Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern/Abschnitt II

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Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern (1895) von Hendrik Antoon Lorentz

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ABSCHNITT II.

ELECTRISCHE ERSCHEINUNGEN IN PONDERABLEN KÖRPERN, WELCHE SICH MIT EINER CONSTANTEN GESCHWINDIGKEIT DURCH DEN RUHENDEN AETHER VERSCHIEBEN.

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Umformung der Grundgleichungen.

§ 19. Von jetzt ab soll angenommen werden, dass die zu betrachtenden Körper sich mit einer unveränderlichen Translationsgeschwindigkeit ${\mathfrak {p}}$ fortbewegen, unter welcher wir in fast allen Anwendungen die Geschwindigkeit der Erde in ihrer Bewegung um die Sonne zu verstehen haben werden. Zwar wäre es interessant, die Theorie zunächst für ruhende Körper weiter zu entwickeln, allein der Kürze halber wollen wir uns sogleich dem allgemeineren Fall zuwenden. Es kann übrigens immer noch ${\mathfrak {p}}=0$ gesetzt werden.

Am einfachsten wird die Behandlung der sich jetzt darbietenden Probleme, wenn man statt des oben angewandten Coordinatensystems ein anderes einführt, das mit der ponderablen Materie fest verbunden ist und also an deren Verschiebung theilnimmt.

Während die Coordinaten eines Punktes in Bezug auf das feste System $x$, $y$, $z$ hiessen, mögen die, welche sich auf das bewegliche System beziehen, und welche ich die relativen Coordinaten nenne, einstweilen mit $(x)$, $(y)$, $(z)$ bezeichnet werden. Bis jetzt wurden alle variablen Grössen als Functionen von $x$, $y$, $z$, $t$ angesehen; weiterhin sollen ${\mathfrak {d}}_{x}$, ${\mathfrak {d}}_{y}$, u. s. w. als Functionen von $(x)$, $(y)$, $(z)$ und $t$ betrachtet werden.

Unter einem festen Punkte verstehen wir jetzt einen Punkt, der in Bezug auf die neuen Axen eine unveränderliche Lage hat; ebenso soll mit der Ruhe oder der Bewegung eines körperlichen Theilchens die relative Ruhe oder die relative Bewegung in Bezug auf die ponderable Materie gemeint sein. Mit Ionen, welche sich in diesem Sinne des Wortes bewegen, werden wir es zu thun haben, sobald die sich verschiebende Materie der Sitz electrischer Bewegungen ist.

Durch ${\mathfrak {v}}$ soll nicht mehr die wirkliche Geschwindigkeit, sondern die Geschwindigkeit der soeben genannten relativen Bewegung dargestellt werden. Die wirkliche Geschwindigkeit ist somit

${\mathfrak {p}}+{\mathfrak {v}}{,}$

und ist hierdurch ${\mathfrak {v}}$ in den Gleichungen (4) und (V) zu ersetzen.

Ausserdem hat man statt der Differentialquotienten nach $x$, $y$, $z$ und $t$ solche nach $(x)$, $(y)$, $(z)$ und $t$ einzuführen.

Die erstgenannten Differentialquotienten bezeichne ich mit

${\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}},\ \left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)_{1}{,}$

die letztgenannten dagegen mit

${\frac {\partial }{\partial (x)}},\ {\frac {\partial }{\partial (y)}},\ {\frac {\partial }{\partial (z)}},\ \left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)_{2}.$

Es ist nun, in Anwendung auf eine beliebige Function,

${\frac {\partial }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial (x)}},\ {\frac {\partial }{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial (y)}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {\partial }{\partial (z)}}{,}$ $\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)_{1}=\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)_{2}-{\mathfrak {p}}_{x}{\frac {\partial }{\partial (x)}}-{\mathfrak {p}}_{y}{\frac {\partial }{\partial (y)}}-{\mathfrak {p}}_{z}{\frac {\partial }{\partial (z)}}.$

Hieraus folgt, dass für $Div\ {\mathfrak {A}}$ der Ausdruck

${\frac {\partial {\mathfrak {A}}_{x}}{\partial (x)}}+{\frac {\partial {\mathfrak {A}}_{y}}{\partial (y)}}+{\frac {\partial {\mathfrak {A}}_{z}}{\partial (z)}}{,}$

und für die Componenten von $Rot\ {\mathfrak {A}}$

${\frac {\partial {\mathfrak {A}}_{z}}{\partial (y)}}-{\frac {\partial {\mathfrak {A}}_{y}}{\partial (z)}}{\text{, u. s. w.}}$

geschrieben werden darf. Die Ausdrücke $Div\ {\mathfrak {A}}$ und $Rot\ {\mathfrak {A}}$ haben also noch immer die § 4, g und h festgesetzte Bedeutung, wenn man, nachdem man die alten Coordinaten ein für alle Mal verlassen hat, die neuen zur Vereinfachung nicht mehr mit $(x)$, $(y)$, $(z)$, sondern mit $x$, $y$, $z$ andeutet.

Wir wollen auch, nachdem wir zu den neuen Coordinaten übergegangen sind, für eine Differentiation nach der Zeit bei constanten relativen Coordinaten, statt $\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)_{2}$ das Zeichen ${\frac {\partial }{\partial t}}$ benutzen, sodass

$\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)_{1}={\frac {\partial }{\partial t}}-{\mathfrak {p}}_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}-{\mathfrak {p}}_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\mathfrak {p}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}$

(18)

wird.

Die Differentialquotienten nach der Zeit, welche in den Grundgleichungen (I)—(V) vorkommen, sind sämmtlich von der durch $\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)_{1}$ angedeuteten Art. Wir werden dieses Zeichen als Abkürzung für den längeren Ausdruck (18) beibehalten.

Dagegen soll ein Punkt über einem Buchstaben fernerhin — wie $\partial /\partial t$ — eine Differentiation nach der Zeit bei constanten relativen Coordinaten anzeigen. Es dürfen also die Glieder ${\dot {\mathfrak {d}}}$ und ${\dot {\mathfrak {H}}}$ in (4) und (IV) nicht unverändert gelassen werden. Unter ${\mathfrak {d}}$ z. B. war ein Vector zu verstehen mit den Componenten

$\left({\frac {\partial {\mathfrak {d}}_{x}}{\partial t}}\right)_{1}{\text{, u. s. w.,}}$

oder

$\left({\frac {\partial }{\partial t}}-{\mathfrak {p}}_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}-{\mathfrak {p}}_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\mathfrak {p}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right){\mathfrak {d}}_{x}{\text{, u. s. w.}}$

Wir können für diesen Vector passend schreiben

$\left({\frac {\partial {\mathfrak {d}}}{\partial t}}\right)_{1}{,}$

während

${\dot {\mathfrak {d}}}$ oder ${\frac {\partial {\mathfrak {d}}}{\partial t}}$

den Vector mit den Componenten

${\frac {\partial {\mathfrak {d}}_{x}}{\partial t}}{\text{, u. s. w.}}$

bedeuten wird.

Bezogen auf das mit der ponderablen Materie verbundene Axensystem, werden schliesslich die Grundgleichungen

$Div\ {\mathfrak {d}}=\rho {,}$

(Ia)

${\mathfrak {S}}=\rho ({\mathfrak {p}}+{\mathfrak {v}})+\left({\frac {\partial {\mathfrak {d}}}{\partial t}}\right)_{1}{,}$

(4a)

$Div\ {\mathfrak {H}}=0{,}$

(IIa)

$Rot\ {\mathfrak {H}}=4\pi {\mathfrak {S}}{,}$

(IIIa)

$-4\pi V^{2}Rot\ {\mathfrak {d}}=\left({\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial t}}\right)_{1}{,}$

(IVa)

${\mathfrak {E}}=4\pi V^{2}{\mathfrak {d}}+[{\mathfrak {p}}.{\mathfrak {H}}]+[{\mathfrak {v.H}}].$

(Va)

§ 20. Für gewisse Zwecke ist eine andere Form einiger Gleichungen geeigneter.

Die erste der drei in (IV_a) zusammengefassten Beziehungen lautet nämlich

$-4\pi V^{2}\left({\frac {\partial {\mathfrak {d}}_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial {\mathfrak {d}}_{y}}{\partial z}}\right)={\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{x}}{\partial t}}-{\mathfrak {p}}_{x}{\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{x}}{\partial x}}-{\mathfrak {p}}_{y}{\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{x}}{\partial y}}-{\mathfrak {p}}_{z}{\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{x}}{\partial z}}{,}$

wo sich, der Gleichung (II_a) zufolge, für die drei letzten Glieder schreiben lässt

$\left({\mathfrak {p}}_{x}{\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{y}}{\partial y}}-{\mathfrak {p}}_{y}{\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{x}}{\partial y}}\right)-\left({\mathfrak {p}}_{z}{\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{x}}{\partial z}}-{\mathfrak {p}}_{x}{\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{z}}{\partial z}}\right){,}$

was nichts anderes ist als die erste Componente von

$Rot\ [{\mathfrak {p.H}}].$

Demzufolge erhält man statt (IV_a)

$Rot\ \left\{4\pi V^{2}{\mathfrak {d}}+[{\mathfrak {p.H}}]\right\}=-{\dot {\mathfrak {H}}}.$

Es lässt sich weiter der Strom ${\mathfrak {S}}$ ganz eliminiren. Die erste der Gleichungen (III_a) wird, wenn man (4_a) und (I_a) beachtet,

${\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial {\mathfrak {H}}_{y}}{\partial z}}=4\pi \rho \left({\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {v}}_{x}\right)+4\pi \left({\frac {\partial {\mathfrak {d}}_{x}}{\partial t}}-{\mathfrak {p}}_{x}{\frac {\partial {\mathfrak {d}}_{x}}{\partial x}}-{\mathfrak {p}}_{y}{\frac {\partial {\mathfrak {d}}_{x}}{\partial y}}-\right.$

$\left.-{\mathfrak {p}}_{z}{\frac {\partial {\mathfrak {d}}_{x}}{\partial z}}\right)=4\pi \rho {\mathfrak {v}}_{x}+4\pi \left\{\left({\mathfrak {p}}_{x}{\frac {\partial {\mathfrak {d}}_{y}}{\partial y}}-{\mathfrak {p}}_{y}{\frac {\partial {\mathfrak {d}}_{x}}{\partial y}}\right)-\left({\mathfrak {p}}_{z}{\frac {\partial {\mathfrak {d}}_{x}}{\partial z}}-\right.\right.$

$\left.\left.-{\mathfrak {p}}_{x}{\frac {\partial {\mathfrak {d}}_{z}}{\partial z}}\right)\right\}+4\pi {\frac {\partial {\mathfrak {d}}_{x}}{\partial t}}.$

Hieraus folgt, wenn man einen neuen Vector ${\mathfrak {H}}'$ mittelst der Gleichung

${\mathfrak {H}}'={\mathfrak {H}}-4\pi [{\mathfrak {p.d}}]{,}$

definirt,

$Rot\ {\mathfrak {H}}'=4\pi \rho {\mathfrak {v}}+4\pi {\dot {\mathfrak {d}}}.$

Führen wir nun, noch für die auf ruhende Ionen wirkende electrische Kraft das Zeichen ${\mathfrak {F}}$ ein, so erhalten wir folgende Reihe von Formeln

$Div\ {\mathfrak {d}}=\rho {,}$

(Ib)

$Div\ {\mathfrak {H}}=0{,}$

(IIb)

$Rot\ {\mathfrak {H}}'=4\pi \rho {\mathfrak {v}}+4\pi {\dot {\mathfrak {d}}}{,}$

(IIIb)

$Rot\ {\mathfrak {F}}=-{\dot {\mathfrak {H}}}{,}$

(IVb)

${\mathfrak {F}}=4\pi V^{2}{\mathfrak {d}}+[{\mathfrak {p.H}}]{,}$

(Vb)

${\mathfrak {H}}'={\mathfrak {H}}-4\pi [{\mathfrak {p.d}}]{,}$

(VIb)

${\mathfrak {E}}={\mathfrak {F}}+[{\mathfrak {v.H}}].$

(VIIb)

§ 21. Aus den Gleichungen (I_a)—(V_a) (§ 19) lassen sich auch Formeln ableiten, deren jede nur eine der Grössen ${\mathfrak {d}}_{x}$, ${\mathfrak {d}}_{y}$, ${\mathfrak {d}}_{z}$, ${\mathfrak {H}}_{x}$, ${\mathfrak {H}}_{y}$, ${\mathfrak {H}}_{z}$ enthält.

Zunächst folgt aus (IV_a)

$-4\pi V^{2}Rot\ Rot\ {\mathfrak {d}}=Rot\left({\frac {\partial {\mathfrak {H}}}{\partial t}}\right)_{1}=\left({\frac {\partial Rot\ {\mathfrak {H}}}{\partial t}}\right)_{1}.$

Beachtet man hier das § 4, h Gesagte, sowie die Relationen (I_a), (III_a) und (4_a), so gelangt man zu den drei Formeln

$V^{2}\triangle {\mathfrak {d}}_{x}-\left({\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {d}}_{x}}{\partial t^{2}}}\right)_{1}=V^{2}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}+\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)_{1}\left\{\rho \left({\mathfrak {p}}_{x}+{\mathfrak {v}}_{x}\right)\right\}{\text{, u. s. w.}}$

(A)

In ähnlicher Weise findet man

$V^{2}\triangle {\mathfrak {H}}_{x}-\left({\frac {\partial ^{2}{\mathfrak {H}}_{x}}{\partial t^{2}}}\right)_{1}=4\pi V^{2}\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\left\{\rho \left({\mathfrak {p}}_{y}+{\mathfrak {v}}_{y}\right)\right\}-\right.$

$\left.-{\frac {\partial }{\partial y}}\left\{\rho \left({\mathfrak {p}}_{z}+{\mathfrak {v}}_{z}\right)\right\}\right]{\text{, u.s.w.}}$

(B)

Die letzten Glieder dieser sechs Gleichungen sind vollständig bekannt, sobald man weiss, wie sich die Ionen bewegen.

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Anwendung auf die Electrostatik.

§ 22. Wir wollen berechnen, mit welchen Kräften die Ionen auf einander wirken, wenn sie alle in Bezug auf die ponderable Materie ruhen. In diesem Falle entsteht ein Zustand, wobei in jedem Punkte ${\mathfrak {d}}$ und ${\mathfrak {H}}$ unabhängig von der Zeit sind. Es wird

$\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)_{1}=-\left({\mathfrak {p}}_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\mathfrak {p}}_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\mathfrak {p}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right){,}$

(19)

und es reduciren sich die Gleichungen (A) und (B), wenn man der Kürze halber die Operation

$\triangle -{\frac {1}{V^{2}}}\left({\mathfrak {p}}_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\mathfrak {p}}_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\mathfrak {p}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{2}$

durch $\triangle '$ angibt, auf

$\triangle '{\mathfrak {d}}_{x}={\frac {\partial \rho }{\partial x}}-{\frac {{\mathfrak {p}}_{x}}{V^{2}}}\left({\mathfrak {p}}_{x}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}+{\mathfrak {p}}_{y}{\frac {\partial \rho }{\partial y}}+{\mathfrak {p}}_{z}{\frac {\partial \rho }{\partial z}}\right){\text{, u. s. w.}}$

(A’)

und

$\triangle '{\mathfrak {H}}_{x}=4\pi \left({\mathfrak {p}}_{y}{\frac {\partial \rho }{\partial z}}-{\mathfrak {p}}_{z}{\frac {\partial \rho }{\partial y}}\right){\text{, u. s. w.}}$

(B’)

Um diese Bedingungen zu erfüllen, bestimme man eine Function $\omega$ durch

$\triangle '\omega =\rho$

und setze

${\mathfrak {d}}_{x}={\frac {\partial \omega }{\partial x}}-{\frac {{\mathfrak {p}}_{x}}{V^{2}}}\left({\mathfrak {p}}_{x}{\frac {\partial \omega }{\partial x}}+{\mathfrak {p}}_{y}{\frac {\partial \omega }{\partial y}}+{\mathfrak {p}}_{z}{\frac {\partial \omega }{\partial z}}\right){\text{, u. s. w.,}}$

(20)

${\mathfrak {H}}_{x}=4\pi \left({\mathfrak {p}}_{y}{\frac {\partial \omega }{\partial z}}-{\mathfrak {p}}_{z}{\frac {\partial \omega }{\partial y}}\right){\text{, u. s. w.,}}$

(21)

Werthe, welche auch wirklich den Grundgleichungen (I_a)—(IV_a) genügen.

Aus (V_a) folgt nun weiter

${\mathfrak {E}}_{x}=4\pi \left(V^{2}-{\mathfrak {p}}^{2}\right){\frac {\partial \omega }{\partial x}}{\text{, u. s. w.,}}$

(22)

wodurch die gesuchten Kräfte gefunden sind.

Unbeschadet der Allgemeinheit können wir annehmen, dass die Translation in der Richtung der $x$-Axe geschehe. Es wird dann ${\mathfrak {p}}_{y}={\mathfrak {p}}_{z}=0$, und die Formel zur Bestimmung von $\omega$ verwandelt sich in

$\left(1-{\frac {{\mathfrak {p}}^{2}}{V^{2}}}\right){\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial z^{2}}}=\rho .$

(23)

§ 23. Um die Bedeutung der vorstehenden Formeln klarzulegen, wollen wir das betrachtete System $S_{1}$ mit einem zweiten $S_{2}$ vergleichen. Letzteres soll sich nicht verschieben und aus $S_{1}$ entstehen durch Vergrösserung aller Dimensionen, welche die Richtung der $x$-Axe haben (also auch der betreffenden Dimensionen der Ionen), im Verhältniss von $\textstyle {\sqrt {V^{2}-{\mathfrak {p}}^{2}}}$ zu $V$, oder: zwischen den Coordinaten $x$, $y$, $z$ eines Punktes von $S_{1}$ und den Coordinaten $x'$, $y'$, $z'$ des demselben entsprechenden Punktes von $S_{2}$ lassen wir die Beziehungen

$x=x'{\sqrt {1-{\frac {{\mathfrak {p}}^{2}}{V^{2}}}}},\ y=y',\ z=z'$

(24)

bestehen.

Ausserdem sollen die einander entsprechenden Volumelemente, und also auch die Ionen, in $S_{1}$ und $S_{2}$ gleiche Ladungen haben.

Versieht man alle Grössen, welche sich auf das zweite System beziehen, zur Unterscheidung mit einem Strich, so ist

$\rho '=\rho {\sqrt {1-{\frac {{\mathfrak {p}}^{2}}{V^{2}}}}}{,}$

und

${\frac {\partial ^{2}\omega '}{\partial x'^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\omega '}{\partial y'^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\omega '}{\partial z'^{2}}}=\rho '=\rho {\sqrt {1-{\frac {{\mathfrak {p}}^{2}}{V^{2}}}}}.$

Da sich nun die Gleichung (23) in der Gestalt

${\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial x'^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial y'^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial z'^{2}}}=\rho$

schreiben lässt, so wird

$\omega ={\frac {\omega '}{\sqrt {1-{\frac {{\mathfrak {p}}^{2}}{V^{2}}}}}}{,}$

und da in dem zweiten System

${\mathfrak {E'}}_{x}=4\pi V^{2}{\frac {\partial \omega '}{\partial x'}}{\text{, u. s. w.}}$

ist,

${\mathfrak {E}}_{x}={\mathfrak {E'}}_{x},\ {\mathfrak {E}}_{y}={\sqrt {1-{\frac {{\mathfrak {p}}^{2}}{V^{2}}}}}{\mathfrak {E'}}_{y},\ {\mathfrak {E}}_{z}={\sqrt {1-{\frac {{\mathfrak {p}}^{2}}{V^{2}}}}}{\mathfrak {E'}}_{z}.$

Dieselben Beziehungen, wie zwischen den Componenten von ${\mathfrak {E}}$ und ${\mathfrak {E}}'$, bestehen auch, da die Ladungen in $S_{1}$ und $S_{2}$ gleich sind, zwischen den in beiden Fällen auf ein Ion wirkenden Kraftcomponenten.

Ist in dem zweiten System an gewissen Stellen ${\mathfrak {E}}'=0$, so verschwindet ${\mathfrak {E}}$ an den correspondirenden Stellen des ersten Systems.

§ 24. Verschiedene Folgerungen aus diesem Satze liegen auf der Hand. Aus der gewöhnlichen Electrostatik weiss man z. B., dass ein Ueberschuss positiver (oder negativer) Ionen sich so über einen Conductor, und zwar über dessen Oberfläche $\Sigma '$, vertheilen kann, dass im Innern keine electrische Kraft wirkt. Nimmt man nun diese Vertheilung für das System $S_{2}$ und leitet daraus durch die oben besprochene Transformation ein System $S_{1}$ ab, so besteht auch in diesem ein Ueberschuss positiver Ionen nur an einer gewissen Oberfläche $\Sigma$, während in allen inneren Punkten die electrische Kraft ${\mathfrak {E}}$ verschwindet. An der Thatsache, dass eine electrische Ladung ihren Sitz an der Oberfläche eines Leiters hat, wird durch die Translation der ponderablen Materie also nichts geändert.

Aehnliche Betrachtungen gelten für zwei oder mehr Körper. Steht einem Conductor $C$ ein geladener Körper $K$ gegenüber, so existirt nach einem bekannten Satze immer eine gewisse Ladung an der Oberfläche von $C$, welche zusammen mit $K$ auf Ionen im Innern des Conductors keine Wirkung ausübt. Dieser Satz bleibt bestehen, wenn die ponderable Materie sich bewegt, und man wird auch dann noch annehmen dürfen, dass sich, unter dem Einflüsse von $K$, auf $C$ von selbst eine „inducirte“ Ladung bilde, welche die Wirkung von $K$ auf innere Punkte gerade aufhebt.

Da nach (22) die Componenten von ${\mathfrak {E}}$ den Differentialquotienten von $\omega$ proportional sind, so können wir auch sagen, dass die inducirende und die inducirte Ladung zusammen an allen Punkten von $C$ ein constantes $\omega$ hervorrufen. Daraus folgt dann mittelst der Gleichungen (20), (21) und (V_a), dass auch ein bewegtes Ion im Inneren von $C$ keine Kraftwirkung von den beiden Ladungen erfährt.

Schliesslich ist zu bemerken, dass nach unseren Formeln die Vertheilung einer Ladung über einen gegebenen Conductor, sowie die Anziehung oder Abstossung geladener Körper durch die Bewegung der Erde verändert werden müssen. Doch beschränkt sich dieser Einfluss auf Glieder zweiter Ordnung, wenn man nämlich den Bruch ${\mathfrak {p}}/V$ eine Grösse erster Ordnung, und somit den Bruch ${\mathfrak {p}}^{2}/V^{2}$ eine Grösse zweiter Ordnung nennt.

Da ${\mathfrak {p}}/V=1/10000$ ist, so darf man, abgesehen von einzelnen sehr speciellen Fällen, nicht hoffen, bei electrischen oder optischen Erscheinungen einen Einfluss der Erdbewegung zu constatiren, der von ${\mathfrak {p}}^{2}/V^{2}$ abhinge. Das Einzige also, was bei geladenen, in Bezug auf die Erde ruhenden Körpern vielleicht zu beobachten wäre, ist die magnetische Kraft (21). Auf den ersten Blick könnte man eine derselben entsprechende Wirkung auf Stromelemente erwarten. Wir werden im § 26 auf diese Frage zurückkommen.

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Werthe von ${\mathfrak {d}}$ und ${\mathfrak {H}}$ bei einem stationären Strome.

§ 25. Unter Zugrundelegung der Gleichungen (A) und (B) nehmen wir das im § 11 behandelte Problem wieder auf. Wir betrachten, wie dort, die Mittelwerthe und berücksichtigen, dass für dieselben bei stationären Zuständen die Vereinfachung (19) gestattet ist; ausserdem nehmen wir zunächst an, dass der Stromleiter keine merkliche Ladung besitze, sodass ${\bar {\rho }}=0$ ist.

Es liegt nahe, den Vector ${\overline {\rho {\mathfrak {v}}}}$ als „Strom“ aufzufassen. Wir denken uns denselben solenoidal vertheilt und bezeichnen ihn mit ${\bar {\mathfrak {S}}}$, wobei es freilich vorläufig unentschieden bleibt, ob dies nun auch der Mittelwerth des in (4_a) vorkommenden Vectors ist.

Wir leiten nun aus (A) und (B) ab

$V^{2}\triangle '{\bar {\mathfrak {d}}}_{x}=-\left({\mathfrak {p}}_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\mathfrak {p}}_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\mathfrak {p}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right){\bar {\mathfrak {S}}}_{x}{\text{, u. s. w.,}}$ $\triangle '{\overline {{\mathfrak {H}}_{x}}}=4\pi \left({\frac {\partial {\overline {\mathfrak {S}}}_{y}}{\partial z}}-{\frac {\partial {\overline {\mathfrak {S}}}_{z}}{\partial y}}\right){\text{, u. s. w.}}$

Bestimmt man also drei Hülfsgrossen $\chi _{x}$, $\chi _{y}$, $\chi _{z}$^[1] mittelst der Gleichungen

$\triangle '\chi _{x}={\overline {\mathfrak {S}}}_{x},\ \triangle '\chi _{y}={\overline {\mathfrak {S}}}_{y},\ \triangle '\chi _{z}={\overline {\mathfrak {S}}}_{z}{,}$

so wird überall

${\overline {{\mathfrak {d}}_{x}}}=-{\frac {1}{V^{2}}}\left({\mathfrak {p}}_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\mathfrak {p}}_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\mathfrak {p}}_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\chi _{x}{\text{, u. s. w.,}}$

(25)

${\overline {{\mathfrak {H}}_{x}}}=4\pi \left({\frac {\partial \chi _{y}}{\partial z}}-{\frac {\partial \chi _{z}}{\partial y}}\right){\text{, u. s. w.,}}$

(26)

und nach (V_a) die electrische Kraft, welche auf ruhende Ionen wirkt,

${\overline {{\mathfrak {E}}_{x}}}=-4\pi {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\mathfrak {p}}_{x}\chi _{x}+{\mathfrak {p}}_{y}\chi _{y}+{\mathfrak {p}}_{z}\chi _{z}\right){\text{, u. s. w.}}$

(27)

Auf den ersten Blick scheint es daher, als ob ein von einem Strom durchflossener Leiter, auf ruhende Ionen mit einer Kraft erster Ordnung wirke. Bei näherer Ueberlegung findet man aber, dass die Kraft (27) von einer anderen gerade compensirt wird.

Die Werthe (27) stimmen nämlich vollkommen mit den Ausdrücken (22) überein, wenn man darin

$\omega =-{\frac {{\mathfrak {p}}_{x}\chi _{x}+{\mathfrak {p}}_{y}\chi _{y}+{\mathfrak {p}}_{z}\chi _{z}}{V^{2}-{\mathfrak {p}}^{2}}}$

(28)

setzt. Dieses $\omega$ würde nach § 22 zu einer electrischen Ladung gehören, deren Dichte

$\rho =\triangle '\omega {,}$

oder nach den mitgetheilten Formeln

$\rho =-{\frac {{\mathfrak {p}}_{x}{\overline {{\mathfrak {S}}_{x}}}+{\mathfrak {p}}_{y}{\overline {{\mathfrak {S}}_{y}}}+{\mathfrak {p}}_{z}{\overline {{\mathfrak {S}}_{z}}}}{V^{2}-{\mathfrak {p}}^{2}}}$

(29)

ist.

Denken wir uns für einen Augenblick, dass der Strom nicht bestehe, wohl aber eine Ladung mit dieser mittleren Dichtigkeit $\rho$. Dieselbe würde natürlich nur in dem Leiter bestehen, und der Gesammtbetrag wäre Null, wie aus (29) und

$\triangle {\overline {\mathfrak {S}}}=0$

folgt. Offenbar würde nun diese Ionenvertheilung, sich selbst überlassen, gänzlich verschwinden. Wir können das auch so ausdrücken, dass die Ladung, vermöge ihrer Wirkung auf ruhende Ionen, diese in Bewegung setze, und dass dadurch schliesslich neben ihr noch eine andere Ladung $A$ mit der mittleren Dichtigkeit $-\rho$, oder

${\frac {{\mathfrak {p}}_{x}{\overline {{\mathfrak {S}}_{x}}}+{\mathfrak {p}}_{y}{\overline {{\mathfrak {S}}_{y}}}+{\mathfrak {p}}_{z}{\overline {{\mathfrak {S}}_{z}}}}{V^{2}-{\mathfrak {p}}^{2}}}$

auftrete. Da nun der Strom, den wir anfänglich betrachteten, gerade so auf ruhende Ionen wirkt, wie die Ladung (29), so wird er nach kurzer Zeit ebenso die Ladung $A$ hervorrufen; diese hebt dann seine Wirkungen auf ruhende Ionen auf, und zwar nicht bloss in äusseren Punkten, sondern auch, wenigstens was die Mittelwerthe der Kräfte betrifft, im Innern des Stromleiters.

Ich will diese Ladung $A$ die Compensationsladung nennen. Ist sie einmal entstanden, so kann der Stromleiter keine Electricitätsbewegung in einem benachbarten Körper hervorrufen. Ein stationärer Strom in einem sich mit der Erde bewegenden Draht übt also auf einen Stromkreis, der ebenso in Bezug auf die Erde ruht, ungeachtet der Erdbewegung keine Inductionswirkung aus^[2].

Zu bemerken ist nun noch, dass in dem schliesslich eintretenden Zustande des Systems $\rho$ und ${\mathfrak {d}}$ gewisse Werthe, von der Ordnung ${\mathfrak {p}}$, haben. Unter Vernachlässigung der Grössen zweiter Ordnung folgt dann wirklich aus (4_a)

${\overline {\mathfrak {S}}}={\overline {\rho {\mathfrak {v}}}}.$

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Wirkung zwischen einem geladenen Körper $K$ und einem Stromleiter.

§ 26. Nach dem Vorhergehenden haben wir anzunehmen, dass in dem Stromleiter neben dem Strome ${\overline {\mathfrak {S}}}$ die Compensationsladung $A$ bestehe und ausserdem (an der Oberfläche des Leiters) die durch $K$ hervorgerufene Influenzladung $B$. Zur Vereinfachung stellen wir uns vor, dass ${\overline {\mathfrak {S}}}$, $A$ und $B$ neben einander als von einander unabhängige Ionensysteme bestehen^[3]. Jedes der vier Systeme ${\overline {\mathfrak {S}}}$, $A$, $B$ und $K$ zwingt nun dem Aether einen besonderen Zustand auf und wirkt demzufolge auf jedes der übrigen. Wir wollen, um diese Wirkungen kurz anzudeuten, für die, welche z. B. ${\overline {\mathfrak {S}}}$ auf $K$ ausübt, $\left({\overline {\mathfrak {S}}},K\right)$ setzen, wobei zu bemerken ist, dass vielleicht $\left({\overline {\mathfrak {S}}},K\right)$ und $\left(K,{\overline {\mathfrak {S}}}\right)$ nicht gleich und entgegengesetzt sind, und dass auch Wirkungen wie $\left({\overline {\mathfrak {S}}},{\overline {\mathfrak {S}}}\right)$ bestehen können, nämlich Kräfte, welche auf eines der Ionensysteme infolge der Zustandsveränderungen im Aether, die es selbst verursacht, wirken.

In leichtverständlicher Symbolik lässt sich nun für die Gesammtwirkung auf K schreiben

$(K,K)+(B,K)+({\mathfrak {\overline {S}}},K)+(A,K){,}$

was sich aber, da nach § 25

$({\overline {\mathfrak {S}}},K)+(A,K)=0$

ist, auf die beiden ersten Glieder reducirt und also unabhängig vom Strom wird.

Die Kräfte dagegen, welche den Stromleiter angreifen, lassen sich durch einen aus 12 Gliedern bestehenden Ausdruck darstellen, da die Wirkung von $K$, ${\overline {\mathfrak {S}}}$, $A$ und $B$, jedesmal auf ${\overline {\mathfrak {S}}}$, $A$ und $B$, in Betracht kommt. Es ist nun

$(K,{\overline {\mathfrak {S}}})+(B,{\overline {\mathfrak {S}}})=0,\ (K,A)+(B,A)=0{,}$ $({\overline {\mathfrak {S}}},A)+(A,A)=0,\ ({\overline {\mathfrak {S}}},B)+(A,B)=0{,}$

sodass von dem erwähnten Ausdruck nur übrig bleibt

$(K,B)+(B,B)+(A,{\overline {\mathfrak {S}}})+({\overline {\mathfrak {S}}},{\overline {\mathfrak {S}}}).$

(30)

Die durch die beiden ersten Glieder dargestellten Kräfte würden auch bestehen, wenn ${\overline {\mathfrak {S}}}=0$, und die beiden letzten Glieder sind unabhängig von dem geladenen Körper $K$. Eine von $K$ auf den Stromleiter als solchen ausgeübte Wirkung existirt also nicht.

Uebrigens ist in jedem der vier Glieder (30) der von ${\mathfrak {p}}$ abhängige Theil eine Grösse zweiter Ordnung. Wir wissen das schon von $(K,B)+(B,B)$, da dieses eine electrostatische Wirkung bedeutet. $(A,{\overline {\mathfrak {S}}})$ und $({\overline {\mathfrak {S}}},{\overline {\mathfrak {S}}})$ aber stellen Kräfte dar, die auf einen Strom wirken, in welchem die mittlere electrische Dichtigkeit Null ist. Wie man aus (V_a) ersieht, werden derartige Kräfte bestimmt durch den Werth von ${\mathfrak {H}}$, welcher zum wirkenden System gehört. Insofern nun das zu ${\overline {\mathfrak {S}}}$ gehörige ${\mathfrak {H}}$ abhängig von ${\mathfrak {p}}$ ist, ist es zweiter Ordnung (§ 25), und die Compensationsladung $A$ bringt infolge ihrer Geschwindigkeit ${\mathfrak {p}}$ nur eine magnetische Kraft zweiter Ordnung hervor, da ja ihre Dichtigkeit schon den Factor ${\mathfrak {p}}/V$ enthält.

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Electrodynamische Wirkungen.

§ 27. Die Frage, inwiefern diese Wirkungen durch die Erdbewegung beeinflusst werden, ist jetzt leicht zu beantworten. Bezeichnen wir die Strome in zwei Leitern mit ${\overline {\mathfrak {S}}}$ und ${\overline {{\mathfrak {S}}'}}$, und die dazu gehörenden Compensationsladungen mit $A$ und $A'$, so ist die auf den zweiten Leiter ausgeübte Wirkung

$({\overline {\mathfrak {S}}},{\overline {{\mathfrak {S}}'}})+(A,{\overline {{\mathfrak {S}}'}})+({\overline {\mathfrak {S}}},A')+(A,A'){,}$

worin sich aber die beiden letzten Glieder aufheben. Dass $(A,{\overline {{\mathfrak {S}}'}})$ und der von ${\mathfrak {p}}$ abhängige Theil in $({\overline {\mathfrak {S}}},{\overline {{\mathfrak {S}}'}})$ von der Ordnung ${\mathfrak {p}}^{2}/V^{2}$ sind, folgt aus Betrachtungen wie den oben mitgetheilten.

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Induction in einem linearen Stromleiter.

§ 28. Ein geschlossener secundärer Draht $B$ werde aus der Lage $B_{1}$, in die Lage $B_{2}$ verschoben, während ein primärer Leiter $A$ gleichzeitig aus der Position $A_{1}$ in $A_{2}$ übergeht und die Intensität des primären Stromes von $i_{1}$ zu $i_{2}$ wächst. Zu Anfang und Ende der Zeit $T$, in welcher diese Vorgänge sich vollziehen, sollen die beiden Leiter ruhen und der primäre Strom constant sein; wirken auf $B$ sonst keine electromotorische Kräfte, so ist dieser Draht schliesslich wieder, wie anfangs, stromlos. Wir wollen die Electricitätsmenge bestimmen, welche in der Zeit $T$ durch einen Querschnitt des Drahtes hindurchgegangen ist, und zwar werden wir dabei nur an den Convectionsstrom denken.

Nach Ablauf des ganzen Vorganges hat die Oberfläche von $B$ nirgends eine electrische Ladung. Daraus folgt, dass die hindurchgeströmte Electricitätsmenge für alle Querschnitte dieselbe ist, und dass der Leiter in unendlich dünne Stromrohren zerlegt werden kann, dergestalt, dass in jeder derselben gleichfalls durch alle Querschnitte dieselbe Electricitätsmenge fliesst.

Wir betrachten näher eine dieser Röhren und nennen $d\ s$ ein Element ihrer Länge, $\omega$ einen senkrechten Querschnitt, $N\ d\ t$ die Zahl der positiven Ionen, welche denselben während der Zeit $d\ t$ in der als positiv angenommenen Richtung $s$ passiren, $N'\ d\ t$ die Zahl der negativen Ionen, welche in entgegengesetzter Richtung sich bewegen, $e$ die Ladung eines positiven und $-e'$ die Ladung eines negativen Ions. Der Gesammtstrom durch $\omega$ ist sodann

$i=\int (N\ e+N'\ e')\ d\ t.$

(31)

Es seien weiter ${\mathfrak {E}}_{s}$ und ${\mathfrak {E}}'_{s}$ die in der Richtung von $d\ s$ wirkenden electrischen Kräfte, welche für ein positives oder ein negatives Ion in Betracht kommen. Dem Ohm’schen Gesetze gemäss soll angenommen werden, dass die Fortbewegung der Ionen durch diese Kräfte so bestimmt werde, dass $N$ und $N'$ den Mittelwerthen derselben proportional seien; dieses, sowie die Proportionalität mit $\omega$, drücken wir aus durch

$N=p{\overline {{\mathfrak {E}}_{s}}}\omega ,\ N'=q{\overline {{\mathfrak {E}}'_{s}}}\omega {,}$

worin $p$ und $q$ constante Factoren sind.

Es ist nun nöthig, zwischen der Geschwindigkeit des betrachteten Leiterelementes und der relativen Geschwindigkeit eines Ions in dem Drahte zu unterscheiden. Erstere heisse ${\mathfrak {v}}$ und letztere ${\mathfrak {w}}$. Aus (V_a) ergibt sich dann

${\mathfrak {E}}=4\pi V^{2}{\mathfrak {d}}+[{\mathfrak {p.H}}]+[{\mathfrak {v.H}}]+[{\mathfrak {w.H}}].$

Die Geschwindigkeit ${\mathfrak {w}}$ hat aber die Richtung von $d\ s$; man hat demzufolge $[{\mathfrak {w.H}}]_{s}=0$, und für positive wie für negative Ionen

${\mathfrak {E}}_{s}={\mathfrak {E}}'_{s}=4\pi V^{2}{\mathfrak {d}}_{s}+[{\mathfrak {p.H}}]_{s}+[{\mathfrak {v.H}}]_{s}.$

Schliesslich verwandelt sich die Gleichung (31) in

$i=c\omega \int \left\{4\pi V^{2}{\bar {{\mathfrak {d}}_{s}}}+[{\mathfrak {p.{\bar {H}}}}]_{s}+[{\mathfrak {v.{\bar {H}}}}]_{s}\right\}\ d\ t{,}$ $c=pe+qe'.$

Man dividire durch $c\ \omega$, multiplicire mit $d\ s$ und integrire über den ganzen Stromfaden. Erwägt man dabei, dass $i$ überall in demselben den gleichen Werth hat, und setzt

$\int {\frac {d\ s}{c\ \omega }}={\frac {1}{C}}{,}$

so wird man finden

$i=C\int \left\{4\pi V^{2}\int {\bar {{\mathfrak {d}}_{s}}}\ d\ s+\int [{\mathfrak {p.{\bar {H}}}}]_{s}\ d\ s+\int [{\mathfrak {v.{\bar {H}}}}]_{s}\ d\ s\right\}\ d\ t.$

(32)

§ 29. Die folgende Betrachtung soll dazu dienen, aus dieser Formel das bekannte Grundgesetz der Induction abzuleiten. Man denke sich eine Fläche $\sigma$, auf welcher der Stromfaden bei seiner Bewegung fortwährend liegt, und fasse das Integral

$\int {\overline {{\mathfrak {H}}_{n}}}\ d\ \sigma =P{,}$

(33)

für den durch den Faden abgeschnittenen Theil, ins Auge.

Diese Grösse, welche man gewöhnlich „die Zahl der von $s$ umfassten magnetischen Kraftlinien“ nennt, ändert sich mit der Zeit, und zwar aus zwei Ursachen. Einmal variirt in jedem Punkte ${\bar {\mathfrak {H}}}$, und zweitens ändert sich das Integrationsgebiet.

Während der Zeit $d\ t$ bringt die erste Ursache folgenden Zuwachs von $P$ hervor

$d\ t\int {\dot {\overline {{\mathfrak {H}}_{n}}}}\ d\ \sigma .$

Was aber die zweite Veränderung betrifft, so ist zu beachten, dass jedes Element $d\ s$ ein unendlich kleines Parallelogramm auf der Fläche beschreibt, und dass der Werth des Oberflächenintegrals $\textstyle {\int {\dot {\overline {{\mathfrak {H}}_{n}}}}\ d\ \sigma }$ für dieses Parallelogramm, mit dem passend gewählten Zeichen, in $d\ P$ eingehen wird. Dieser Werth wird bestimmt durch den Inhalt des Parallelepipeds, das zu Seiten hat $d\ s$, ${\mathfrak {H}}$ und die Strecke ${\mathfrak {v}}\ d\ t$ in der Richtung von ${\mathfrak {v}}$. Man wird für denselben finden

$-d\ t[{\mathfrak {v.{\bar {H}}}}]_{s}\ d\ s{,}$

und für den ganzen Zuwachs von (33)

$d\ P=d\ t\int {\dot {\overline {{\mathfrak {H}}_{n}}}}\ d\ \sigma -d\ t\int [{\mathfrak {v.{\bar {H}}}}]_{s}\ d\ s{,}$

oder, wenn man die Beziehungen (IV_b) und (V_b), sowie den in (1) (§4, h) ausgesprochenen Satz berücksichtigt,

$-d\ t\int \left\{4\pi V^{2}{\bar {{\mathfrak {d}}_{s}}}+[{\mathfrak {p.{\bar {H}}}}]_{s}\right\}\ d\ s-d\ t\int [{\mathfrak {v.{\bar {H}}}}]_{s}\ d\ s.$

Demzufolge verwandelt sich (32) in

$i=-C\int d\ P=C\left(P_{1}+P_{2}\right){,}$

wo sich $P_{1}$ und $P_{2}$ auf den Anfang und das Ende der betrachteten Zeit beziehen.

Die Grösse $P$ hängt von den verschiedenen Theilen von ${\mathfrak {H}}$ ab. Da aber weder zu Anfang noch zu Ende der Zeit $T$ ein inducirter Strom existirt, so begeht man keinen Fehler, wenn man in (33) für ${\mathfrak {H}}$ lediglich die von dem primären Strom erzeugte magnetische Kraft einsetzt. Der Strich über dem Buchstaben kann dabei wegfallen, und wenn der inducirte Draht sehr dünn ist, darf man bei allen Stromfäden mit demselben $P$ rechnen. Ist dann schliesslich $C_{1}$ die Summe aller Zahlen $C$ (d. h. die Leitungsfähigkeit des inducirten Stromkreises), so wird der Integralstrom, den wir zu berechnen wünschten,

$I=C_{1}\left(P_{1}-P_{2}\right){,}$

was mit einem bekannten Satze übereinstimmt.

Die Erdbewegung wurde bei der gegebenen Ableitung nie aus dem Auge verloren; folglich lässt die Formel einen Schluss über den Einfluss dieser Bewegung auf die Inductionserscheinungen zu. Es kommen hierbei nur Grössen zweiter Ordnung in Betracht. Das ${\mathfrak {H}}$, welches zur Bestimmung der Grösse $P$ dienen soll, setzt sich nämlich zusammen aus dem durch (26) bestimmten Vector und der magnetischen Kraft, welche durch die Compensationsladung erzeugt wird. Letztere magnetische Kraft ist von der Ordnung ${\mathfrak {p}}^{2}/V^{2}$, und da in die zur Bestimmung von $\chi _{x}$, $\chi _{y}$, $\chi _{z}$ dienenden Gleichungen (§ 25) auch nur das Quadrat von ${\mathfrak {p}}$ eingeht, so unterscheiden sich die Werthe (26) nur um Grössen zweiter Ordnung von den bei ruhender Erde geltenden Ausdrücken.

Mit dem Nachweise, dass bei den Inductionserscheinungen kein Einfluss erster Ordnung zu erwarten ist, haben wir die Erklärung für das negative Resultat des Hrn. Des Coudres gewonnen^[4].

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1. Diese Grössen unterscheiden sich, wenn ${\mathfrak {p}}=0$, nur durch einen constanten Factor von den Componenten des Vectorpotentials
2. Es möge daran erinnert werden, dass Hr. Budde (Wied. Ann., Bd. 10, f. 553, 1880), unter Zugrundelegung des Clausius’schen Gesetzes, zu denselben Schlüssen gelangt ist, die ich hier gezogen habe. Sein Werth für die Dichtigkeit der Compensationsladung stimmt sogar Vollkommen mit dem oben gefundenen überein, wenn man in diesem ${\mathfrak {p}}^{2}$ vernachlässigt.
3. Diese Vorstellungsweise ist indessen keine nothwendige. Damit die im Texte mitgetheilten Betrachtungen, richtig seien, braucht nicht angenommen zu werden, dass die Ionen, welche die Ladungen $A$ und $B$ bilden, in Ruhe bleiben und der daneben bestehenden Strömung gänzlich entzogen seien. Man kann sich ebenso gut denken, dass alle Ionen sich bewegen, und zwar, ähnlich wie in Electrolyten, in höchst unregelmässiger Weise. Dabei ist sehr gut ein constanter, von Null verschiedener Mittelwerth ${\bar {\rho }}$ möglich; dieser constituirt dann die mit $A$ und $B$ bezeichneten Ladungen (d. h. ${\bar {\rho }}$ setzt sich aus zwei Summanden ${\bar {\rho _{A}}}$ und ${\bar {\rho _{B}}}$ zusammen), während der Strom ${\overline {\mathfrak {S}}}$ durch ${\overline {\rho {\mathfrak {v}}}}$ bestimmt wird.
   Ersetzt man nun in $(A)$ und $(B)$ alle Glieder durch die Mittelwerthe, so sieht man leicht, dass jeder der Vectoren ${\overline {\mathfrak {d}}}$ und ${\overline {\mathfrak {H}}}$ aus zwei Theilen besteht, deren einer nur von ${\bar {\rho }}$ und der andere nur von ${\overline {\rho {\mathfrak {v}}}}$ abhängt. Da nun die Wirkungen nach aussen durch jene Vectoren bestimmt werden, so müssen sie gerade so sein, als ob die Ladung und der Strom gar nicht mit einander zusammenhingen.
   Aehnliches gilt von den auf den Stromleiter ausgeübten Wirkungen. Sind nämlich ${\mathfrak {d}}$ und ${\mathfrak {H}}$ die durch äussere Ursachen im Aether hervorgebrachten Veränderungen, so ist nach (V_a) die auf ein Volumelement wirkende Kraft
   $4\pi V^{2}\rho {\mathfrak {d}}\ d\ \tau +\rho [{\mathfrak {p.H}}]\ d\ \tau +\rho [{\mathfrak {v.H}}]\ d\ \tau .$Die Wirkung, welche ein wahrnehmbarer Theil des Körpers erleidet, lässt sich also in der Weise berechnen, dass man für die Volumeinheit setzt
   $4\pi V^{2}{\bar {\rho }}{\mathfrak {d}}+{\bar {\rho }}[{\mathfrak {p.H}}]+[{\bar {\rho {\mathfrak {v}}}}.{\mathfrak {H}}]{,}$was wieder in zwei Theile, mit ${\bar {\rho }}$ und ${\overline {\rho {\mathfrak {v}}}}$, zerfällt.
   Streng genommen wäre übrigem noch eine dritte Ladung zu berücksichtigen gewesen. Der Strom kann nicht bestehen ohne ein Potentialgefälle, und dieses nicht ohne electrische Ladungen der Theile des Leiters. Diese Ladungen spielen indess bei der behandelten Frage keine wesentliche Rolle und konnten um so mehr ausser Acht gelassen werden, als man sich dieselben verschwindend klein denken kann, wenn man nur eine sehr hohe Leitungsfähigkeit voraussetzt.
4. Eigentlich hätten wir nun noch, unter Berücksichtigung der Erdbewegung, die Wirkung des Inductionsstromes auf eine Galvanometernadel zu betrachten. Bei den Versuchen des Hrn. Des Coudres (Wied. Ann., Bd. 88, p. 71, 1889) befand sieh aber eine Inductionsrolle zwischen zwei hintereinander geschalteten primären Rollen, welche so vom Strom durchflossen wurden, dass sich ihre Wirkungen gerade compensirten. Da nun, welchen Einfluss die Translation übrigens auch haben mag, das Galvanometer in Ruhe bleiben muss, wenn $I$ verschwindet, so dürfen wir aus der Theorie folgern, dass, abgesehen von Grössen zweiter Ordnung, die Compensation durch die Erdbewegung nicht gestört wird.

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