Zeit auseinandersetzen.

Zuvor will ich noch eine eigentümliche Konsequenz der Relativitätstheorie erwähnen, die sich auf den Energiebegriff bezieht. Nach dieser Theorie müssen wir die Energie mit Trägheit begabt denken und zwar aus folgendem Grunde.

Wenn ein allein im leeren Raum vorhandener Körper in einer Richtung Energie ausstrahlt, so wird auf ihn ein Strahlungsdruck ausgeübt, der den Körper in einer dem ausgesandten Strahl entgegengesetzten Richtung zu treiben sucht. Ist $E$ die in der Zeiteinheit ausgestrahlte Energie, so ist diese Kraft ${\frac {E}{c}},$ wenn $c$ die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet.

Nun würde diese Kraft des Strahlungsdruckes eine absolute Bewegung hervorrufen, die wir aus der Menge der ausgestrahlten Energie und der Masse des Körpers jederzeit berechnen könnten. Nach der Relativitätstheorie darf eine solche absolute Bewegung indessen keinen physikalischen Sinn besitzen. Dieser Forderung können wir nur genügen, wenn wir annehmen, dass die ausgestrahlte Energie träge Masse besitzt, die einen Teil der Masse des Körpers mitfortnimmt.

Dann wird der Fall auf einen in der Mechanik ganz bekannten zurückgeführt. Wenn wir eine Kugel aus einem Geschütz schiessen, so haben wir in dem Rückstoss die Kraft, die den zurückbleibenden Körper nach rückwärts treibt, während das Geschoss nach vorwärts geht. Wir können aus diesem bekannten mechanischen Beispiel die träge Masse der Energie berechnen.

Die Kraft ${\frac {E}{c}},$ die den Körper rückwärts treibt, ist gleichzeitig nach mechanischen Gesetzen die Bewegungsgrösse der in der Zeiteinheit hervorgerufenen Bewegungsänderung. Die Bewegungsgrösse der mit Lichtgeschwindigkeit forteilenden Energie $E$ ist $Mc$, wenn wir mit $M$ die träge Masse der Energie bezeichnen. Nach dem Schwerpunktssatz muss ${\frac {E}{c}}=Mc$ sein, woraus $M={\frac {E}{c^{2}}}$ folgt.

Dies muss für jede Energieform gelten, da wir alle Energieformen in Strahlung verwandeln können.

Diese Konsequenz gibt der Energie etwas Materielles derart, dass man sie von sonstiger Materie nur durch die Gravitation unterscheiden kann, wenn man zunächst an der Annahme festhält, dass die Energie der Gravitation nicht unterworfen ist.

Was nun die Folgerungen aus der Relativitätstheorie angeht, die sich auf Raum und Zeit erstrecken, so stammen sie sämtlich aus derselben Quelle, dass die absolute und unveränderliche Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum uns doch kein Mittel in die Hand gibt um eine absolute Bewegung nachzuweisen. Alle derartigen Versuche müssen durch die Eigenschaften von Raum und Zeit und der starren Körper unmöglich gemacht werden.

Fig. 1

Einen derartigen Versuch, aus dem eine Veränderung der Länge eines starren Körpers resultiert, haben wir bereits erwähnt. Es ist der Michelsonsche Interferenzversuch. Ein auf die durchsichtige Glasplatte $G$ (Fig. 1) fallender Lichtstrahl durchsetzt diese und geht weiter bis er vom Spiegel $S$ in seiner eigenen Richtung zurückreflektiert wird. Ein zweiter Strahl wird von der Glasplatte $G$ reflektiert und gelangt zum Spiegel $S_{\prime }$, von dem er in die eigene Richtung zurückreflektiert wird. Er fällt dann wieder auf die Glasplatte, wird zum zweitenmal reflektiert und gelangt nun mit dem von $S$ zurückkehrenden ersten Strahl zur Interferenz. Sind die Entfernungen von $S$ und $S_{\prime }$ von $G$ gleich $l$, so ist die Zeit, die die beiden Lichtstrahlen brauchen um wieder nach $G$ zurückzukehren ${\frac {2l}{c}}$($c$=Lichtgeschwindigkeit). Ist das ganze System zunächst in der Richtung $GS$ in gleichförmiger Translation mit der Geschwindigkeit $v$ begriffen, so ist die Zeit die der erste Strahl braucht, um wieder nach $G$ zurückzukehren

${\frac {l}{c-v}}+{\frac {l}{c+v}}={\frac {2lc}{c^{2}-v^{2}}}={\frac {2l}{c\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}.$

Von $S_{\prime }$ wird nun nicht mehr der rechtwinklig zur Bewegungsrichtung ausgehende Strahl nach $G$ reflektiert, sondern, weil $G$ während der vom Strahl bis zur Rückkunft gebrauchten Zeit sich fortbewegt hat, ein etwas geneigter Strahl. (Fig. 2). Dabei ist ${\frac {x}{a}}={\frac {v}{c}},$ $a^{2}=l^{2}+x^{2}=l^{2}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}a^{2},$ so dass $a={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ ist.

Fig. 2

Die von diesem Strahl zur Rückkehr gebrauchte Zeit ist demnach

${\frac {2l}{c{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Man sieht hieraus, dass durch die Translation die ursprünglich gleiche Zeit der beiden Lichtstrahlen verschieden geworden ist. Wenn man also die Spiegel und die Glasplatte auf einem drehbaren starren System montiert und einmal die Richtung $GS$, dann die Richtung $GS_{\prime }$ mit der Richtung der Erdbewegung zusammenfallen lässt, so muss hierbei eine Verschiebung der Interferenzstreifen eintreten, die dem veränderten Gangunterschied der beiden Strahlen entspricht. Die Theorie der Relativität verlangt, dass dies nicht eintritt, und es muss demnach die Strecke in der Translationsrichtung ihre Länge im Verhältnis $1:{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ verkürzt haben, damit beide Lichtstrahlen wieder gleiche Wege zurücklegen.

Man kann also sagen, dass alle Dimensionen in der Translationsrichtung sich durch die Bewegung in dem angegebenen Verhältnis verkürzt haben müssen. Es ist dies aber keineswegs eine Verkürzung im gewöhnlichen Sinne des Wortes sondern sie ist nur wahrnehmbar für einen ruhenden Beobachter aber nicht für einen, der sich mitbewegt.

Eine weitere Folgerung aus der Relativitätstheorie bezieht sich auf die Zeit, worauf Einstein zuerst aufmerksam gemacht hat. Da nämlich ein Lichtstrahl, der in der Richtung der Bewegung die Strecke $l$ hin und zurück durchläuft, im bewegten System die Zeit ${\frac {2l}{c\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}}$ oder vielmehr mit Berücksichtigung der eben abgeleiteten Verkürzung der Länge $l$ die Zeit ${\frac {2l}{c{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ braucht, während er im ruhenden System ${\frac {2l}{c}}$ braucht, so müssen, damit hierdurch die absolute Bewegung nicht wahrnehmbar wird, alle Zeiten im bewegten System sich in diesem Verhältnis verlängern.

Uhren müssen im bewegten System vom ruhenden aus betrachtet langsamer gehen als im ruhenden System.

Fig. 3

Die Zeit wird aber noch von einer anderen Veränderung betroffen. Es seien $A$ und $B$ zwei Zahnräder (Fig. 3) auf einer festen Achse. Es gehe ein Lichtstrahl durch die Lücken des Zahnrades $B$ und gelange in $A$ auch durch eine Zahnlücke.

Setzen wir die Achse in Rotation, so wird bei bestimmter Geschwindigkeit das Rad $A$ sich soviel gedreht haben, dass der Lichtstrahl in $A$ auf den Zahn trifft und nicht mehr hindurchgehen kann. Ein umgekehrt durch eine Zahnlücke von $A$ gehender Strahl wird in $B$ von einem Zahn aufgehalten werden. Setzen wir nun das ganze System in der Richtung $BA$ in Bewegung, so braucht der Lichtstrahl mehr Zeit um nach $A$ zu gelangen und das Rad müsste wenn die ganze Verbindung starr wäre jetzt etwas langsamer laufen damit der Lichtstrahl in $A$ einen Zahn trifft. Umgekehrt wird aber ein Lichtstrahl von $A$ nach $B$ schneller gelangen und der Lichtstrahl wird nun nicht bei $B$ vom Zahn aufgehalten werden. Dieses Experiment könnte uns die absolute Bewegung anzeigen. Damit dies nicht eintreten könne, muss bei gleicher Umdrehungsgeschwindigkeit eine Drehung des Rades $A$ gegenüber dem Rade $B$ eintreten, welche die durch die Bewegung hervorgerufene Unsymmetrie wieder aufhebt. Da nun das Rad als Uhr angesehen werden kann so ist diese Aussage gleichbedeutend damit, dass die Zeit in $A$ sich von der Zeit in $B$ unterscheiden muss. Nennen wir $t$ die Zeit in $B$ und $\tau$ den Unterschied der Zeiten in $A$ und $B$, so muss sein, wenn $x$ die Strecke $AB$ bezeichnet

$t+\tau ={\frac {x}{c-v}}\qquad t-\tau ={\frac {x}{c+v}}$

woraus folgt

$2\tau =x\left({\frac {1}{c-v}}-{\frac {1}{c+v}}\right)={\frac {2vx}{c^{2}-v^{2}}}$

oder, da aus $x$ infolge der Bewegung $x{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ wird

$\tau ={\frac {vx}{c^{2}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Diese drei Veränderungen enthalten die bekannten Raumzeittransformationen der Relativitätstheorie und geben gleichzeitig ihre physikalische Bedeutung. Sie zeigen insbesondere, dass der Begriff des starren Körpers, mit dem wir die geometrischen Ausmessungen vornehmen und der Zeitbegriff vollkommen relativ werden. Das letzte Experiment ergibt insbesondere, dass durch die Rotation einer Achse bei der Bewegung eine Torsion um diese Achse eintreten muss, die aber nur einem ruhenden Beobachter bemerkbar werden könnte, nicht aber einem mitbewegten. Aber auch ohne feste Achse müsste eine Uhr, an eine andere Stelle in der Translationsrichtung gebracht, die Stellung ihrer Zeiger geändert haben.

Alle diese Veränderungen lassen sich in ein neues Raum- und Zeitsystem zusammenfassen, wobei der Raum und Zeitbegriff erst zusammen bestimmte Bedeutung erhalten.

Das Befremdende, welches der negative Erfolg der beschriebenen Experimente und die Annahme zu seiner Erklärung haben, verschwindet, wenn wir die Gründe für das Relativitätspostulat in die Wurzeln unserer Naturerkenntnis verlegen, in die Begriffe von Raum und Zeit. Es ist das Verdienst Minkowskis das System aufgestellt zu haben, welches die geschilderten Transformationen der Relativitätstheorie in geometrischer Form enthält. Hierbei wird die ganze Welt des Geschehens zu einer Geometrie von vier Dimensionen.

Dass man zu den drei Raumachsen eine vierte, die Zeitachse, hinzunimmt, würde an sich wenig bedeuten. Aber Minkowski führt, den Nachweis, dass in einem solchen Raum von vier Dimensionen die Transformationen der Relativitätstheorie auf einfache geometrische Konstruktionen führen.

Fig. 4

Man hat zu diesem Zwecke im Raume von vier Dimensionen ein Gebilde zu konstruieren, das einem Hyperboloide entspricht und durch die Gleichung $c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1$ dargestellt wird. In der $xt$-Ebene schneidet dieses Gebilde eine Hyperbel aus. Irgend eine gerade Linie $R$ (Fig. 4) repräsentiert eine konstante Geschwindigkeit weil für sie ${\frac {x}{ct}}={\frac {v}{c}}$ konstant ist. Wo diese Linie die Hyperbel schneidet (im Punkte $A$), hat man eine Tangente $T$ an die Hyperbel zu legen und durch den Anfangspunkt der Koordinaten $O$ eine Parallele zu ihr zu ziehen ($P$). Die Linien $R$ und $P$ bilden nun ein schiefwinkliges Koordinatensystem, in welchem die Hyperbel durch eine Gleichung von derselben Form ausgedrückt wird wie in dem ursprünglichen. Die Transformation von dem einen Koordinatensystem auf das andere enthält sämtliche Transformationen der Relativitätstheorie. Hierbei repräsentiert das eine Koordinatensystem in bezug auf das andere eine Bewegung mit der Geschwindigkeit $v$. Je nachdem man das eine oder das andere Koordinatensystem wählt, nimmt man dieses als ruhend an. Es ist also die Zeit mit den Raumdimensionen ebenso fest verbunden wie diese untereinander und man kann von einem Raum als solchem nur etwa in dem Sinne sprechen wie bisher von zweidimensionalen Gebilden.

Wir hatten oben als Veränderung der Zeit

$t'=t{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}.$

Während man gewöhnlich in der Physik die Zeit $t$ als unabhängige Veränderliche behandelt, so dass z. B. ${\frac {x}{t}},\ {\frac {y}{t}}$ oder bei veränderlicher Bewegung die Differentialquotienten ${\frac {dx}{dt}},\ {\frac {dz}{dt}}$ die Geschwindigkeiten sind, ist es zweckmässig in der vierdimensionalen Geometrie $t'$ als unabhängige Variable zu behandeln und $t$ als vierte Variable zu $x,y,z$ hinzuzufügen, was ja ohne weiteres eine Konsequenz der ganzen Betrachtungsweise ist.

Jede gerichtete Grösse, die man früher in drei Komponenten zerlegte, muss man jetzt in vier zerlegen, so dass z. B. jede Kraft auch eine Komponente nach der Zeitachse hat.

Anstatt der früher auftretenden drei Bewegungsgleichungen hat man jetzt vier und zwar ist die vierte immer die Energiegleichung. Dass sich die Energiegleichung hier zu den Bewegungsgleichungen als gleichberechtigt fügt, ist weniger befremdend wenn wir an das oben entwickelte Ergebnis denken, wonach der Energie Trägheit zugeschrieben werden muss und sie dadurch vollkommen in Parallelismus zur Materie tritt.

Die Physik lässt sich von diesem System aus vollkommen einheitlich aufbauen, wenn man die Gleichungen der Elektrodynamik als Grundlage benutzt. Dann lässt sich folgern, dass sowohl die Energie als die elektrische Ladung träge Masse besitzen. Es lässt sich nicht leugnen, dass diese veränderte Auffassung von Raum und Zeit etwas ungemein Zwingendes hat und dass das ganze System voll innerer Konsequenz die Überzeugung wachruft die Tatsachen müssten sich ihm fügen. Für den Physiker kommen aber ebensowenig ästhetische Momente in Betracht wie es früher mit teleologischen der Fall war. Für ihn hat allein die Natur die Entscheidung zu treffen.