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so dass DM die Linie Cd im M, die AB in N schneide. Da nun

Δ BTt ∼ DNB und
Δ CRr ∼ CDM,

so haben wir

Bt : Tt = DN : BN
Rr : AQ = DM : AN,

also

2.   Bt · Rr : Tt · AQ = DM · DN : AN · BN.

Da aber

Bt = PQ
AQ = PS;

so wird aus 2.

3.   PQ · Rr : Tt · PS = DM · DN : AN · BN.

Nach dem ersten Falle ist aber, wenn man D als Punkt in der Curve ansieht,

4.   DM · DN : AN · BN = PQ · Pr : PS · Pt

mithin

5.   PQ · Pr : PS · Pt = PQ · Rr : Tt · PS,

und hieraus

PQ · (Pr — Rr) : PS · (Pt — Tt) = PQ · Rr : Tt · PS

d. h.

6.   PQ · PR : PS · PT = DM · DN : AN · BN = Constans.   W. Z. B. W.
Fig. 42.

Dritter Fall. Gesetzt, die vier Linien

PQ, PR, PS, PT

seien nicht parallel den Seiten AC und AB, sondern beliebig gegen sie geneigt. Man ziehe nun,

Pq AC,   Pr AC,
Ps AB,   Pt AB;

alsdann kennt man, weil die Winkel PQq, PRr, PSs, PTt gegeben sind, die Verhältnisse

PQ : Pq, PR : Pr, PS : Ps, PT : Pt.

Nach dem vorhergehenden Beweise ist aber das Verhältniss

Pq · Pr : Ps · PT

constant, mithin ist dies auch mit dem Verhältniss

PQ · PR : PS · PT

der Fall.   W. Z. B. W.

§. 46. Lehnsatz. Unter denselben Voraussetzungen, wie im vorhergehenden Lehnsatze, sei das Verhältniss

PQ · PR : PS · PT

constant; alsdann liegt der Punkt P, von welchem die vier Linien PQ, PR, PS, PT ausgehen, auf dem um das Viereck ABCD beschriebenen Kegelschnitt.

Durch die vier Punkte A, B, C, D und einen der unbestimmten

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 90. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/98&oldid=- (Version vom 26.11.2022)