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	Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz

Nun ist

$\sum a_{\nu }(x_{\nu }-\sigma )=\sum a_{\nu }x_{\nu }-\sigma \sum a_{\nu }=0.$

Ferner ist nach dem gewöhnlichen Mittelwerthssatz

$\sum {\mathfrak {M}}_{\nu }a_{\nu }(x_{\nu }-\sigma )^{2}={\mathfrak {M}}\sum a_{\nu }(x_{\nu }-\sigma )^{2},$

wo ${\mathfrak {M}}$ einen Mittelwerth von

${\mathfrak {M}}_{1},{\mathfrak {M}}_{2},\ldots {\mathfrak {M}}_{n}$

bedeutet. Es ist aber

$\sum a_{\nu }(x_{\nu }-\sigma )^{2}=\sum a_{\nu }x_{\nu }^{2}-2\sigma \sum a_{\nu }x_{\nu }+\sigma ^{2}\sum a_{\nu }.$

Setzt man hierin

$\sum a_{\nu }x_{\nu }=\sigma \sum a_{\nu },$

so erhält man

$\sum a_{\nu }x_{\nu }^{2}-\sigma ^{2}\sum a_{\nu },$

also den früher mit

${\frac {S}{\sum a_{\nu }}}$

bezeichneten Ausdruck. Damit kommt man auf die Formel

$\sum a_{\nu }\varphi (x_{\nu })-\varphi (\sigma )\sum a_{\nu }={\tfrac {1}{2}}{\mathfrak {M}}{\frac {\sum a_{\nu }a_{\mu }(x_{\nu }-x_{\mu })^{2}}{\sum a_{\nu }}}$

zurück.

6.

In dem Fall, in welchem zwei Argumente $x_{1}$ und $x_{2}$ nur vorhanden sind, erhält man, falls $a_{1}=a_{2}=1$ gesetzt wird:

$\varphi (x_{1})+\varphi (x_{2})-2\varphi \left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)={\tfrac {1}{4}}{\mathfrak {M}}\cdot (x_{1}-x_{2})^{2}.$

Dieses Ergebniß ist sehr bekannt. In der Theorie der Functionen zweier reellen Veränderlichen besteht eine analoge Beziehung. Bedeutet nämlich $V$ eine Function von $x$ und $y$ und $R$ den Radius eines Kreises in der Ebene, deren Punkte die Werthepaare $x,y$ vorstellen, so ist

$\int _{P}V\,dp-2\pi R\cdot V_{0}={\tfrac {1}{2}}\pi R^{2}[\Delta V].$

Das Integral ist über die Peripherie $P$ des Kreises zu erstrecken, $dp$ ist das Bogenelement. $V_{0}$ ist der Werth der Function im Mittelpunkt des Kreises und $[\Delta V]$ ist ein Mittelwerth aus den Werthen der Größe

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Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, Seite 43. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Otto_H%C3%B6lder_Ueber_einen_Mittelwerthssatz_1889.pdf/6&oldid=- (Version vom 1.8.2018)