die Kraft, mit welcher er bei den einzelnen Zurückwerfungen auf den Kreis wirkt, wie seine Geschwindigkeit. Die Summe der Kräfte in einer gegebenen Zeit verhält sich daher zusammengesetzt, wie jene Geschwindigkeit und die Anzahl der Zurückwerfungen, d. h. wenn das Polygon seiner Art nach gegeben ist, wie der in der gegebenen Zeit beschriebene Weg und derselbe Weg, dividirt durch den Radius des Kreises. Demnach verhält sich die Summe wie das Quadrat seines Weges, dividirt durch den Radius. Fällt nun das Polygon, durch unendliche Verkleinerung seiner Seiten, mit dem Kreise zusammen, so verhält sich die Summe wie das Quadrat des Bogens, dividirt durch den Radius. Diese Summe ist aber die Kraft, mit welcher der Körper auf den Kreis wirkt, und gleich und entgegengesetzt ist ihr diejenige Kraft, mit welcher der Kreis den Körper beständig gegen den Mittelpunkt zurückstösst.
§. 20. Aufgabe. Die Geschwindigkeit, mit welcher ein Körper eine gegebene Figur in Folge von Kräften beschreibt, welche nach einem gemeinschaftlichen Centrum gerichtet sind, ist für beliebige Orte gegeben; man soll das Centrum finden.
Die beschriebene Figur werde durch drei Tangenten pT, TQV und VR in den Punkten P, Q und R berührt, und es mögen sich jene in den Punkten T und V schneiden. Man errichte in den Berührungspunkten Perpendikel PA, QB und RC auf die Tangenten, welche den Geschwindigkeiten in diesen Punkten bezüglich umgekehrt proportional sind. Es verhält sich also, wenn wir die Geschwindigkeit in P, Q, R, respective durch φ(P), φ(Q), φ(R) bezeichnen,
Durch die Endpunkte A, B und C ziehe man
alsdann werden die Linien TD und VE verlängert, sich in dem gesuchten Centrum schneiden.
Fig. 17.
Die vom Mittelpunkt S auf die Tangenten PT und QT gefällten Perpendikel verhalten sich nämlich (nach §. 13., Zusatz 1.) indirect wie die Geschwindigkeiten des Körpers in den Punkten P und Q, und daher direct wie
d. h. wie die vom Punkte D auf die Tangenten gefällten Perpendikel
Hieraus schliesst man leicht, dass die Punkte S, D, T in einer geraden Linie liegen.[1] Ebenso wird bewiesen, dass S, E, V in einer geraden Linie liegen; daher muss das Centrum S sich im Durchschnittspunkte beider Linien befinden. W. z. b. w.
- ↑ [579] No. 9. S. 61. Bezeichnet Pp die Geschwindigkeit in P, Qq die Geschwindigkeit in q, wobei die kleinen Stücke Pp und Qq der Tangenten statt der Bogen gesetzt sind; sind ferner SM und SN die Perpendikel auf die Tangente: so ist Fläche SPp = ½Pp · SM, Fläche SQq = ½Qq · SN, also SPp : SQq = Pp · SM : Qq · SN. Nach §. 13. sind aber SPp und SQq den Zeiten proportional, und im vorliegenden Falle einander gleich und mit der Zeiteinheit identisch. Daher Pp · SM = Qq · SN oder Pp : Qq = SN : SM. Nach der Construction ist Pp : Qq = QB : AP = DQ' : DP' (Fig. 17).
Fig. 225.
Angenommen nun, die Linie TS träfe DP' nicht in D, sondern in einem am x davon entfernten Punkte F; so denke man sich ein Perpendikel FG auf TN gefällt. Es würde dann leicht folgen SM : DP' + x = SN : FG und da oben SM : DF = SN : DQ' jetzt DP' + x : DP' = FG : DQ'. Dies ist aber nicht möglich, weil DP' + x > DP' und FG < DQ; es muss daher TS durch D gehen.
Fig. 226.
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 61. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/69&oldid=- (Version vom 21.11.2019)
