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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

$\scriptstyle =2a-{\frac {a{\sqrt {2ab^{2}\cdot 2a+\left(a^{2}-b^{2}\right)4a^{2}}}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {2a^{2}b^{2}}{2\left(a^{2}-b^{2}\right)}}\int \limits _{0}^{2a}{\frac {dx'}{\sqrt {2ab^{2}x'+\left(a^{2}-b^{2}\right)x'^{2}}}}$

$\scriptstyle =-{\frac {2a\ b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

$\scriptstyle \left\{\log \left[{\frac {2ab^{2}+2\left(a^{2}-b^{2}\right)2a}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}+{\sqrt {2ab^{2}\cdot 2a+\left(a^{2}-b^{2}\right)4a^{2}}}\right]-\log {\frac {2ab^{2}}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}\right\}$

oder 4.     $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2a}\left(1-{\frac {x'}{z'}}\right)dx'$

$\scriptstyle =-{\frac {2ab^{2}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\log {\frac {2a^{2}-b^{2}+2a{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b^{2}}}$

Die log. sind hier hyperbolische, und für die entsprechende Kugel wird hier 5.     $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2a}\left(1-{\frac {x'}{z'}}\right)dx'$ = ⅔a; also nach Gl. 4. und 5. das gesuchte Verhältniss

6.     $\scriptstyle \left(-{\frac {2b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {a^{2}b}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\log {\frac {2a^{2}-b^{2}+2a{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b^{2}}}\right)$ : ⅔.

Da ferner $\scriptstyle {\frac {2b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}$ = 99,502488, log $\scriptstyle \log {\frac {2a^{2}-b^{2}+2a{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b^{2}}}$ = 0,2826078, so wird das Verhältniss 6.     [– 99,502488 + 100,163650] : ⅔ = 198348 : 200000 = 125 : 126,02.

No. 226. S. 402. Setzt man die durch die Kugel, die Erde und das Sphäroïd auf A ausgeübte Schwerkraft respective gleich K, E, S; so hat man K : E = 101 : 100, E : S = 101 : 100, also K : E = E : S, oder E = $\scriptstyle {\sqrt {K\cdot S}}={\sqrt {126\cdot 125}}$ = 125,5…

Nr. 227. S. 403. Bezeichnet man die Schwere in einem unbestimmten Orte X auf der Erde durch F(X), auf der Kugel durch φ(X), auf dem Sphäroïd durch ψ(X); so hat man F(Q) : φ(Q) = 126 : 125, φ(A) : F(A) = 126 : 125,5, φ(Q) : φ(A) = 100 : 101; mithin F(Q) : F(A) = 126 · 126 · 100 : 125 · 125,5 · 101 = 501 : 500.

No. 228. S. 404. Nach Hansen a. a. O. ist 2a = 38,″4, 2b = 35″,6, a : b = 14 : 13.

Fig. 257.

No. 229. S. 405. Stellt die nebenstehende Figur ¼ des Spharoïds vor, ist A'C = a die halbe grosse, PC = b die halbe kleine Axe; so verhält sich die Schwere unter dem Aequator in A' zu der unter dem Pole in P, wie b : a, und zu der in B wie b : r, wo CB = r. Mithin ist, wenn α die Schwere in A', β die Schwere in B

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Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 627. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/635&oldid=- (Version vom 1.8.2018)