Ueber die Induction in rotirenden Kugeln/§7

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§ 7. Verwandte Probleme.

Es sollen in diesem Paragraphen einige Probleme besprochen werden die mit den früher behandelten in engem Zusammenhange stehen.

I.

Sehen wir von der Selbstinduction ab, so können wir die Kenntniss der Strömung in einer Kugel dazu benutzen, um die ^[1] Strömung in einem beliebig gestalteten Rotationskörper zu bestimmen, oder doch deren Bestimmung auf eine einfachere Aufgabe zurückzuführen.

Es sei $S\,$ der Rotationskörper, $n\,$ seine nach innen gekehrte Normale. Wir beschreiben um ihn eine Kugel von beliebigem Radius. Seien $u_{1}\ v_{1}\ w_{1}\,$ die Strömungen, welche in letzterer stattfinden würden, und

$N=u_{1}\cos a+v_{1}\cos b+w_{1}\cos c\,$

die Strömung in Richtung der $n\,$ an der Oberfläche von $S.\,$ Bestimmen wir $u_{2}\ v_{2}\ w_{2}\,$ so, dass

${\begin{aligned}\varkappa u_{2}=-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x}}\\\varkappa v_{2}=-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial y}}\\\varkappa w_{2}=-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial z}}\end{aligned}}\,$

${\frac {\partial u_{2}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial w_{2}}{\partial z}}=0\,$

$u_{2}\cos a+v_{2}\cos b+w_{2}\cos c=-N,\,$

so sind offenbar

$u_{1}+u_{2},\ v_{1}+v_{2},\ w_{1}+w_{2}\,$

die gesuchten Strömungen in $S.\,$ Die Aufgabe ist also auf die einfachere zurückgeführt:

Eine Funktion $\varphi _{2}\,$ so zu bestimmen, dass im Innern von $S\ \ {\mathit {\Delta }}\varphi _{2}=0\,$ und an der Oberfläche ${\frac {\partial \varphi }{\partial n}}=\varkappa N,\,$ gleich einer gegebenen Funktion, ist.

1. Es sei beispielsweise eine geradlinig bewegte Platte einseitig begrenzt durch die Gerade $\xi =b.\,$ Es sei die äussere Potentialfunktion aufgelöst und ein Glied derselben

$Ae^{-\zeta n}\cos r\eta \cos s\xi .\,$

Dann fanden wir für die Strömung in der unendlichen Platte

$\psi _{1}={\frac {r}{n}}\cdot {\frac {\alpha }{\varkappa }}\cdot \sin r\eta \cos s\xi .\,$

Also ist die Strömung senkrecht zur Grenze ^[2]

$-{\frac {\partial \psi }{\partial \eta }}=-{\frac {r^{2}}{n}}\cdot {\frac {\alpha }{\varkappa }}\cdot r\eta \cos sb.\,$

Daraus folgen für $\varphi _{2}\,$ die Bedingungen:

${\frac {\partial ^{2}\varphi _{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi _{2}}{\partial y_{2}}}=0,\,$

und für $\xi =b:\,$

${\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial \xi }}={\frac {r^{2}}{n}}{\frac {\alpha }{\varkappa }}\cos r\eta \cos sb.\,$

Also ist:

$\varphi _{2}={\frac {r}{n}}\alpha e^{r(\zeta -b)}\cos r\eta \cos sb.\,$

Zu $\varphi _{2}\,$ gehört die Strömungsfunktion

$\psi _{2}=-{\frac {r}{n}}\cdot {\frac {\alpha }{\varkappa }}\cdot e^{-r(b-\zeta )}\sin r\eta \cos sb,\,$

und es wird daher die gesammte Strömungsfunktion

$\psi _{1}+\psi _{2}={\frac {r}{n}}\cdot {\frac {\alpha }{\varkappa }}\cdot e^{-rb}\sin r\eta (e^{r\xi }\cos sb-e^{rb}\cos s\xi ).\,$

Durch Summation über alle Glieder folgt die vollständige Lösung. Aehnlich ist die Lösung für beiderseitig begrenzte Streifen.

2. Um die Strömung in einer begrenzten rotirenden Scheibe zu bestimmen, sei ein Glied der äussern Potentialfunktion

$Ae^{-n\zeta }\cos i\omega \ J^{i}(n\varrho ).\,$

Dann war:

$\psi _{1}={\frac {\omega }{\varkappa }}\,{\frac {i}{n}}\sin i\omega \ J^{i}(n\varrho ).\,$

Also die Strömung in Richtung des Radius nach innen für die Grenze, für $\varrho =R:\,$

${\frac {\partial \psi }{R\partial \omega }}={\frac {\omega }{\varkappa }}\,{\frac {i^{2}}{n}}\cos i\omega {\frac {J^{i}(nR)}{R}}.\,$

Daraus folgt, wie oben:

[3]	$\varphi _{2}=-\omega {\frac {i}{n}}J^{i}(nR)\left({\frac {\varrho }{R}}\right)^{i}\cos i\omega .\,$

Nach Bestimmung der diesem $\varphi _{2}\,$ entsprechenden Strömung $\psi _{2}\,$ folgt, die gesammte Strömung:

$\psi _{1}+\psi _{2}={\frac {\omega }{\varkappa }}{\frac {i}{n}}{\frac {\sin i\omega }{R^{i}}}\lbrace R^{i}J^{i}(n\varrho )-\varrho ^{i}J^{i}(nR)\rbrace .\,$

Durch Summation sind wieder die vollständigen Integrale zu erhalten. In gleicher Weise lässt sich die Strömung für Ringe bestimmen, die von concentrischen Kreisen begrenzt sind.

Im Allgemeinen wird weder die Auflösung nach einzelnen Gliedern, noch die Bestimmung des Potentials $\varphi _{2}\,$ zur Lösung der Aufgabe, erforderlich sein, es wird genügen, $\psi _{2}\,$ so zu bestimmen, dass es in der Platte der Gleichung

${\frac {\partial ^{2}\psi _{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi _{2}}{\partial y^{2}}}=0\,$

genügt und an der Grenze derselben $=-\psi _{1}\,$ wird. Einige einfache Beispiele werden in § 9 gegeben.

II.

In Leitern bringen die elektromotorischen Kräfte elektrodynamischen Ursprungs dieselben Wirkungen hervor, wie die ^[4] ihnen numerisch gleichen Kräfte elektrostatischen Ursprungs. Findet das Gleiche in dielektrischen Mitteln statt, so müssen Kugeln aus dielektrischem Material, welche im magnetischen Felde rotiren, eine Polarisation annehmen. Seien

${\begin{aligned}&{\mathfrak {x}}\\&{\mathfrak {y}}\\&{\mathfrak {z}}\end{aligned}}\quad \quad {\frac {mm{\tfrac {1}{2}}mgr{\tfrac {1}{2}}}{{\text{sec}}^{2}}}$ [5]

die Componenten derselben,

$\varepsilon \quad \quad {\text{(Zahl)}}\,$ [5]

die Dielektricitätsconstante. Dann gelten für ${\mathfrak {x}}\ {\mathfrak {y}}\ {\mathfrak {z}}\,$ die Gleichungen:

${\begin{aligned}{\mathfrak {x}}&=-\varepsilon {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+\varepsilon {\mathfrak {X}}\\{\mathfrak {y}}&=-\varepsilon {\frac {\partial \varphi }{\partial y}}+\varepsilon {\mathfrak {Y}}\\{\mathfrak {z}}&=-\varepsilon {\frac {\partial \varphi }{\partial z}}+\varepsilon {\mathfrak {Z}}\end{aligned}}\,$

${\frac {\partial {\mathfrak {x}}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\mathfrak {y}}}{\partial y}}+{\frac {\partial {\mathfrak {z}}}{\partial z}}={\frac {1}{4\pi }}{\mathit {\Delta }}\varphi ;\,$

für $\varrho =R\,$

${\mathfrak {x}}x+{\mathfrak {y}}y+{\mathfrak {z}}z={\frac {\varrho }{4\pi }}\left[{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial \varrho }}-{\frac {\partial \varphi _{a}}{\partial \varrho }}\right].\,$

Daraus folgt, für $\varphi :\,$

${\mathit {\Delta }}\varphi ={\frac {4\pi \varepsilon }{1+4\pi \varepsilon }}\left({\frac {\partial {\mathfrak {X}}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\mathfrak {Y}}}{\partial y}}+{\frac {\partial {\mathfrak {Z}}}{\partial z}}\right)\,$

und für $\varrho =R:\,$

$(1+4\pi \varepsilon ){\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial \varrho }}-{\frac {\partial \varphi _{a}}{\partial \varrho }}={\frac {4\pi \varepsilon }{\varrho }}(x{\mathfrak {X}}+y{\mathfrak {Y}}+z{\mathfrak {Z}}).\,$

Im äussern Raum muss sein ${\mathit {\Delta }}\varphi =0.\,$

Ist wieder $\chi _{n}\,$ das $n\,$te Glied des äussern Potentiales, so wie oben (Seite 10):

${\frac {\partial {\mathfrak {X}}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\mathfrak {Y}}}{\partial y}}+{\frac {\partial {\mathfrak {Z}}}{\partial z}}=2\omega {\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}\,$

$x{\mathfrak {X}}+y{\mathfrak {Y}}+z{\mathfrak {Z}}=\omega \left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-nz\chi _{n}\right).\,$

Um die Bedingungsgleichungen zu erfüllen, setzen wir:

$\varphi =\varphi ^{0}+\varphi '\,$

${\begin{aligned}{\varphi ^{0}}_{i}&={\frac {4\pi \varepsilon }{1+4\pi \varepsilon }}{\frac {\omega }{n+1}}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-nz\chi _{n}\right)\\{\varphi ^{0}}_{a}&={\frac {4\pi \varepsilon }{1+4\pi \varepsilon }}{\frac {\omega }{n+1}}\left[\left({\frac {R}{\varrho }}\right)^{n+2}{\frac {n}{n+1}}{\overline {\left({\frac {\varrho ^{2}}{2n+1}}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-z\chi _{n}\right)}}+\left({\frac {R}{\varrho }}\right)^{n}{\frac {R^{2}}{2n+1}}{\overline {\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}}\right]\end{aligned}}\,$

$\varphi _{i}^{0}\,$ genügt der partiellen Differentialgleichung, welcher $\varphi \,$ genügen soll. $\varphi _{a}^{0}\,$ ist so gebildet, dass es 1. der Gleichung

${\mathit {\Delta }}\varphi _{a}^{0}=0\,$

genügt, 2. an der Oberfläche der Kugel mit $\varphi _{i}^{0}\,$ zusammenfällt. Dass erstere Bedingung erfüllt ist, erkennt man daraus, dass die überstrichenen Ausdrücke Kugelflächenfunktionen $(n+1)\,$ten und $(n-1)\,$ten Grades sind, wie man leicht nachweist. Durch Einsetzung von $\varphi ^{0}+\varphi '\,$ in die Bedingungen für $\varphi \,$ erhält man für $\varphi '\,$ die Gleichungen:

${\mathit {\Delta }}\varphi '\ {\ddot {\text{u}}}{\text{berall}}=0,\ \varphi '\ {\text{stetig}},\,$

für $\varrho =R:\,$

$(1+4\pi \varepsilon ){\frac {\partial \varphi '_{i}}{\partial \varrho }}={\frac {\partial \varphi '_{a}}{\partial \varrho }}+{\frac {\partial \varphi _{a}^{0}}{\partial \varrho }},\,$

deren Erfüllung keine Schwierigkeit hat, da wir $\varphi ^{0}\,$ schon als Summe von Kugelfunktionen dargestellt haben.

Von besonderem Interesse ist der Fall, dass ein kugelförmiger Magnet in einem, ihn umgebenden ruhenden Dielektrikum rotirt, da die Erde ein rotirender Magnet und der Weltraum nach der Annahme vieler Physiker ein Dielektricum ist. Um in diesem Falle das elektrische Potential zu bestimmen, haben wir zu beachten, dass die Erde ein Leiter ist, es wird daher auch in ihr eine Vertheilung eintreten, die auf das Dielektricum ^[6] zurückwirkt, und zur Folge hat, dass an der Oberfläche der Erde das Potential constant wird.

Ist $\chi ={\mathit {\Sigma }}\chi _{n}\,$ das Potential der Erde, so ist die Aufgabe diese:

$\varphi \,$ so zu bestimmen, dass im äussern Raum

${\mathit {\Delta }}\varphi ={\frac {4\pi \varepsilon }{1+4\pi \varepsilon }}\cdot 2\omega {\frac {\partial \chi }{\partial z}},\,$

und an der Oberfläche $\varphi ={\text{const}}\,$ ist.

Man findet leicht:

$\varphi ={\frac {4\pi \varepsilon }{1+4\pi \varepsilon }}\omega \sum {\frac {R^{2}-\varrho ^{2}}{2n+1}}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}.\,$

Für die Steigung des Potentials an der Erdoberfläche folgt daraus:

$-{\frac {\partial \varphi }{\partial \varrho }}={\frac {4\pi \varepsilon }{1+4\pi \varepsilon }}2R\omega \sum {\frac {1}{2n+1}}{\overline {\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}}.\,$

Bei Weitem der grösste Theil der erdmagnetischen Kraft rührt von den Gliedern her, für welche $n=-2,\,$ oder doch klein ist. Annähernd können wir daher setzen

${\frac {\partial \varphi }{\partial \varrho }}={\frac {4\pi \varepsilon }{1+4\pi \varepsilon }}{\frac {2}{3}}R\omega {\overline {\frac {\partial \chi }{\partial z}}}.\,$

${\overline {\frac {\partial \chi }{\partial z}}}\,$ ist die gegen den Nordpol des Himmels gewandte Componente der erdmagnetisehen Kraft.

Nimmt man an, dass für den Weltraum ${\frac {4\pi \varepsilon }{1+4\pi \varepsilon }}\,$ sehr nahe an $1\,$ sei, so erhält man für die elektrischen Steigungen Werthe, die von der Ordnung von $1{\text{ Daniell}}\,$ auf $50{\text{ m.}},\,$ also ausserordentlich klein, sind. Zu dem obigen Werthe von $\varphi \,$ kann übrigens noch ein Glied von der Form ${\frac {\text{const}}{\varrho }}\,$ hinzutreten. Der Werth desselben hängt ab von der Menge der freien Elektricität, welche die Erde mit sich führt, und ist nicht Null, wenn diese Menge Null ist; die Ordnung der berechneten Kräfte wird aber durch dieses Glied nicht geändert.

III.

Rotirt eine beliebig magnetisirte Kugel in einer Flüssigkeit, die selber leitet und die Oberfläche der Kugel leitend berührt, so wird die Kugel in der Flüssigkeit Ströme verursachen, die im Allgemeinen nicht mehr in concentrischen Kugelschaalen erfolgen, sondern den Magneten durchsetzen.

Die Bestimmung dieser Ströme hat, von der Selbstinduction abgesehen, keine Schwierigkeit mehr, ich will auf die ^[7] Rechnungen nicht eingehen. Figur e, Tafel 1 soll den einfachsten Fall veranschaulichen: Eine homogen magnetisirte Kugel rotirtum ihre magnetische Axe. Die gezeichnete Figur stellt die Strömungslinien in einem Meridianschnitt dar. Die Form derselben ist hier unabhängig von den Widerständen der Flüssigkeit und des Magneten. Die Intensität aber wird Null, wenn einer derselben unendlich wird.

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1. Beliebige Rotationskörper. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
2. Geradlinig begrenzte Platten. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
3. Begrenzte Scheibe. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
4. Dielektrische Kugeln. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
5. Die Einheiten sind wieder derart, dass die Lichtgeschwindigkeit ${\frac {1}{A}}\,$ nicht auftritt, die entsprechenden Grössen in magnetischem Maasse sind gleich $A^{2}{\mathfrak {x}},A^{2}{\mathfrak {y}},A^{2}{\mathfrak {z}},A^{2}\varepsilon .\,$
6. Erde im dielectrischen Raum. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
7. Kugelförmiger Magnet in einer Flüssigkeit. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.