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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

= AZ · TZ · $\scriptstyle {\frac {Pp}{PG}}$ : 2 · AT² und weil Mp die stündliche Bewegung des Mondes auf der Peripherie QAqa ist, $\scriptstyle {\frac {V\cdot Mp}{QAqa}}$ die mittlere stündliche Veränderung der Neigung.

Ferner ist unmittelbar $\scriptstyle {\frac {Pp}{PG}}$	= sin PGp,	für	den	Radius	= 1
	= $\scriptstyle {\frac {\sin \ PGp}{AT}}$	„	„	„	= AT

$\scriptstyle {\frac {AZ}{AT}}$ = sin ATn, $\scriptstyle {\frac {TZ}{AT}}$ = cos ATn, mithin $\scriptstyle {\frac {AZ\cdot TZ}{2AT^{2}}}$ = ½sin ATn · cos ATn = ¼ sin 2 · ATn.

No. 269. S. 440. (Fig. 200.) In diesem Falle trifft N mit Q zusammen, es geht daher AZ in AT, TG in TK über und wir erhalten JT · TG = AT · sin pTQ · AT · cos pTQ = ½AT² sin 2pTQ, so wie $\scriptstyle {\frac {JT\cdot TG}{{\frac {1}{2}}AT}}$ = AT · sin 2pTQ.

No. 270. S. 441. Um die Summe der im Text aufgeführten Sinusse zu finden, wollen wir uns den Quadranten ½π in n gleiche Theile getheilt denken, wo n eine grosse Zahl, hier 1771/6 bezeichnet; alsdann haben wir die Reihe $\scriptstyle \sin \left(2\cdot {\frac {{\frac {1}{2}}\pi }{n}}\right),\ \sin \left(2\cdot {\frac {\pi }{n}}\right),\ \sin \left(2\cdot {\frac {{\frac {3}{2}}\pi }{n}}\right),\ \sin \left(2\cdot {\frac {2\pi }{n}}\right)\dots$ bis $\scriptstyle \sin \left(2\cdot {\frac {n-1}{n}}\pi \right),$ zu summiren. Setzen wir nun $\scriptstyle {\frac {1}{n}}$ = x, so wird die gesuchte Summe S = sin x + sin 2x + sin 3x + . + … + sin νx, wo νx = $\scriptstyle {\frac {n-1}{n}}$π = π – $\scriptstyle {\frac {1}{n}}$π, (ν – 1)x = $\scriptstyle {\frac {n-2}{n}}$π = π – $\scriptstyle {\frac {2}{n}}$π. Setzen wir statt der Sinusse die ihnen entsprechenden Exponentialfuncionen, so wird für i = $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$,

$\scriptstyle S={\frac {1}{2i}}\left\{\left[e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+\dots +e^{\nu ix}\right]-\left[e^{-ix}+e^{-2ix}+e^{-3ix}+\dots e^{-\nu ix}\right]\right\}$

$\scriptstyle ={\frac {1}{2i}}\left\{e^{ix}{\frac {e^{(\nu -1)^{ix}}-1}{e^{ix}-1}}-e^{-ix}{\frac {e^{-(\nu -1)^{ix}}-1}{e^{-ix}-1}}\right\}$

$\scriptstyle ={\frac {1}{2i}}{\frac {e^{(\nu -1)^{ix}}-e^{-(\nu -1)^{ix}}+e^{ix}-e^{-ix}-\left[e^{\nu ^{ix}}-e^{-\nu ^{ix}}\right]}{2-\left[e^{ix}+e^{-ix}\right]}}$

$\scriptstyle S={\frac {1}{2i}}{\frac {2i\ \sin(\nu -1)x+2i\ \sin \ x-2i\ \sin \nu x}{2-2\ \cos \ x}}={\frac {1}{2}}{\frac {\sin(\nu -1)x+sin\ x-\sin \nu x}{1-\cos \ x}}$

Da aber sin (ν – 1) x = sin (π – $\scriptstyle {\frac {2}{n}}$π) = sin $\scriptstyle {\frac {2\pi }{n}}$; sin νx = sin$\scriptstyle {\frac {\pi }{n}}$

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 638. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/646&oldid=- (Version vom 1.8.2018)