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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

also F"(x) positiv und für den in 9. gefundenen Werth von x, F(x) ein Minimum. Nimmt die Höhe OD mehr und mehr ab, so wird CQ = QS mehr und mehr OC gleich werden und wenn die Höhe a verschwindend klein geworden ist, wird QS = OC, $\scriptstyle \angle$ OCS = OSC = 45° und $\scriptstyle \angle$ CSB = 90°.

No. 171. S. 321 Stellt GO $\scriptstyle \parallel$ BR den Widerstand dar, welchen das Mittel gegen GH ausüben würde, so drückt, wenn man OK auf GR und KL auf OG perpendiculär zieht, OL den gegen GB ausgeübten Widerstand des Mittels aus. Da nun GR parallel der Tangente in N ist, so wird MN · LG den MN entsprechenden Widerstand darstellen und es ist Bedingung, dass derselbe ein Minimum werde, oder da MN gegeben ist, muss

1.   LO = Minimum

werden. Nun ist

2.   LO : OK = OK : OG

also

LO² : OK² = OK² : OG², LO² : LO · OG = OK² : OG² 3.   LO : OG = OK² : OG². Da aber Δ GOK ∼ GBR, so ist OK : OG = GB : GR

also

4.   LO : OG = GB² : GR².

Die Linien OG und GB sind gegeben, daher muss, wenn LO ein Minimum sein soll, GR² ein Maximum, oder weil

5.   GR² = GB² + BR²

BR ein Maximum werden. Bezeichnet nun a eine später zu bestimmende Constante, so muss MN · LO — a · BR ein Minimum werden. Hieraus ergiebt sich durch Differentiation, weil MN und a constant sind,

6.   $\scriptstyle {\frac {d\cdot LO}{d\cdot BR}}={\frac {a}{MN}}$, aus 4. oder OL · GR² = OG · GB², weil OG und GB constant sind, 7.   $\scriptstyle {\frac {d\cdot GR}{d\cdot OL}}=-{\frac {GR}{2\cdot LO}}$

und aus 5.

8.   $\scriptstyle {\frac {d\cdot BR}{d\cdot GR}}={\frac {GR}{BR}}$.

Multiplicirt man nun die drei Gleichungen 6., 7. und 8. in einander, so erhält man

9.   a · GR² = — 2 MN · LO · BR.

Denkt man sich nun N nach G verlegt, so wird nach dem Schluss der vorhergehenden Bemerkung GR² = GP² = GB² + BP² = 2 · GB²; MN = GB, BR = BP = BG, LO = ½GO, also nach 9. 2a · GB² = — GB² · GO oder a = — ½GO und es geht Gl. 9. mittelst dieses Werthes von a über in

10.   GO · GR² = 4MN · LO · BR.

Da aber nach 4. GO = $\scriptstyle {\frac {LO\cdot GR^{2}}{GB^{2}}}$, so wird aus 10. GR⁴ = 4MN · BR · GB² oder

11. MN : GR = GR³ : 4 · BR · GB².

No. 172. S. 325. (Fig. 174.) Drückt CB die Bewegung aus, welche in der Zeit AB durch den Widerstand verloren geht, so wird der ganze Weg, nach §. 7., Zusatz 1., durch CBEF ausgedrückt. Die dann stattfindende Bewegung wird durch EF bezeichnet, also ist FG verlorgen gegangen.

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 610. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/618&oldid=- (Version vom 1.8.2018)