= AZ · TZ ·
: 2 · AT² und weil Mp die stündliche Bewegung des Mondes auf der Peripherie QAqa ist,
die mittlere stündliche Veränderung der Neigung.
Ferner ist unmittelbar ![{\displaystyle \scriptstyle {\frac {Pp}{PG}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e0e5235a424eb796290665d34b74754cda28e1f) |
= sin PGp, |
für |
den |
Radius |
= 1
|
|
= ![{\displaystyle \scriptstyle {\frac {\sin \ PGp}{AT}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8c4f9687985643c9a86edeef8cc641091a4a99) |
„ |
„ |
„ |
= AT
|
= sin ATn,
= cos ATn, mithin
= ½sin ATn · cos ATn = ¼ sin 2 · ATn.
No. 269. S. 440. (Fig. 200.) In diesem Falle trifft N mit Q zusammen, es geht daher AZ in AT, TG in TK über und wir erhalten JT · TG = AT · sin pTQ · AT · cos pTQ = ½AT² sin 2pTQ, so wie
= AT · sin 2pTQ.
No. 270. S. 441. Um die Summe der im Text aufgeführten Sinusse zu finden, wollen wir uns den Quadranten ½π in n gleiche Theile getheilt denken, wo n eine grosse Zahl, hier 1771/6 bezeichnet; alsdann haben wir die Reihe
bis
zu summiren. Setzen wir nun
= x, so wird die gesuchte Summe S = sin x + sin 2x + sin 3x + . + … + sin νx, wo νx =
π = π –
π, (ν – 1)x =
π = π –
π. Setzen wir statt der Sinusse die ihnen entsprechenden Exponentialfuncionen, so wird für i =
,
![{\displaystyle \scriptstyle S={\frac {1}{2i}}\left\{\left[e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+\dots +e^{\nu ix}\right]-\left[e^{-ix}+e^{-2ix}+e^{-3ix}+\dots e^{-\nu ix}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd9b937782cf6cbd2967c667ea9450bb7ce817e)
![{\displaystyle \scriptstyle ={\frac {1}{2i}}\left\{e^{ix}{\frac {e^{(\nu -1)^{ix}}-1}{e^{ix}-1}}-e^{-ix}{\frac {e^{-(\nu -1)^{ix}}-1}{e^{-ix}-1}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747b5898d6fa7072684a8c75603883ba3ba350e0)
![{\displaystyle \scriptstyle ={\frac {1}{2i}}{\frac {e^{(\nu -1)^{ix}}-e^{-(\nu -1)^{ix}}+e^{ix}-e^{-ix}-\left[e^{\nu ^{ix}}-e^{-\nu ^{ix}}\right]}{2-\left[e^{ix}+e^{-ix}\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1ba4440e1cb51a7e872e191498fd639db67a8e)
![{\displaystyle \scriptstyle S={\frac {1}{2i}}{\frac {2i\ \sin(\nu -1)x+2i\ \sin \ x-2i\ \sin \nu x}{2-2\ \cos \ x}}={\frac {1}{2}}{\frac {\sin(\nu -1)x+sin\ x-\sin \nu x}{1-\cos \ x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d764ff35955a65c07ffe803e429861dd6a2d8484)
Da aber sin (ν – 1) x = sin (π –
π) = sin
; sin νx = sin