Zusatz 1. Aus den drei letzten Aufgaben (§. 29, 30. und 33.) ergiebt sich Folgendes. Geht ein Körper P vom Punkt P ans längs der beliebigen geraden Linie PR mit irgend einer Geschwindigkeit fort, und wirkt auf ihn zugleich eine Centripetalkraft ein, welche dem Quadrat seines Abstandes vom Mittelpunkte der Kräfte indirect proportional ist; so bewegt sich dieser Körper in einem Kegelschnitte, dessen Brennpunkt im Centrum der Kräfte liegt, und umgekehrt. Ist nämlich der Brennpunkt, der Berührungspunkt und die Lage der Tangente gegeben; so kann man einen Kegelschnitt beschreiben, welcher in jenem letztern Punkte eine gegebene Krümmung hat. Die Krümmung wird aber durch die gegebene Centripetalkraft und die Geschwindigkeit des Körpers bekannt und zwei sich wechselseitig berührende Bahnen können nicht vermöge derselben Centripetalkraft und bei derselben Geschwindigkeit beschrieben werden.
Zusatz 2. Ist die Geschwindigkeit, mit welcher der Körper von seinem Orte P ausgeht, so gross, dass die kleine Linie PR in irgend einem sehr kleinen Zeittheilchen beschrieben werden kann, und die Centripetalkraft vermögend ist, ihn in derselben kleinen Zeit durch den kleinen Raum QR zu bewegen, so beschreibt der Körper einen Kegelschnitt, dessen Parameter
von QT und QR beide als in’s Unendliche verkleinert gedacht werden.
Den Kreis zähle ich hier zur Ellipse, und nehme denjenigen Fall aus, in welchem sich der Körper geradlinig gegen das Centrum der Kräfte bewegt.
§. 34. Lehrsatz. Bewegen sich mehrere Körper um ein gemeinschaftliches Centrum, und nimmt die Centripetalkraft indirect im doppelten Verhältniss der Entfernung vom Centrum ab; so stehen die Parameter der Bahnen im doppelten Verhältniss derjenigen Flächen, welche die Körper mit den nach dem Centrum gezogenen Radien gleichzeitig beschreiben.
Nach §. 33., Zusatz 2. ist nämlich der Parameter
wo QT und QR die letzten Werthe beim Zusammenfallen der Punkte P und Q haben. Die sehr kleine Linie QR ist aber, bei gegebener Zeit, der sie erzeugenden Kraft, d. h. nach der Voraussetzung
indirect proportional. Es ist daher
d. h. der Parameter steht im doppelten Verhältniss der Fläche QT · SP.
Zusatz. Hieraus folgt, dass der ganze Flächeninhalt einer Ellipse und das ihm proportionale Rechteck über beiden Axen im zusammengesetzten
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 75. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/83&oldid=- (Version vom 1.8.2018)
