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	Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe

gilt, so kann man mit Hülfe des Fourier’schen Satzes die Function $h$ durch die Function $g$ ausdrücken. Die Gleichung zerfällt, wenn $h(x)\,$ reell ist und

$g(a+bi)=g_{1}(b)+ig_{2}(b),\,$

in die beiden folgenden:

$g_{1}(b)=\int \limits _{0}^{\infty }h(x)x^{-a}\cos(b\log x)d\log x,$

$ig_{2}(b)=-i\int \limits _{0}^{\infty }h(x)x^{-a}\sin(b\log x)d\log x.$

Wenn man beide Gleichungen mit $\,{\bigl (}\cos(b\log y)+i\sin(b\log y){\bigr )}db$ multiplicirt und von $-\infty$ bis $\infty$ integrirt, so erhält man in beiden auf der rechten Seite nach dem Fourier’schen Satze $\,\pi h(y)y^{-a}$, also, wenn man beide Gleichungen addirt und mit $iy^{a}\,$ multiplicirt

$2\pi ih(y)=\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}g(s)y^{s}ds$,

worin die Integration so auszuführen ist, daß der reelle Theil von $s$ constant bleibt.

Das Integral stellt für einen Werth von $y$, bei welchem eine sprungweise Änderung der Function $h(y)\,$ stattfindet, den Mittelwerth aus den Werthen der Function $h$ zu beiden Seiten des Sprunges dar. Bei der hier vorausgesetzten Bestimmungsweise der Function $f(x)\,$ besitzt diese dieselbe Eigenschaft, und man hat daher völlig allgemein

$f(y)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}{\frac {\log \zeta (s)}{s}}y^{s}ds$.

Für $\log \zeta \,$ kann man nun den früher gefundenen Ausdruck

${\frac {s}{2}}\log \pi -\log(s-1)-\log \prod {\frac {s}{2}}+\sum ^{\alpha }\log \left(1+{\frac {(s-{\frac {1}{2}})^{2}}{\alpha \alpha }}\right)+\log \xi (0)$^[1]

substituiren; die Integrale der einzelnen Glieder dieses Ausdrucks würden aber dann in’s Unendliche ausgedehnt nicht convergiren, weshalb es zweckmäßig ist, die Gleichung vorher durch partielle Integration in

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1. Das Manuskript (S. 4) und die Gesammelten Werke (S. 141) fügen vor dem zweitletzten Logarithmus noch ein $\sum ^{\alpha }\,$ ein. In den Monatsberichten fehlt das Summenzeichen:
   ${\frac {s}{2}}\log \pi -\log(s-1)-\log \prod {\frac {s}{2}}+\log \left(1+{\frac {(s-{\frac {1}{2}})^{2}}{\alpha \alpha }}\right)+\log \xi (0)$

Empfohlene Zitierweise:
Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, Seite 676. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:RiemannPrim1859.djvu/6&oldid=- (Version vom 1.8.2018)