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	Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz

gesetzt wird:^{[WS 1]}

$\sum _{\nu =1}^{n}{\frac {x_{\nu }}{\nu ^{{\frac {m-1}{m}}+\varrho }}}=\sum _{\nu =1}^{n-1}\sigma _{\nu }\left\{{\frac {1}{\nu ^{{\frac {m-1}{m}}+\varrho }}}-{\frac {1}{(\nu +1)^{{\frac {m-1}{m}}+\varrho }}}\right\}+{\frac {\sigma _{n}}{n^{{\frac {m-1}{m}}+\varrho }}}.$

Weil nun

$\sigma _{n}<{\text{const. }}n^{\frac {m-1}{m}}$

ist, so muß

$\lim _{n=\infty }{\frac {\sigma _{n}}{n^{{\frac {m-1}{m}}+\varrho }}}=0$

sein, denn $\varrho$^{[WS 2]} ist eine positive, von Null verschiedene Größe. Um den anderen Theil zu beurtheilen, entwickelt man

${\frac {1}{\nu ^{{\frac {m-1}{m}}+\varrho }}}-{\frac {1}{(\nu +1)^{{\frac {m-1}{m}}+\varrho }}}={\frac {1}{\nu ^{{\frac {m-1}{m}}+\varrho }}}\left\{1-\left(1+{\frac {1}{\nu }}\right)^{-{\frac {m-1}{m}}-\varrho }\right\}.$

Wenn $\nu$ unendlich wächst, so erhält das Verhältniß der rechten Seite dieser Gleichung zur Größe

$\left({\frac {m-1}{m}}+\varrho \right){\frac {1}{\nu ^{{\frac {m-1}{m}}+\varrho +1}}}$

den Grenzwerth 1. Es convergirt also die Summe

$\sum _{\nu =1}^{\infty }\sigma _{\nu }\left\{{\frac {1}{\nu ^{{\frac {m-1}{m}}+\varrho }}}-{\frac {1}{(\nu +1)^{{\frac {m-1}{m}}+\varrho }}}\right\},$

denn sie reducirt sich auf

$\sum _{1}^{\infty }{\frac {A_{\nu }}{\nu ^{\varrho +1}}},$

wo die Größen $A_{\nu }$ unter einer festen Grenze liegen.

Durch Zusammenfassung des Vorhergehenden erhärtet man die behauptete Convergenz der Summe

$\sum _{1}^{\infty }{\frac {x_{\nu }}{\nu ^{{\frac {m-1}{m}}+\varrho }}}.$

Anmerkungen (Wikisource)

1. Die Laufvariable(n) der beiden Summen – $\nu$ – ist in der Vorlage nicht richtig zu erkennen.
2. Hier und in dem übernächsten Ausdruck (aber nur in der Klammer) wurde (statt $\varrho$) ein $\rho$ verwendet.

Empfohlene Zitierweise:
Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, Seite 47. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Otto_H%C3%B6lder_Ueber_einen_Mittelwerthssatz_1889.pdf/10&oldid=- (Version vom 18.8.2016)