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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

Nach 1. und 3. verhält sich daher die Bewegung des ersten Ringes zu der des zweiten, wie

4.   π : 2.

Aus den bisherigen 3 Sätzen folgt nun leicht die Wahrheit der in §. 46. ausgesprochenen Behauptung.

Denkt man sich nämlich in obiger Figur zum II. Satz den Cylinder und die Kugel mit gleichförmiger Bewegung um die Axe BL gedreht, so wird für den DN entsprechenden Kreis, nach II. Satz, die Grösse der Bewegung proportional DN³ = r³ und für den DF entsprechenden Kreis proportional DF³ = y³; mithin, wenn wir die Grösse der Bewegung des Cylinders durch (C), und die der Kugel entsprechende durch (K) bezeichnen,

1.   d(C) : d(K) = r³ : y³ = ry : yy' = r: y' (II. Satz, Gl. 2.) $\scriptstyle {\frac {d(C)}{r}}={\frac {d(K)}{y'}}$ = Constans, d(C) = Const. rdx

und durch Integration

2.   (C) = Const. $\scriptstyle \int \limits _{o}^{r}$ rdx = Const. r²

oder, um es über das ganze Quadrat ACMK zu erstrecken,

3.   (C) = Const. 4r².

Ferner

4.   (K) = 4 Const. $\scriptstyle \int \limits _{o}^{r}$ y'dx = Const ¾r²π (II. Satz)

und

5.   (K) : (C) = ¾r²π : 4r² = 3r²π : 4 · (2r)².

Die Kugel verhält sich zum umschriebenen Cylinder wie

6.   4/3r³π : 2r³π = 2 : 3.

Da nun im I. Satz, Zusatz 6. die Masse des Cylinders durch m bezeichnet wurde, so wird jetzt (nach Gleichung 6.) die Masse der Kugel m' = ⅔m.

Ferner wollen wir die Bewegung des Ringes ACD um seinen Mittelpunkt durch (R) und die Bewegung des Ringes EFKJ um seinen Durchmesser EK durch (R') bezeichnen; alsdann ist nach III. Satz, 4. (R) : (R') = π : 2. Verbinden wir nun die folgenden Proportionen mit einander: (K) : (C) = 3r²π : 4(2r)², (C) : (R) = 2m : 3μ = 3m' : 3μ = m' : μ, (R) : (R') = π : 2; so ergibt sich

7.   (K) : (R') = m' · 3r²π² : 8μ(2r)²

oder kürzer (K) : (R') = m' · $\scriptstyle {\frac {3\pi ^{2}}{32}}$ : μ; (K) : (R') = 925275m' : 1000000μ.

Diese hier aufgeführten Sätze sind im Wesentlichen der Angabe von Newton’s Werken: Isaaci Newtoni Opera quae extant omnia. Commentarius illustrabat Samuel Horsley. L. L. D. R. S. S. Londini MDCCLXXXII. entlehnt. Nur die Führung der Beweise weicht von der dortigen etwas ab.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 648. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/656&oldid=- (Version vom 1.8.2018)