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	Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz

$[\varphi '(x)]_{s,x_{2}^{}}>[\varphi '(x)]_{x_{1}^{},s}$

und es folgt somit aus der vorhergehenden Relation, daß

$a_{1}\varphi (x_{1})+a_{2}\varphi (x_{2})-(a_{1}+a_{2})\varphi (s)>0$

ist.

3.

Aus dem zuletzt gewonnenen Resultat kann der gewünschte Beweis durch Wiederholung hergestellt werden. Ich nehme noch weitere $n-2$ Argumente $x_{3},x_{4},\ldots x_{n}$ an; die zugehörigen positiven Gewichte seien $a_{3},a_{4}\ldots a_{n}$. Zur Abkürzung werde außerdem

$s_{1}={\frac {(a_{1}+a_{2})s+a_{3}x_{3}}{a_{1}+a_{2}+a_{3}}}={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}}{a_{1}+a_{2}+a_{3}}},$ $s_{2}={\frac {(a_{1}+a_{2}+a_{3})s_{1}+a_{4}x_{4}}{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}}={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+a_{4}x_{4}}{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}}},$ $\vdots$

gesetzt.

Nun ist

$a_{1}\varphi (x_{1})+a_{2}\varphi (x_{2})-(a_{1}+a_{2})\varphi (s)>0$ $(a_{1}+a_{2})\varphi (s)+a_{3}\varphi (x_{3})-(a_{1}+a_{2}+a_{3})\varphi (s_{1})>0$ $(a_{1}+a_{2}+a_{3})\varphi (s_{1})+a_{4}\varphi (x_{4})-(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4})\varphi (s_{2})>0$ $\vdots$ $(a_{1}+a_{2}+\ldots a_{n-1})\varphi (s_{n-3})+a_{n}\varphi (x_{n})-(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})\varphi (s_{n-2})>0.$

Durch Addition erhält man hieraus

$a_{1}\varphi (x_{1})+a_{2}\varphi (x_{2})+\ldots +a_{n}\varphi (x_{n})-(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})\varphi (s_{n-2})>0,$

womit der ausgesprochene Satz bewiesen ist.

Aus der Art der Herleitung ergiebt sich, daß in der letzten Ungleichung das Zeichen $>$ im strengen Sinn zu nehmen, d. h. die Gleichheit auszuschließen ist, vorausgesetzt, daß die Function $\varphi '(x)$ wirklich stets zunimmt, also in keinem Intervall constant ist, daß ferner die Argumente $x_{1},x_{2},\ldots x_{n}$ nicht alle einander gleich sind und die Größen $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$ sämmtlich einen von Null verschiedenen Werth haben. Tritt eine der genannten Ausnahmen ein, so ist an Stelle des Zeichens $>$ das Zeichen $\geqq$ zu setzen.

Ein analoger Satz besteht unter der Voraussetzung, daß $\varphi '(x)$ eine abnehmende Function ist; man hat dann das Zeichen $>$ in das Zeichen $<$ zu verwandeln.

Empfohlene Zitierweise:
Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, Seite 40. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Otto_H%C3%B6lder_Ueber_einen_Mittelwerthssatz_1889.pdf/3&oldid=- (Version vom 1.8.2018)