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	Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz

${\frac {a_{1}\mathrm {tg} \,x_{1}+a_{2}\mathrm {tg} \,x_{2}+\cdots +a_{n}\mathrm {tg} \,x_{n}}{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}}>\mathrm {tg} \,{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}},$

falls die Argumente alle im Intervall $0\ldots {\tfrac {\pi }{2}}$ oder alle im Intervall $\pi \ldots {\tfrac {3\pi }{2}}$ gelegen sind. Für die Intervalle ${\tfrac {\pi }{2}}\ldots \pi$ und ${\tfrac {3\pi }{2}}\ldots 2\pi$ gilt wieder das Umgekehrte.

10.

Von dem bekannten Satz, daß (für $m>1$)

$n^{m-1}\sum _{v=1}^{n}x_{v}^{m}>\left(\sum _{v=1}^{n}x_{v}\right)^{m}$

ist, welcher durch Specialisirung einer unter 7. gegebenen Formel sich ergiebt, folgt hier noch eine Anwendung auf Reihenconvergenz. Ich beweise den Lehrsatz: Wenn für die positiven Größen $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ die Summe

$\sum _{v=1}^{\infty }x_{v}^{m}\qquad (m>1)$

convergirt, so gilt dasselbe von der Summe

$\sum _{v=1}^{\infty }{\frac {x_{v}}{\nu ^{{\frac {m-1}{m}}+\rho }}},$

wenn $\rho >0$ ist.

Aus der gegebenen Formel schließt man, daß

$\sum _{1}^{n}x_{v}<n^{\frac {m-1}{m}}\left(\sum _{1}^{n}x_{v}^{m}\right)^{\frac {1}{m}}$

ist, also wegen der Convergenz der Summe

$\sum _{1}^{\infty }x_{v}^{m},$

daß für jeden Werth von $n$

$\sum _{1}^{n}x_{v}<\mathrm {const.} \;n^{\frac {m-1}{m}}$

bleibt.

Wendet man jetzt die partielle Summation an, so ergiebt sich, indem

$\sigma _{n}=\sum _{1}^{n}x_{v}$

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Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, Seite 46. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Otto_H%C3%B6lder_Ueber_einen_Mittelwerthssatz_1889.pdf/9&oldid=- (Version vom 1.8.2018)