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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

so dass DM die Linie Cd im M, die AB in N schneide. Da nun

Δ BTt ∼ DNB und Δ CRr ∼ CDM,

so haben wir

Bt : Tt = DN : BN Rr : AQ = DM : AN,

also

2.   Bt · Rr : Tt · AQ = DM · DN : AN · BN.

Da aber

Bt = PQ AQ = PS;

so wird aus 2.

3.   PQ · Rr : Tt · PS = DM · DN : AN · BN.

Nach dem ersten Falle ist aber, wenn man D als Punkt in der Curve ansieht,

4.   DM · DN : AN · BN = PQ · Pr : PS · Pt

mithin

5.   PQ · Pr : PS · Pt = PQ · Rr : Tt · PS,

und hieraus

PQ · (Pr — Rr) : PS · (Pt — Tt) = PQ · Rr : Tt · PS

d. h.

6.   PQ · PR : PS · PT = DM · DN : AN · BN = Constans.   W. Z. B. W.

Fig. 42.

Dritter Fall. Gesetzt, die vier Linien

PQ, PR, PS, PT

seien nicht parallel den Seiten AC und AB, sondern beliebig gegen sie geneigt. Man ziehe nun,

Pq $\scriptstyle \parallel$ AC,   Pr $\scriptstyle \parallel$ AC, Ps $\scriptstyle \parallel$ AB,   Pt $\scriptstyle \parallel$ AB;

alsdann kennt man, weil die Winkel PQq, PRr, PSs, PTt gegeben sind, die Verhältnisse

PQ : Pq, PR : Pr, PS : Ps, PT : Pt.

Nach dem vorhergehenden Beweise ist aber das Verhältniss

Pq · Pr : Ps · PT

constant, mithin ist dies auch mit dem Verhältniss

PQ · PR : PS · PT

der Fall.   W. Z. B. W.

§. 46. Lehnsatz. Unter denselben Voraussetzungen, wie im vorhergehenden Lehnsatze, sei das Verhältniss

PQ · PR : PS · PT

constant; alsdann liegt der Punkt P, von welchem die vier Linien PQ, PR, PS, PT ausgehen, auf dem um das Viereck ABCD beschriebenen Kegelschnitt.

Durch die vier Punkte A, B, C, D und einen der unbestimmten

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 90. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/98&oldid=- (Version vom 26.11.2022)