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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Fig. 18.

§. 21. Lehrsatz. Ein Körper bewegt sich in nicht widerstehendem Mittel um ein unbewegliches Centrum und in einer beliebigen Bahn; er beschreibt in einer sehr kurzen Zeit irgend einen eben entstehenden Bogen, dessen Pfeil Pv man gezogen hat und welcher letztere die Sehne des Bogens halbirt und verlängert durch das Centrum der Kräfte geht. Alsdann verhält sich die Centripetalkraft in der Mitte des Bogens direct wie jener Pfeil und indirect wie das Quadrat der Zeit. Setzt man also die zur Beschreibung des Bogens QPq erforderliche Zeit = t, so ist jene Kraft proportional

\scriptstyle {\frac {Pv}{t^{2}}}

.

Es verhält sich nämlich in einer gegebenen Zeit (nach §. 13., Zusatz 4.) Pv wie die Kraft, und es wächst der Bogen in demselbem Verhältniss, in welchem die Zeit zunimmt; hingegen wächst (nach §. 11., Zusatz 2 und 3.) der Pfeil Pv im doppelten Verhältniss der Zeit; er ist also der Kraft und dem Quadrate der Zeit proportional. Umgekehrt verhält sich die Kraft also direct wie der Pfeil Pv und indirect wie das Quadrat der Zeit. Dasselbe wird auch leicht durch den §. 10., Zusatz 4. bewiesen.

Zusatz 1. Ein Körper P beschreibt, indem er sich um das Centrum S bewegt, eine Curve APQ und die gerade Linie ZPR berührt dieselbe im Punkte P. Zieht man nun von einem andern unbestimmten Punkte Q

QR ∥ SP

und QT perpendikulär auf SP; so verhält sich die Centripetalkraft indirect wie Körper

\scriptstyle {\frac {SP^{2}\ \cdot \ QT^{2}}{QR}}

,

wobei in diesem Körper immer der letzte Werth genommen werden muss, welchen er vor dem Zusammenfallen der Punkte P und Q erlangt.

Es ist nämlich

QR = Pv,

d. h. dem Pfeile des verdoppelten Bogens PQ, in dessen Mitte P liegt.

Das doppelte Dreieck

SQP = SP · QT

ist der Zeit proportional, in welcher jener verdoppelte Bogen PQ beschrieben wird und kann daher als die Zeit vertretend betrachtet werden.^[1]

Zusatz 2. Ist SY perpendikulär auf die Tangente PR gezogen, so wird die Centripetalkraft sich indirect verhalten wie der Körper

\scriptstyle {\frac {SY^{2}\ \cdot \ QP^{2}}{QR}}

:

↑ [579] No. 10. S. 62. Die Centripetalkraft verhält sich daher (nach §. 21.) direct wie $\scriptstyle {\frac {QR}{SP^{2}\cdot \ QT^{2}}}$ und indirect wie der Körper $\scriptstyle {\frac {SP^{2}\cdot \ QT^{2}}{QR}}$ .

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 62. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/70&oldid=- (Version vom 1.8.2018)

[1] [579] No. 10. S. 62. Die Centripetalkraft verhält sich daher (nach §. 21.) direct wie $\scriptstyle {\frac {QR}{SP^{2}\cdot \ QT^{2}}}$ und indirect wie der Körper $\scriptstyle {\frac {SP^{2}\cdot \ QT^{2}}{QR}}$ .

[1]