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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

in diesem Falle sich zu der im vorigen Falle verhalten, wie 3 : 2. Dies folgt aus Zusatz 1.

Zusatz 5. Wenn bei unveränderter geringer Dicke der Wand, wie auch unveränderter Breite des innern Raumes, durch allmählige Abnahme der Höhe, die Wand selbst sich zusammenzieht und zuletzt in einen Ring oder eine Zone übergeht; so wird, wenn auf der in einen Ring zusammengezogenen Wand dieselbe Materie bleibt, welche früher innerhalb des ganzen Cylinders befindlich war, auch die Bewegung des Ringes unverändert bleiben und sich zur ursprünglichen Bewegung des Cylinders verhalten, wie 3 : 2.

Zusatz 6. Die Bewegung eines um die Axe herumgetriebenen Cylinders verhält sich zur Bewegung eines sehr dünnen, den Cylinder umgehenden Ringes, wie die doppelte Materie des Cylinders zur dreifachen Materie des Ringes.

Denkt man sich

einen Cylinder C,	dessen Radius	= r	und	Materie	= m,
einen andern C',	„ „	= r	„ „	= μ
und einen Ring R,	„ „	= r	„ „	= μ

so hat man, wenn C, C', R zugleich die Bewegung dieser drei Körper bezeichnen, C : C' = m : μ, C' : R = 2 : 3 (Zusatz 5.), also C : R = 2m : 3μ.

Fig. 272.

II. Satz-Aufgabe. Um den Kreis GBJL ist das Quadrat ACMK und innerhalb des erstern die Figur GBEJL so beschrieben, dass für jede Ordinate DE

1.   DE : DF = DF² : HJ²

sei; man soll den Flächeninhalt dieser Figur mit dem des Kreises vergleichen.

Man setze DE = y', DF = y, HD = x, HJ = r, alsdann ist nach Proportion 1. y' : y = y² : r², also

2.   y' = $\scriptstyle {\frac {y^{3}}{r^{2}}}$

Es ist aber y² = r² — x², mithin y' = $\scriptstyle {\frac {\left(r^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{r^{3}}}$ und so jener Flächeninhalt von HBEJ.

3.   $\scriptstyle \int \limits _{o}^{r}{\frac {\left(r^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}dx}{r^{2}}}={\frac {1}{4}}\int \limits _{o}^{r}{\frac {\left(r^{2}-x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{r^{2}}}+{\frac {3}{4}}\int \limits _{o}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}\cdot dx}}$.

Der erste Ausdruck auf der rechten Seite verschwindet für beide Grenzen x = o und x = r, das Integral auf derselben Seite ist gleich dem Flächeninhalt des Quadranten HBFJ. Setzt man daher den Flächeninhalt des ganzen Kreises = A, so wird der Flächeninhalt von

4.   GBEJL = ¾A.

III. Satz. Wenn der eine Ring ACD gleichförmig um sein Centrum

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 646. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/654&oldid=- (Version vom 12.5.2018)